(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique"

■ ■ 

HBISHiHI 



mÊÊÈm 

ni ■ 



MIHHIIIttilWl 
"ShBBHF 



HHrai 




i|jl|ipi 

Hhh| 

I 

■HHrai 



UNIVERSITY 
OF FLORIDA 
LIBRAR1ES 




; 



■■m 



LEÇONS 



SUR LA 



PROPAGATION DES ONDES 



ET LES 



ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE 



PAR 



Jacques HADAMARD 



CHELSEA PUBLISHING COMPANY 

231 West 29th Street, New York 1, N. Y. 

1949 



I 



PRINTED IN THE UNITED STATES OF AMERICA 



Monsieur MAURICE LÉVY 



MEMBRE DE L INSTITUT 
PROFESSEUR AU COLLÈGE DE FRANCE 






^O 



AVANT-PROPOS 



Dans le cours que j'ai professé au Collège de France, pendant les 
années 1398-1899 et 1899-1900 (*), et dont diverses circonstances 
ont retardé la publication, je me suis proposé principalement de 
rechercher comment s'exerce l'influence des conditions aux limites 
sur le mouvement des fluides. 

S'il s'agit des liquides, la question revient à un problème analo- 
gue à celui de Dirichlet, le problème de Neumann ( 2 ) qui fait l'objet 
du premier Chapitre de cet ouvrage. La théorie des fondions har- 
moniques a subi, dans ces derniers temps, d'importants perfection- 
nements dont la plupart ne se rattachaient que de loin à mon sujet ; 
j'ai utilise, en les empruntant à un mémoire de M. Stekloff, ceux 
qui intéressent directement le problème de Neumann. 






(') Les Chapitres I à IV correspondent sensiblement au cours de 1898-1899, 
et les Chapitres V-VJI. à celui de 1899-1900. J'ai toutefois rajouté à, l'impres- 
sion la discussion de la n.éthode de Neumann d'après M. Stekloff (N 0B 1$- 
IG), 1rs condition» nécessaires pour le minimum du potentiel élastique 
IS° 270) et les notes finales. 

( 2 ) C'est du moins, la dénomination que j'ai adoptée dans le texte, arec 
M. Stekloff. Dans les récents travaux relatifs aux fonctions harmoniques, qui 
ont paru pendant l'impression du présent ouvrage cette même dénomination 
est employée avec un sens tout différent. Il y auiait donc lieu de la modifier, 
d'autant plus que, si Fr. et C. Neumann ont reconnu l'importance du pro- 
blème en question, la priorité, au moins en ce qui regarde la publication 
imprimée, paraît revenir à Bjerknes et à Dini. 



AVANT-PROPOS 



Dans le cas des gaz, on est, au contraire, conduit à la théorie 
d'Hugoniot, sur laquelle l'attention a été attirée depuis quelques 
années, grâce aux leçons &' Hydrodynamique , Elasticité et Amus- 
tique de M. Duhem. 

Pour rendre tous les services que la Mécanique peut en attendre, 
celte théorie, — môme telle que la développent les Mémoires Sur la 
propagation du mouvement dans les corps (Journal de l'Ecole 
Polytechnique, tome XXX11I, cah. 57-59), où la notion de compa- 
tibilité est mieux dégagée que dans le Mémoire du Journal de 
Liouville, — m'a paru réclamer quelques compléments. C'est ainsi 
que j'ai dû mettre en évidence les faits d'ordre purement cinéma- 
tique en les séparant de ceux qui dépendent des propriétés dyna- 
miques du mouvement. Moyennant cette distinction, ainsi qu'on 
devait s'y attendre, beaucoup de points de vue s'éclaircissent. Grâce 
à elle, en particulier, une représentation géométrique apparaît im- 
médiatement. Celle-ci, à son tour, permet de rendre plus étroite 
l'analogie qui existe entre les ondes telles que les conçoit Hugoniot 
et celles que considère la mécanique vibratoire. 

Enfin, il y avait lieu de rapprocher_de la Ihéorie d'Hugoniot celle 
des caractéristiques des équations à plus de deux variables indé- 
pendantes qui en est l'expression analytique et dont J. Beudon, 
avant sa mort cruellement prématurée, a pu poser les fondements. 

La résolution du problème de Cauchy pour les équations linéai- 
res, suivant la voie ouverte par Kirchhofî, se relie d'une manière 
directe à la notion de caractéristique et se plaçait naturellement après 
elle. Je n'ai toutefois pas développé dans tous ses détails une théorie 
qui, malgré les importants travaux publiés depuis l'époque où ce 
Cours a été professé, n'est pas encore parvenue à sa forme défini- 
tive. 

Au reste, par sa nature même, un exposé comme celui dont j'ai 
essayé de définir ainsi l'objet et qui, à la rigueur, comprendrait 
toute la mécanique des milieux continus, ne saurait être complet, 
et je n'ai pas eu la prétention de l'être. 



AVANT -PPOPOS 



Je tiens à remercier ici M. Guadet, ancien élève de l'Ecole Poly- 
technique, dont la collaboration m'a élé très précieuse. Je lui dois 
en grande partie la rédaction des deux premiers Chapitres, dont il a 
également perfectionné certaines démonstrations. Je suis très heu- 
reux d'ailleurs d'exprimer ma reconnaissance à tous mes auditeurs 
du Collège de France, dont l'aide complaisante a facilité à bien des 
égards la publication de ces leçons. 

J. Hadamard. 



TABLE DES MATIÈRES 



Avant-Propos. 



Pages 
v 



CHAPITRE PREMIER 

LE DEUXIÈME PROBLEME AUX LIMITES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 



§ 1. — Propriétés classiques des fonctions harmoniques. (N°« 4-5). . i 
§ 2. — Le deuxième problème aux limites. Existence de la solution .< 

Méthode de Lord Kelvin. Objection (N°« 6-8) 6 

§ 3. — Cas du plan. (N°» 9-iO) 11 

§ 4. — Cas de l'espace Application de la méthode de Neumann. 
Forme primitive de la méthode.. Relation avec la méthode de Robin. 
Existence des dérivées normales. Inégalités auxquelles est assujettie 
la solution. Recherche directe d'inégalités analogues. (N 0i 1 1-23). 14 
§ 5. — Fonctions de Fr. Neumann et de Klein. Fonction de Neumann. 
Fonction de Klein. Modification de la fonction de Fr. Neumann. 

(N« 84-»») 33 

§ 6. — Cas de la sphère. Solution par les fonctions sphériques. Solution 
'par des intégrales définies. Fonction de Neumann. Cas de deux sphè- 
res concentriques. Le paramètre différentiel A 2 de Beltrami. La mé- 
thode ne comporte pas de généralisation. (N os fS-JH) ..... 39 
§ 7. —Problèmes mixtes. (N°* 38-41) 55' 



CHAPITRE 11 

LES ONDES AU POINT DK VUE CINEMATIQUE 



1. — Résultats classiques : a) Résultats relatifs aux déformations Défor- 
mation homogène ; déformation pure ; ellipsoïde de déformation. 
Déformations homogènes à plan fixe. Déformations à surface fixe. 



TABLE DES MATIERES 



5 2.- 



§3. 



Déformations d'ordre supérieur. — b) Résultats relatifs aux vitesses. 
Rotation instantanée. Théorème de Beltrami. Sa généralisation. 
Filets tourbillons. Discussion de la forme donnée par Clebsch pour 

la vitesse (N os 4t-68) 

Etude des discontinuités. Les conditions identiques Lemme 
d'analyse. Les n-j-1 segments. Influence des transformations. (N os 69- 



88) 



Etude des discontinuités (suite). Les conditions do compatibi- 
lité cinématique. Notion de compatibilité. Cas des discontinuités 
stationnaires. Cas des ondes. Vitesse de propagation. Vitesse de 
déplacement. Relations entre les n + 1 segments. Densité. Compo- 
santes de déformation. Tourbillon. Signe d'une discontinuité. (N os 89- 

*■»)' 

Etude des discontinuités (suite). Conditions de compatibilité 
d'ordre supérieur. (N os 1 19-1 23) 



81 



97 
121 



CHAPITRE III 

LA. MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME DE L'HYDRODYNAMIQUE 

1. — Les équations internes et la condition supplémentaire. (N os 

124-131) . 129 

2. — Intervention des conditions aux limites. Recherche des accélé- 

rations. Cas des liquides. Cas des gaz. (N os 138-1 4©) 137 



CHAPITRE IV. 

MOUVEMENT RECTILIGNE 11ES GAZ 



§ 1. — Cas de la vitesse de propagation constante. Equation générale 
du mouvement reetiligne. Son intégration dans le cas de la vitesse 
de propagation constante.. Représentation géométrique. Les discon- 
tinuités. Théorie des caractéristiques.' (N°* 141-165) 143 

§ 2. — Cas général. Vitesse de propagation. Problème de Cauchy. Méthode 
de Riemann. Cas de la loi de Mariotte. Les mouvements compati- 
bles avec le repos. Expression en fonction du mouvement du piston. 
Cas des mouvements décomprimants. (N os 166-192) 159 

§ 3. — Le phénomène de Riemann Hugoniot. Cas de la vitesse constante. 
Cas général. L'arête de rebroussement de la développable. Propa- 
gation d'une discontinuité du premier ordre. L'objection d'Hugo- 
niot. Deux discontinuités non compatibles. Cas où le problème a 
deux solutions Problème de Sébert et Hugoniot. Résistance du gaz 
Discussion du phénomène de Riemann-Hugoniot. Développement en 



TABLE DES MATIERES 

Paget 
série du mouvement intermédiaire. Cas d'une série de réflexions et 
de chocs successifs. (N os 193-338) 180 



CHAPITRE V 

LES MOUTEMBNTS DANS L 'ESPACE 

Vitesse de propagation. Mouvement discontinu à un instant donné. 
Cas des liquides. Cas des gaz. Ondes de choc. (N os S 30-2 58) . . 225 



CHAPITRE VI 

APPLICATION A LA THÉ0BIE DE L'ÉLASTICITÉ 

Déformation infiniment petite. Déformation finie. Ellipsoïde de 
polarisation. Stabilité de l'équilibre interne. Cas des ondes longi- 
tudinales et transversales. (N os ZW-ZV 1 *) 241 



CHAPITRE VII 

LA THÉORIE GÉNÉRALE DES CARACTÉRISTIQUES 

§ 1. — Caractéristiques et bicaractéristiques. Problème de Cauchy et ca- 
ractéristiques. Cas d'une équation unique linéaire. Définition des 
bicaractéristiques. Cas d'une équation non linéaire. Cas des systè- 
mes. Relation avec les ondes. Conoïde caractéristique. Surfaces des 
ondes. Propriété des bicaractéristiques. Rencontre des ondes. Ré- 
flexion et réfraction. (N° s ** 8-3 14) 263 

§ 2. — Théorèmes d'existence. Equation unique. Systèmes. Application à 
lu, rencontre des ondes. Application au mouvement d'un fluide au 
contact d'une paroi (N« s 315-331) 296 

§ 3. — Cas des équations linéaires. Equation adjointe. Problème de Cauchy. 
Formule fondamentale. Méthode de Kirchhoff. Problème des ondes 
cylindriques : méthode de M. Volterra. Solutions à surface singu- 
lière. Méthode de M. Delassus. Solutions périodiques. (N 0B 338-351). 314 



Note I. — Sur le problème de Cauchy et les caractéristiques. ... 346 

Note II. — Sur les glissements dans les fluides 355 

Note III. — Sur les tourbillons produits par lès ondes de choc . . . 362 

Note IV. — Sur la réflexion dans le cas d'un piston fixe 370 



CHAPITRE PREMIER 



LE DEUXIÈME PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE 
DES FONCTIONS HARMONIQUES (1) 



§ 1. — PROPRIÉTÉS CLASSIQUES DES FONCTIONS HARMONIQUES 

1. — On sait qu'une fonction V est dite harmonique dans un domaine 
D si, pour tous les points intérieurs à D, elle même et ses dérivées des deux 
premiers ordres ont des valeurs déterminées et si de plus 

1° elle satisfait à l'équation AV = ; 

2° dans le cas où le domaine D est illimité, elle est régulière à l'infini, 
c'est-à-dire qu'elle se comporte comme un potentiel et ses dérivées, comme 
les dérivées d'un potentiel. 

Sont harmoniques, en dehors des masses attirantes : 

1° les potentiels de distributions spatiales 



fffr 



x dy dz 



( 1 ) Voir entre autres : Bjerknes, Sur le mouvement simultané des cotys, Act. 
Soc. Se. Christiania, 1868-1871 ; Dini, SulV Equazione A 2 w = 0, Annali di Mate- 
matica, série II, tome 5; 1871 ; Betti, Principii dell Idrodinamica razionale, Mem. 
Ac. Se. Bologne, tomes 1-5, 1871-1874; C. Neumann, Untersuchungen ùber das 
Logarithmische und NewtorCsche Potential, Leipzig, 1877; Fr. Neumann, Potential 
und Kugelfunctionen, édité par C. Neumann, Leipz. 1887 ; Steklofp, C. R. Ac. 
Se, passim ; Les Méthodes générales pour résoudre les problêmes fondamentaux 
de la Physique mathématique, Ann. Fac. Se., Toulouse, 2 e série, tome II, et un 
autre ouvrage (en russe) de même titre, Kharkow ; 1901 ; Poincaré, passim, etc. 



I 



CHAPITRE 



2° les potentiels de simples couches 




l'dS 



3 iJ les potentiels de doubles couches 



ff 



U~ dS 
an 



fonctions du point M dans lesquelles U désigne une fonction de l'élément 
d'intégration appelée densité ou épaisseur. 

A la seule condition que l'épaisseur U soit partout finie, ces potentiels 
sont partout finis et continus ainsi que leurs dérivées premières, excepté, 
s'il s'agit de potentiels superficiels, sur la surface qui les porte : sur celle-ci 
il y a discontinuité pour le potentiel de double couche et pour les dérivées 
premières du potentiel de simple couche : les intégrales qui représentent 
soit la première de ces fonctions, soit la dérivée normale de la seconde 
subissent deux augmentations brusques égales à 2-rcTJ lorsqu'on passe d'un 
point pris dans le voisinage de la surface et du côté de la normale positive 
à un point pris sur la surface, puis lorsqu'on passe de ce dernier à un 
point pris dans le voisinage de l'autre côté. Les dérivées tangenlielles du 
potentiel de simple couche, au contraire, restent continues. La dérivée 
normale du potentiel de double couche reste également continue sous cer- 
taines conditions de continuité de l'épaisseur U, lesquelles sont, en parti- 
culier, vérifiées si U a, sur la surface des dérivées premières et secondes ('). 



Si V est une fonction harmonique, dans un domaine, on a, en dési- 
gnant par r le rayon vecteur issu d'un point quelconque de la surface 
limite et aboutissant au point A : 



Lff(A-i 

k-x j J \ dn r 




dS = 



0, si A est extérieur au domaine. 
Va si A est intérieur. 
Cette formule exprime la valeur de V en A en fonction de ses valeurs et 



(») Voir, par exemple, Liapounoff : Sur les potentiels de double couche, Kharkow, 
1897 ; et Sur certaines questions gui se rattachent au problème de Dirichlet, Jour- 
nal de Mathématiques, 1898. 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 3 

de celle de sa dérivée normale sur une surface quelconque entourant ce 
point, et cela sous forme d'une somme de potentiels de simple et dédouble 
couche. 

On en conclut qu'une fonction harmonique dans un domaine : 

i° est analytique, c'est-à-dire développable en série de Taylor autour de 
tout point intérieur au domaine ; 

2° ne peut avoir ni maximum ni minimum en un point intérieur. 

La première de ces deux propriétés peut encore s'énoncer sous la forme 
suivante : 

Si deux fonctions harmoniques Y i et V 2 sont définies dans deux domaines 

D i et D 2 extérieurs l'un à l'autre, mais ayant une frontière commune 2 ; si 

. . e ^V~ ^vT 

leurs valeurs Y x et V 2 ainsi que celles de leurs dérivées normales -r- 1 et -t- 8 

(celles-ci comptées toutes les deux dans le môme sens) sont les mômes 
sur 2, V.j et V 2 , sont le prolongement analytique l'une de l'autre. 

La seconde ee généralise en ce sens que non seulement une fonction har- 
monique ne peut avoir ni maximum ni minimum, mais que étant données 
les limites extrêmes L et L' de cette fonction sur une surface fermée, on 
peut trouver, pour la différence des valeurs qu'elle prend en deux points 
donnés situés à l'intérieur de cette surface, une limite supérieure qui est 
une fraction déterminée de L' — L. L'une des conséquences de celte 
remarque est le théorème de Harnack, d'après lequel : 

1° Une série dont les termes sont des fonctions harmoniques et positives 
dans un domaine D ne peut être convergente en un point intérieur à ce 
domaine sans être uniformément convergente et harmonique ainsi que les 
séries dérivées, dans tout domaine intérieur à D ; 

2° Une série de fonctions harmoniques uniformément convergente sur la 
frontière d'un domaine est d'ailleurs uniformément convergente et harmo- 
nique dans tout ce domaine. 

2» — La notion de fonction harmonique peut s'appliquer à un nombre 
quelconque de variables. Dans le plan, on sait que toute fonction harmo- 
nique est la partie réelle d'une fonction synectique de la variable ima- 
ginaire z -=-x -+- iy, et réciproquement. Soit V la fonction harmonique, 
V -t- iW la fonction synectique : W est une autre fonction harmonique, 
qui sera dite conjuguée de V. On a : 



dj 
ds 



dW 

dn 



CHAPITRE 



où ds est un élément d'arc quelconque, dn un élément d'arc normal au 
premier et positif à gauche. On en tire : 



V = 




w = 




Une fonction conjuguée est donc déterminée à une constante près. V étant 
uniforme, W ne le sera que si 



/ 



dV 
dn 



ds=0 



le long du ou de l'ensemble des contours limites. 

La fonction qui joue, dans le plan, le môme rôle que - dans l'espace est 

1 

log-. Elle donne naissance à des potentiels (potentiels logarithmiques), 

analogues à ceux dont nous venons de parler au n° 1, et qui sont harmo- 
niques dans toute région du plan extérieure aux lignes ou surfaces atti- 
rantes. 

Une fonction harmonique dans le plan est dite régulière à V infini û 
l'on peut trouver deux constantes M et C telles que l'allure de la fonction 
à l'infini soit celle de 

M log \ -t- C. 



3* Problèmes aux limites. — On peut se proposer de déterminer une 
fonction V harmonique soit par la connaissance de ses valeurs V sur 

la frontière, soit par celle des valeurs -j- de sa dérivée normale, soit 



dV 



dn 



h\, h étant une quantité positive. Le pre- 



par celle des valeurs de , 

mier de ces problèmes est le problè?ne de Dirichlet : problème intérieur 
quand tout le domaine d'intégration est à distance finie; problème ex- 
térieur quand il s'étend à l'infini en tous sens : dans ce dernier cas, il est 
bien entendu que la fonction doit èlre régulière à l'infini. 

Si le problème de Dirichlet a une solution, il n'en a qu'une, sauf s'il 
s'agit du problème extérieur dans le plan, car alors la condition que deux 
fonctions soient régulières à l'infini n'implique pas que leur différence y soit 



— 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 5 

nulle. II faudra donc se donner alors L'une des deux constantes M et C. 
On ne peut pas toujours se donner arbitrairement C, mais on peut toujours 
se donner M ; par exemple, s'imposer la condition que M = 0. 

4. — La question relative aux fonctions harmoniques dont la solution 
intéresse le plus l'hydrodynamique n'est pas le problème de Dirichlet, 
mais le deuxième problème aux limites ou problème de Neumann, celui 
dans lequel on donne les valeurs de la dérivée normale. Ce deuxième pro- 
blème aux limites, dont l'étude est beaucoup moins avancée que celle du 
problème de Dirichlet, est celui dont nous allons nous occuper maintenant. 
Il peut être, comme le premier, intérieur ou extérieur. Dans le premier 
cas, le théorème de Gauss fournit une condition de possibilité 



C ^ A 



dans l'espace, 

(1) 

I 1 Tîv 

dans le plan, 



les intégrales étant prises sur l'ensemble des frontières du domaine. Par 
contre, si le problème est possible, il entre évidemment une constante 
arbitraire additive dans la solution. 

Dans le cas du problème extérieur, il n'y a pas de condition de possi- 
bilité, et pas de constante arbitraire additive si l'on est dans l'espace, à 
cause de la condition de régularité. Dans le plan, au contraire, la constante 

4 

additive C subsiste. Quant à la constante M du terme M log - , elle est dé- 
terminée par le théorème de Gauss 



'-'/ 



dV , 
—j— ds. 
dn 



5. Problèmes généralisés. — On peut encore déterminer une fonction 
U par la condition 

(2) au = /; 

où /"est une fonction donnée, et par des conditions aux limites semblables 
aux précédentes. 



CHAPITRE I 



Les problèmes ainsi posés se ramènent immédiatement aux problèmes 
sur les fonctions harmoniques correspondants. 
Posons en effet 



W étant le potentiel spatial 



W 



-ifff 



dx dy di 



On a : 



ou 



AV = 

v=ïï + w 

dW__dÏÏ dW 
dn dn dn 

Une transformation analogue ferait disparaître, au lieu du second membre 
de l'équation aux dérivées partielles, celui de la condition aux limites. 



§ 2. — LE DEUXIEME PROBLEME AUX LIMITES 
EXISTENCE DE LA SOLUTION 



6. — Lord Kelvin a indiqué, pour établir l'existence de la solution du 
deuxième problème aux limites, une méthode analogue à celle qu'adonnée 
Riemann pour le problème de Dirichlet. Cherchons le minimum de l'inté- 



grale 



-ff/Ksr^Mm 



dx dy dz 



pour les fonctions V satisfaisant à l'équation 
(3) 



-/■/" 



VF</S 



où K est une constante arbitraire, mais non nulle ; nous désignons par F 
les valeurs données de la dérivée normale sur la surface. 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 7 

Si on suppose la condition de possibilité remplie, soit 



// 



(1') / I FdS = 0, 

I est positif quelle que soit la fonction V et ne s'annule pas si l'équa- 
tion (3) est vérifiée : en effet I ne peut s'annuler que si V est une constante, 
ce qui donnerait (en vertu de l'équation (1')) 

K = 0. 

Dès lors on est amené à penser que I a, pour les fonctions V satisfaisant 
à l'équation (3), un minimum positif. Si on suppose, ce Jqui n'est pas 
démontré, que ce minimum est réellement atteint pour une fonction V 
particulière, on peut démontrer avec lord Kelvin que cette fonction V 
constitue, à un facteur constant près, une solution du problème aux limites 
proposé. 

Changeons en effet V en V+sW dans I, celle-ci devient 14-8,1 + 8 2 I + ... 
où 8„I représente l'ensemble des termes en t n dans le développement de I 
effectué suivant les puissances croissantes de e. On doit avoir 

8,1 = 

quelle que soit W, pourvu que cette fonction satisfasse à 

(3') / / WFdS = 0. 



Mais 



- i o C C C /&V ôW , bV ôW ôV ôW\ , , , 
J J J \toto+**.+**~*l d " d!fd * 

= 2e - / / W^rfS- / / / WWdzdydz 



Il faut donc que l'équation 



W //. W 3£ rfSH ~/// WbW dœdydz = 



8 CHAPITRE 1 

soit une conséquence de l'équation (3'). Prenant d'abord pour W une 
fonction nulle sur la surface et ayant le signe de AV partout ailleurs, on 
voit qu'il faut avoir dans tout le domaine 

AV = 0. 

L'équation (4) se réduit dès lors à son premier terme. Elle montre que -j- 
doit être proportionnel à F. 

En effet, nous allons voir que, quelle que soit la fonction U, on aura 



// 



LFrfS 



ff< 



X, 



dS 



X étant un nombre bien déterminé. 11 suffit évidemment de montrer que 
ce rapport est le même pour deux fonctions quelconques U et U'. Or, 
quelles que soient U et U', on peut toujours trouver une constante (j. telle 
que U -h [4. U' substituée à W dans l'équation (3') satisfasse à cette équation. 
Elle devra donc satisfaire aussi à l'équation 




W ~ dS = 0, 
an 



ce qui suffît à démontrer la proposition. On en tire 

dS=.0, 



ff*(*--»fn 



quelle que soit la fonction II ; il faut donc que tous les éléments de l'inté- 
grale soient séparéments nuls, soit : 



(5) 



F=:X 



d\ 
dn 



G. Q. F. D. 



Réciproquement, une fonction harmonique V satisfaisant à l'équation (5) 
satisfera à l'équation (3), K étant convenablement choisi, et, parmi toutes 
les autres fonctions satisfaisant à cette équation (3), rendra minima l'in- 
grale I. 

Il est d'ailleurs clair que le raisonnement précédent prête aux mêmes 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 9 

objections que le raisonnement analogue de Riemann, rien ne permettant 
d'affirmer l'existence du minimum considéré. 



7. — En réalité, non seulement on n'est pas certain, a priori, qu'un pro- 
blème quelconque de calcul des variations ait une solution, mais il est aisé 
de voir que le cas où la solution existe ne doit en aucune façon être consi- 
déré comme plus général que le cas opposé. 

Considérons, par exemple, l'intégrale 



/ 



\/dx 2 -+- dy\ 



Si l'on cherche le minimum de cette intégrale relativement aux différents 
arcs de courbes qui joignent entre eux deux points A et B du plan, on voit 
que ce minimum existe et est fourni par le segment de droite AB. 

Cherchons maintenant le minimum de la même intégrale, lorsqu'elle est 
étendue, non plus à tous les arcs de courbes qui joignent A et B, mais seu- 
lement à ceux de ces arcs qui admettent en A et B des tangentes données. 
Il est aisé de constater que ce minimum n'est pas effectivement atteint. Il 
existe, en effet, des lignes (par exemple des arcs de coniques de plus en plus 
aplaties) admettant en A et B les tangentes données, et dont la longueur 
diffère d'aussi peu qu'on veut de celle de la droite AB. Cette dernière lon- 
gueur est donc le minimum cherché : or, elle ne correspond à aucune ligne 
satisfaisant aux conditions du problème. 

Nous avons donc ainsi deux problèmes de calcul des variations dont l'un 
admet une solution, l'autre non. Or, il n'y a aucune raison, a priori, pour 
se poser l'un de ces problèmes plutôt que l'autre, et c'est le second qu'il 
aurait été le plus naturel d'envisager si, dans l'intégrale proposée, la fonction 
inconnue avait figuré non seulement par sa dérivée première, mais encore 
par sa dérivée seconde. 

D'une manière générale, considérant l'intégrale 




F (œ, 



Ih V 



,(!* 



)) dx 



et étant données les valeurs de y, y',..., yV) pour x = x et pour x = x it les 
méthodes classiques du calcul des variations apprennent à trouver le mini- 
mum de l'intégrale si v < jjl — 1. Mais si, au contraire, v > \x, le minimum 
n'est pas effectivement atteint (sauf pour des valeurs particulières des don- 
nées). 



10 



CHAPITRE I 



8.— La théorie des fonctions harmoniques elle-même fournit aisément des 
exemples analogues. Cherchons, en effet, le minimum de l'intégrale 



fin 






bV\ 2 



(à)]dxdydz. 



la fonction V étant assujettie à cette double condition que V et sa dérivée 
normale prennent, sur la surface S limite de T, des valeurs données "V et V„\ 
Si un tel minimum était atteint, il correspondrait nécessairement à une fonc- 
tion harmonique, alors qu'il n'en existe aucune vérifiant à la fois les deux 
séries de conditions aux limites données. 

Le minimum est d'ailleurs fourni par la fonction harmonique V qui prend 
sur S les valeurs données V. C'est ce que l'on constatera (du moins dans le 
cas où cette fonction a ses dérivées finies au voisinage de S) en considérant 
les fonctions de la forme 

y _ FV +X ? 



où X est une constante positive 
S, aux conditions <p 



», une fonction quelconque satisfaisant, sur 



V, -£- — V„'; F = l'équation de S, F étant positif 





__ ôcp _ F ô(V - i) 
bx F -h X àx 


ôV 


_ô<p F b(V — <p) 
by F . 4- X by 


ôV 

bZ 


_bo F ô(V - ? ) 
bz F + X bz 



bF ôF ôF ,, 
à l'intérieur de T et les dérivées -— ■■> •—> tz n étant pas toutes nulles sur S. 

boc ùy ùz r 

On aura 

<V-*> 5 (fÏt) 

On voit par là que la fonction V satisfait, quel que soit X, aux conditions, 
aux limites données, puisque V — cp est seul sur S. De plus, en vertu des 

V çp 

hypothèses faites sur V et sur F, le quotient - iL p — ■ ne dépasse pas une 

certaine limite K : il en résulte que les dérivées de V sont partout inférieures 
en valeur absolue à une limite indépendante de X. 
Dès lors, l'intégrale I, pour X très petit, tend vers la quantité 



ainsi qu'on le voit en divisant l'intégrale en deux parties, l'une relative à la 
région où F < t, et qui tend vers zéro avec e (quel que soit X) parce que 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 11 



le volume d'intégration est infiniment petit ; l'autre relative à la région ou 
F > e et où (e ayant une valeur déterminée quelconque) les différences 



ôV 
ùcc 






&V„ 






ôV. 



^ 



sont infiniment petites avec X. 

Le minimum cherché est donc I et ne peut être atteint par- des fonctions 
satisfaisant aux conditions imposées ('). 



§ 3. - CAS DU PLAN 



9. — Dans le plan (Dini, loe., cit. 
immédiatement au premier. 
En vertu de l'équation 

du 



le deuxième problème se ramène 



rfW 

ds 



où W est la fonction conjuguée de la fonction cherchée V, on est évidem- 
ment conduit aux opérations suivantes : 

1° Quadratures pour déterminer W le long des contours limites ; 

2 a Résolution du premier problème aux limites sur la fonction W ; 

3° Dérivation de W et quadrature 



/dW , Aw , îsW , / , 

^ ds= J ^ dy --w dx= J 



dX 

ds 



ds = V. 



10. Discussion de la solution. — 1° Problème intérieur. 
tendu la condition de possibilité est vérifiée, soit 



Bien en- 



(1) 



/rfV 
dn 



ds = 0, 



l'intégrale étant prise le long de l'ensemble des contours tant extérieurs 
qu'intérieurs. 

(*) Tout récemment, M. Hilbert est arrivé à modifier le raisonnement de Riemann 
de manière à prouver l'existence de la solution pour le problème de Dirichlet et 
même, plus généralement, pour un problème quelconque de calcul des variations, 
moyennant, bien entendu, des conditions restrictives dont la nécessité résulte de ce 
que nous venons de dire. 






12 



CHAPITRE I 



Si l'aire donnée est à un seul contour, cette condition exprime que la 
l'onction W est uniforme le long de ce contour, puisque l'on a 



j * j 



dW 

ds 



ds. 



Dès lor?, la fonction W est bien déterminée dans toute l'aire, et Tinté 
grale I 



— du — ' — dx, uniforme dans la même aire, fait connaître la 

ùx J by ' ' 



fonction cherchée. 

S'il y a w contours limites, l'intégrale / -*- ds ne sera pas, en général, 

nulle sur chacun d'eux, et par conséquent, la fonction W aura sur ces 
contours, des périodes. Mais on fera disparaître n — 1 de ces périodes (et, 
par suite, la n ème , en vertu de l'équation (1)) en retranchant de la fonc- 
tion V -+- iW, des fonctions logarithmiques convenablement choisies, par 
exemple de la forme 

l h log (x -+- iy — <x A ) (h — 1 , 2, ..., n — 1), 

a n <x 2 , ... a n _j étant les affixes de points situés respectivement à l'intérieur 
des n — 1 contours intérieurs et les X des constantes réelles. Les terme 
ainsi introduits ne modifient d'ailleurs V que d'une quantité uniforme. 

Celte précaution étant prise, on connaîtra les valeurs de W aux limites» 
mais seulement à une constante additive près sur chaque contour. 

Lorsque n = 1, la constante unique ainsi ajoutée aux valeurs de W au 
contour s'ajoute par cela même à la fonction W dans toute l'aire : elle est 
sans influence sur la valeur de V. 

Mais, pour n >> 1, une seule des constantes additives c t , c. x , .., c n cor- 
respondant respectivement aux différents contours C lf C 2 , ..., C n de l'aire 
peut être considérée comme insignifiante. Les n — 1 autres (ou plutôt les 
différences c i — c n , c 2 — c n , ..., c n _ i — c n ) influent d'une manière essen- 
tielle sur la fonction W. 

D'autre part, pour que la fonction Vsoit uniforme dans l'aire considérée, 
il faut que l'on ait, sur chacun des n conlouis, 



/ 



dW 

dn 



ds = 



les n équations ainsi obtenues se réduisant d'ailleurs h n — 1, puisque la 
fonction W est harmonique. La question est donc de déterminer les cons- 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 13 



terme & 



tantes c it c 2 , ..., c„_, (en supposant c n = 0, ce que l'on a le droit de faire 
d'après ce qui précède) de manière à satisfaire aux conditions qui viennent 
d'être écrites. 

Soit <p f la fonction harmonique qui prend, sur Ci, la valeur constante i 
et, sur chacun des n — 1 autres contours donnés, la valeur zéro ; et soit 

yj l'intégrale / -p ds, prise le long du contour C ; . L'addition de la cons- 
tante Ci aux valeurs de W sur le contour Ci ajoutera évidemment à W le 

C dW 

et à j -r— ds, le terme C;YJ« Les équations auxquelles devront 

satisfaire les c* seront donc de la forme 

n — 1 

2 dl} = «j (.7 = 1,2, ...n) 

t = 1 

où les a.j sont des quantités données. 

Ces équations, se réduisant an — 1 distinctes, détermineront les c t -, à 
moins que le déterminant S ± yJ yI ••• Y»-î ne s0 ^ nu ^ 

Mais cette dernière hypothèse ne peut se réaliser, ce qui revient à dire 
qu'on ne peut jamais, par des valeurs non toutes nulles des d, satisfaire 
aux équations 

n — l 
2 CiY} = (i = 1,2, ...,n-l). 



En effet, cp f étant constamment compris entre et 1, la quantité 7/ est 
certainement négative et la quantité y/ (t ^j) positive ( 1 ). En particulier, 



on a Yn!>0(2= 1, 2, ..., n — 1) et, par conséquent, l'identité ^ y/ = ^ 

i = l 
(laquelle résulte de l'identité évidente «p, -H <p 2 -+- ... H- ® n = 1) donne 

n-1 

Iy/I> 2' y/ 



où le signe £' désigne une somme étendue aux indices i qui sont différents 



(!) Les quantités y/' ne sauraient être nulles si C lf C 2 , .... C„_j désignent les con- 
tours intérieurs : il faudrait, en effet, pour cela, que -p fût partout nul sur Ç, : . Mais, 

dans ce cas, la fonction ©,■ et la fonction égale à (pour i ^ j) ou àl (pour i = j) 
dans tout l'intérieur de Ç, seraient (n° 1) en prolongement analytique l'une de 
l'autre, et <?i serait constant, ce qui est absurde. 



14 



CHAPITRE 1 



dej. L'équation correspondant à l'indice j ne saurait donc être vérifiée 
si Cj est la plus grande en valeur absolue des quantités c 4 , c 2 , ..., c n -i, 

2° Problème extérieur. — On retranchera de V, comme précédemment, 
des termes logarithmiques tels que la fonction conjuguée W n'ait point de 
périodes sur les contours limites ; et l'on conviendra de déterminer cette 
fonction W de manière que la constante M (n° 2) soit nulle. Dans ces 
conditions, les choses se passent exactement comme pour le problème 
intérieur : la fonction <p £ sera la fonction harmonique qui est égale à un sur 
le contour d'indice i, à zéro sur tous les autres contours, et qui est régu- 
lière à l'infini avec une constante M égale à zéro. 



§ 4. — CAS DE L'ESPACE — APPLICATION DE LA MÉTHODE DE NEUMANN 



11. — La question n'est pas aussi simple dans le cas de l'espace. Il ne 
suffit pas alors de pouvoir résoudre le problème de Dirichlet par une 
méthode quelconque pour en déduire la solution du deuxième problème 
aux limites. 

Par contre, on peut déduire celte solution de la résolution du problème 
de Dirichlet par la méthode de Neumann. 

On sait en effet, que cette dernière donne la solution cherchée sous la 
forme d'un potentiel de double couche. 

Cela posé, supposons qu'il s'agisse du problème extérieur, et prenons 

F 

un potentiel de simple couche de densité s—, la normale étant positive à 

l'intérieur du domaine (c'est-à-dire à l'extérieur de la surface limite 
donnée S) et F désignant la valeur donnée de la dérivée normale. Soient W 
ce potentiel, U sa valeur sur la surface. Déterminons ensuite un potentiel 
de double couche défini à l'intérieur de S et prenant les valeurs U aux 
points infiniment voisins de S situés à l'intérieur : soit W ce potentiel, qui 
s'obtient par la méthode de Neumann et dont la dérivée normale est con- 
tinue au passage de S. 
La fonction cherchée est 

V = W - W ; 

en effet cette fonction, étant la différence de deux potentiels, est har- 
monique dans le domaine considéré. De plus sa dérivée normale prise 
sur la surface limite a pour valeur 



dV 
dn 



dW 

dn 



dW 

dn 



dW 

dn 



dl] 9. F F 

y— = Jir -^ = t 

dn 2tc 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 15 

Dans le cas du problème intérieur, il y a une condition de possibilité : 



Jf 



FdS == 0. 



On suivra d'ailleurs exactement la même voie que pour le problème exté- 
rieur. La condition de possibilité exprimera que la constante C qu'il faut 
ajouter dans la méthode de Neumann au potentiel de double couche pour 
le problème de Dirichlet sera nulle. La différence des dérivées normales 
se calculera comme dans le cas précédent. 

12- — L'emploi de la méthode de Neumann peut prêter toutefois à deux 
sortes d'objections : 

1° Neumann n'a démontré la légitimité de sa méthode que dans le cas 
d'une surface convexe et non biétoilée. M. Poincaré (*) a levé cette restric- 
tion en démontrant dans des cas bien plus étendus la convergence des 
développements de Neumann ; 

2° Il n'est pas évident que la fonction obtenue ait toujours une dérivée 
normale, et l'étude des conditions d'existence dé cette dérivée est assez 
délicate (voir Liapounofî, Journal de Mathématiques pures et appli- 
quées 1898). 

Les conditions suffisantes obtenues à cet égard par M. Liapounofî sont 
de forme relativement compliquée, et rien ne dit que ces conditions soient 
remplies par les fonctions successives à la formation desquelles conduit la 
méthode de Neumann. 

Cette deuxième objection a pu être également levée. Grâce aux travaux 
de MM. Sleklofî et Korn, nous allons montrer, comme l'a fait M. Sleklofî 
dans les Mémoires cités plus haut, qu'il suffit d'avoir établi la légitimité 
de la méthode de Neumann telle qu'on l'étudié habituellement, pour pou- 
voir l'appliquer au problème qui nous occupe. 

La méthode de Neumann ainsi appliquée revient d'ailleurs, ainsi que 
nous allons le voir, à la méthode donnée par Robin pour la recherche de 
la distribution électrique en équilibre. 

Nous désignerons par M un point déterminé quelconque, par r sa dis- 
tance à un point variable M' de la surface. Toutes les quantités relatives à 
ce dernier point seront indiquées par des lettres accentuées. C'est ainsi que 



(') Acta Mathematica, t. 20 ; 1896. 



16 



CHAPITRE 1 



nous désignerons par dS' un élément de la surface S entourant le point M', 
lorsque nous intégrerons par rapport à la position de ce point sur la sur- 
face ; par dn' un élément de la normale en W, au lieu que dn désignera 
un élément de normale en M, lorsque M sera sur la surface ; par V, la 
valeur en M' d'une fonction quelconque V. 

Une fonction quelconque V pourra d'ailleurs avoir des expressions diffé- 
rentes suivant qu'on sera à l'extérieur ou à l'intérieur de S : elle sera 
désignée, suivant l'usage, dans le premier cas par V e ,dans le second par Vf. 
C'est ainsi que, pour un potentiel de simple couche, par exemple, nous 
aurons à distinguer en un point M de la surface les deux dérivées normales 

dV dV 

~J~ ' e * ~J~ ' Nous considérerons en outre l'intégrale 



ff'Û<*-fft 



cos (r, n) rfS', 



étant la densité) autrement dit la valeur de -=- qu'on obtiendrait en dif 



dn 



férentiant sous le signe 



//• 



comme si cette différenliation était légitime 



et qui est, comme on sait la moyenne des deux dérivées ~ et -— . 

Nous désignerons celte dernière quantité par la notation f ■?-). 

p étant une fonction continue sur la surface S ; considérons la suite de 
quantités 

*' = 2V J ?'°à£ dS ' 

(6) ( ft = ^ J J P', ^ dS' 

qui sont précisément celles qui interviennent dans la méthode de Robin ('). 

(i) Toutefois, dans cette dernière, la fonction p est prise telle que j j p dS ^ 0, 
tandis que nous aurons, au contraire, à supposer cette môme intégrale nulle. 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 17 



Ces quantités peuvent être exprimées à l'aide de potentiels de simples 
couches. Si, en effet, Ton pose 



t'J 



V2 ~ 2t. ! I \dn) r ' 



V* = - 



les équations (6) donneront évidemment 




dV k _ l \ f d& 



\ dn ) 



D'après les propriétés connues des potentiels de simples couches, toutes 
les intégrales (6) et (7) existeront et seront continues dès que la fonction p 
possédera cette propriété. 

D'autre part, la fonction V k étant harmonique à l'intérieur de notre 
domaine et possédant des dérivées normales à la frontière, on a, en un 
point de S, 

mais \' k est un potentiel de simple couche de densité ' — k y~ ( — Jr^ •• On 
a donc 



dV u = (dV' k \ __ 
dn' \ dn' j 



\ dn' 



1 ( d\' k _ 
dn 1 



substituant dans l'équation précédente, le terme — 9— / I - 
fera disparaître le premier membre, et il viendra 



dS' 



d§' 



18 



CHAPITRE l 



Or ces équations sont précisément celles que l'on écrit dans la méthode 
de Neumann, celle-ci étant appliquée en partant de la fonction 



(T; 



V, = 



-*/yv« 



Toutefois nous n'obtenons ainsi les fonctions successives de Neumann 
que sur la surface même. Mais il est aisé d'en déduire l'expression de ces 
mêmes fonctions dans les domaines intérieurs et extérieurs. Soit, en effet, 

1 

v k le potentiel de la double couche d'épaisseur — ^— V fc _ 1 , c'est-à-dire 

l'une des fonctions cherchées. On aura, à la surface (puisque le potentiel de 
ladite double couche a, sur la surface même la valeur V A ) 

v k i = v* -h v ft _ i 

et cette équation a dès lors lieu dans tout le domaine intérieur. De même 
on a, pour le domaine extérieur, 



Vu 



V, - V, 



Il résulte de là que les potentiels v, d et v ke admettent des dérivées nor- 
males, puisque les \ k en admettent. De plus, si l'on tient compte des 
valeurs des dérivées normales des V A , il vient 

dvu 



'ki 

dn 



dn kdn ! \ dn j 



Il est donc bien prouvé que v k admet, de part et d'autre de S, des déri- 
vées normales et que ces dérivées normales sont égales entre elles. 



13. — Pour étendre la même conclusion à la somme de la série formée 
avec les v k comme l'indique Neumann, il faut invoquer, avec M. Liapou- 
nof, deux lemmes dont le premier est relatif au mode de continuité de 

( -j~ ) sur la surface et le second, à la manière dont les dérivées normales 

tendent vers leurs limites au voisinage de cette surface. On suppose que 
celle-ci est partout régulière (du moins dans le voisinage des points consi- 
dérés) et, en particulier: 

]° qu'elle admet en chaque point un plan tangent déterminé ; 

2° qu'il existe une longueur D assez petite pour qu'une parallèle à la 
normale en un point quelconque de S ne puisse couper S en deux points 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 19 



situés à l'intérieur de la sphère qui a ce point pour centre et D pour rayon ; 
3° que les plans tangents en deux de ses points situés à une distance r 
l'un de l'autre font un angle moindre que Kr, K désignant un nombre que 
l'on peut assigner une fois pour toutes (*). 

I 3 bis. — Il résulte aisément de là que chacun de ces plans tangents lait 
avec la corde qui joint les deux points un angle inférieur à Kr (K désig- 
nant une constante) ( 2 ). 

14. — Dans ces conditions, soit Vie potentiel d'une simple couche de 
densité p étendue sur la surface S et cherchons, en fonction de la distance 
MM, — 3, l'ordre de grandeur de la différence entre les valeurs que prend 

( -r- ) en deux points voisins M et M, de S, soit de la quantité 




/cos <l> 



^) ds, 



en désignant par r, r l les distances des points M, M, à un point quelcon- 
que M' de la surface, centre de l'élément dS', et par ty, i^i les angles que 
M'AI et M'Mj font respectivement avec les normales Mn, M l n l en M et en 
M 1 {fig. 1). 

Nous partagerons S en deux parties, l'une s comprenant les points dont 
la distance à M est inférieure à ji8 (p étant un nombre déterminé plus 
grand que 1), l'autre s comprenant le reste de S. 

Dans la première, l'intégrale I ? — ^ ds' sera plus petite que KA / — 

(en désignant par A le maximum de \p\ sur S), quantité qui, moyennant 
les diverses hypothèses qui ont été faites, sera plus petite que KAo. Une 

évaluation toute semblable s'applique à / 6 -JJ ds'. 

Y Y\ 

Dans la partie s , les rapports ir, -v- sont supérieurs à \x — 1 et le 
rapport ~ , compris entre ^-j et ~T\ ■ D' aut re part, l'angle M'M,M ou 



(i) M. Liapounof suppose seulement que cet angle est inférieur à kr* : il serr't 
aisé d'adapter les raisonnements qui vont suivre à cette nouvelle hypothèse. 

{-) Nous désignons indifféremment par K divers nombres positifs dépendant de la 
surface, mais indépendants du choix des points M, Mj, M' et de la forme de la fonc- 
tion p. 



20 



CHAPITRE 



son supplément est inférieur à Kr (13 bis) et, par conséquent l'angle 
MM'M'i est inférieur à KS ; il en est donc de même de | cos <\> — cos ty t \ , 
en vertu des inégalités 

2 | cos <\> — cos 4»j | < | ty — ^ | < (M», M^) + (M'M, M'M 4 ). 

D'autre part, l'inégalité \r. — r\ < o montre aisément que -s — Al est 

|**i ? ,2 | 

plus petit que —3 et, par conséquent, la 
quantité 




Figl 

apparaît comme inférieure à 



s d» cos ^ 4 \ 

| , / 1 1 \ cos à — cos (L.n 



K3A 

7* 2 



Or l'intégrale I J -^ , étendue à la portion de surface pour laquelle 

r > R, est inférieure à K | log R | . 

Donc enfin la différence considérée est inférieure à KAo log 8. On remar- 
quera que la limite supérieure ainsi trouvée ne suppose même pas que p 
soit continu : il suffit que cette fonction soit finie. 

14 bis, — Soient, en second lieu, M 2 un point voisin de M et situé d'un 
«îôté déterminé de S, par exemple à l'intérieur, de manière que MM 2 ne soit 
pas tangent à la surface et fasse même avec elle un angle supérieur à une 
limite déterminée ; r 2 , la distance de M 2 à un point arbitraire M' de S, 
laquelle, dans ces conditions, est avecMM 2 dans un rapport qui reste supé- 
rieur à une limite déterminée; ty 2 , l'angle que fait M'M 2 avec la normale 
Mn en M ; ©, o 2 les angles que font M'M, M'M 2 avec la normale MV en M 
[fig. 2). Cherchons à évaluer la différence qui existe entre l'inlégrale 

/ / i 1 $$' e * l'intégrale analogue j l - — 2 -— o?S' prise en M. 

Cette fois, outre les hypothèses précédemment admises sur la forme de la 
surface S, nous en ferons une sur les valeurs de la fonction p : nous sup- 
poserons que la valeur de p en M' diffère de la valeur p que prend cette 
fonction au point M d'une quantité inférieure à Lr a , en désignant par a 
un exposant déterminé (évidemment au plus égal à 1, si M est quelconque 
et que p ne soit pas constant) et par L une constante. 






PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 21 

INous remarquerons ensuite que l'intégrale I j ?° a - dS' est égale à 
2irp et l'intégrale / / p - — ~ dS à 4np , et 



nous écrirons la différence 



cherchée sous la forme 



/cos 4* cos 4*. 



d& = I, + I, + I 3 



'' = ff r ' ^ dS ~ff ? ° ^ 

i 1 =/ , (( f '- f ,)(^-f')« 



/ COS ^ — COS cp cos % — cos <p 2 \ ,~, 

X r* ~~ r 2 2 / 



Nous connaissons la quantité 1 4 . Pour évaluer I 2 , nous décomposerons 
encore S en deux parties s, s formées 
respectivement des points dont la dislance 
au point M est inférieure ou supérieure 
à ;xS, 8 désignant celte fois la distance 
MM 2 et (a un nombre fixe (plus grand 
quel). _ v , F]g2 



Dans s, les deux intégrales 




fj 



(?' - p.) 



cos ? 



rfS' 



a ff v 



> cos <o 2 c , 
Po) —~r- d § 



sont inférieures à KL8 a , en vertu de l'hypothèse faite sur p' — p et du fait 
que r 2 est dans un rapport fini avec 8. 

Dans s , il suffira de remarquer que J cos <p — cos <p 2 | < 2 j o — © 2 | 

< I K sin (© — ©,) I < — et que - 2 ~ < -^ pour voir que 1 inte- 

grale/jf (P'-Po) (°-^--^) <» est plus petite que Kujj^. 



22 CHAPITRE 1 

Or l'intégrale l j -^zoi, étendue à une portion de surface pour laquelle 

r > R, est inférieure à ôr^'a- Donc on a I 2 <C KL8 a . 

Quant à I 3 , il est, dans s, inférieur à KA8, comme on le voit immédiate- 
ment en remarquant que j cos <J; — cos cp j et J cos <\>. 2 — cos f 2 I sont infé- 
rieurs à Kr. Dans s , on remarquera r cos ^ — r. 2 cos ù 2 et r cos o — r 2 cos ip a 
sont respectivement égaux à cos et cos 0', en désignant par et 0' les 
angles que fait MM 2 avec les normales en M et en M', angles dont la diffé- 
rence est plus petite que Kr. 

T ,.'-. cos <L — cos cp cos <!>, — cos o . 

La quantité ± — 5 ï ?•- — : ,- »-s sera donc la somme de 

deux termes 

r cos <\> — r 2 cos <\>. 2 — [r cos 9 — r. 2 cos ? 2 ) (cos — cos 0') 

_ _.....__„ _ 

et 

r (cos ty — cos ? ) (~ 3 — -. 

dont chacun est inférieur à — 2 . L'intégrale I 3 (prise dans s ) sera donc 



moi 



ndre que KA8 I / -^-, c'est-à-dire que iTA8 log 8. 



Donc enfin la différence cherchée est inférieure à KLo a pour a < 1, et à 
K (A 4- L) 8 log 8, pour a = 1. 

Notre raisonnement suppose toutefois que le point 2 se rapproche de M 
de manière que l'angle de MM, avec la surface ne soit pas infiniment petit. 
Mais il est aisé de se passer de cette condition. Il suffit, lorsqu'elle n'est 
pas réalisée, de considérer un point M t situé sur S et lendant vers M en 
même temps que M 2 de manière que l'angle de M t M 2 avec la surface soit 
toujours supérieur à une limile déterminée. On comparera alors les deux 

intégrales / f ^ d& et Ç f-^P dS' à l'intégrale analogue f —-4- 1 dS 

relative au point M, : en vertu de ce que nous venons de démontrer et de 
ce qui a été établi précédemment (n° 13) nous aurons, pour les deux dif- 
férences ainsi obtenues, des limites supérieures de la môme forme que 
celles qui viennent d'être indiquées pour le cas où MM 2 , faisait avec la 
surface un angle fini. La conclusion est donc absolument générale. 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 23 

15. — Nous avons encore une remarque à présenter, relativement à la 
dérivée normale du potentiel de double couche. Les conditions précédem- 
ment imposées à la fonction p ne nous permettent pas de conclure que 
celle dérivée a une limite à la surface, ni même qu'elle est finie ; mais la 
limite supérieure que nous allons trouver pour cette dérivée, quoique 
augmentant indéfiniment lorsqu'on s'approche de la surface, va suffire 
pour la suite du raisonnement. 

Nous obtiendrons cette limite supérieure en remarquant que la dérivée, 

suivant une direction quelconque, de l'expression — ^ ( ou r es ' ^ a ^is- 

tance du point variable M à un point déterminé quelconque M' de la sur- 
ir 
face et <f l'angle de MM' avec la normale en M') est inférieure à - 3 . La 



T° 



dérivée du potentiel de double couche sera donc moindre que KA 



If? 



(où A est le maximum de |p|). Or il est aisé de s'assurer (en comparant, 
par exemple, avec l'intégrale analogue prise en remplaçant la surface par 

son plan tangent) que cette expression est moindre que -y- , si o est la 
distance du point M à la surface. 

1 6. — Cela posé, reprenons les fonctions \ k ; supposons démontré (comme 
on est conduit à le faire dans la mélhode de Neumann) qu'elles tendent 
vers une constante L, la différence étant uniformément plus petite que le 
£ème terme d'une progression géométrique de raison X. Cherchons d'abord 

à en déduire une limite pour p k = ( -r-^). 

A cet effet, M étant un point de la surface et M 2 un point pris à l'inté- 
rieur sur la normale en M, à une distance S du point M, appliquons à la 
fonction p k les inégalités que nous avons trouvées aux n° 14 et 14 bis. l\ k 
désignant le maximum de | p k | sur S, nous voyons d'abord que la diffé- 
rence de deux valeurs de p k + t correspondant à deux points de S situés à 
une distance d l'un de l'autre est moindre que KR k d x (a étant plus petit 
que t, mais d'aussi peu qu'on le veut). Il en résulte que, en M 2 , la valeur 

dn 



de — -^— satisfait à l'inégalité 



Or V*4. 2 peut se mettre sous la forme d'un potentiel de double couche. 
Nous avons vu, en effet, que la double couche d'épaisseur N k avait pour 






£4 CHAPITRE I 

potentiel intérieur Y k -+- V & + 1 . Donc V* sera à une constante près, (étant 
données les hypothèses de convergence faites sur les V) le potentiel d'une 
double couche dont l'épaisseur est 

W k = Y k - V* + 1 + V* 4. 2 - V* + , + . . . 

par conséquent moindre que C\ k (C étant une constante déterminée). 
L'inégalité trouvée pour la dérivée normale du potentiel de double couche 
permet donc de mettre l'inégalité (9) sous la forme 

I P*+. - Pm-i I < K ((R* 4- B, + 8« -h ^); 

; a 

nous ferons 8 = X* f X' 1 = À', et il viendra (*) 

(10) I p* + , - p*+t l"< (K(R* h- R*+ + c) x<*. 

En particulier, on aura 

r m . 2 <r, +1 + v*[K(Ri + R*+o+',4 

On obtiendra une limite supérieure de R k en remplaçant les inégalités 
successives ainsi obtenues par les égalités correspondantes. On aura alors 
R/t+ i >> R/c et, par conséquent, 



R 4+ ,<R* + 1 H-V*(2KRi +1 -hC) 
R* +2 +2^< (1 -H 2KX'*) (R, + 1 + 2 4A 



ou 



Cette inégalité nous montre R k -h J comme un produit infini conver- 
gent, et, par conséquent, R k comme une quantité finie. 

Tl en résulte d'après l'inégalité (10) que la série ^, (p ft 4. t — p k ) con- 
verge uniformément à la façon d'une progression géométrique. La fonc- 
tion p k tend donc, en chaque point de la surface, vers une limite p, qui 
satisfait (d'après les équations de définition (6)) à l'équation 



= rj J f' ■£ 



dS'. 



0) K désignant toujours indifféremment divers nombres positifs qui ne dépendent 
que de la nature de la surface S, C désignera indifféremment divers nombres posi- 
tifs qui ne dépendent que de S et de la forme de la fonction p . 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 



Si l'intégrale 



//- 



dS est différente de zéro, cette fonction p n'est pas 



identiquement nulle ( puisque l'on a I J pc£S = I J p dS ) : elle est la 



distribution de la couche électrique en équilibre (la surface S étant celle 
d'un conducteur isolé et soustrait à toute influence), la méthode par laquelle 
elle vient d'être obtenue étant celle de Robin. 

Si au contraire / / p dS = f / pdS = 0, la fonction p est identique- 
ment nulle. Cela revient, en effet, à dire qu'une couche électrique en équi- 
libre par elle même et de quantité totale nulle est à l'état neutre partout : 
proposition dont la démonstration est bien connue. 

Ip/tl est alors plus petit que Ck' k (C désignant une constante). TI en résulte, 
d'après le n° 14, que la différence des valeurs de p k en deux points M, M A 
de la surface est moindre que CV k . MMj a ; puis, en vertu du n° 14 bis, 
que l'on a l'inégalité 



11 



(Phi 
dn 



— \?k — ?k- 



<CX'*i MM 2 " 



et enfin, d'après ce qui a été vu au n° 12, l'inégalité 

< 12 > \&n)u.r {9t - ?k - i] \ <cv "- m7 - 

Cette dernière inégalité est d'ailleurs vraie, que le point M 2 soit intérieur à 
la surface (v k = v ki ) ou extérieur (v k = v ke ) ; elle démontre que la conclu- 
sion relative aux dérivées normales des fonctions v k s'étend à la série de 
Neumann qui a pour termes ces fonctions, puisque le coefficient de MM 2 a , 
dans le second membre, est le terme général d'une série absolument con- 
vergente ; elle achève par conséquent la résolution de la question. 

Si I I p d$l= j j pdS^zf 0, nous n'avons à nous occuper que de la 

solution du problème hydrodynamique extérieur, et, par conséquent, nous 
n'avons à considérer que la série par laquelle Neumann résout le problème 
de Dirichlet intérieur. Or cette dernière est alternée, de sorte qu'il nous 
suffira, cette fois, d'établir des inégalités analogues à (11) et à (12) en 
remplaçant \ k , v k , p k par V^ — V^-i, v k — i^_j, p k — pk-r ® r on obtien- 
dra de pareilles inégalités en remplaçant, dans les raisonnements qui. ont 



26 CHAPITRE 1 

conduit aux formules (11) et (12), o k par p k — p fc _ t , lequel est en toute 

hypothèse I que I I p dS soit nul ou non J inférieur a CX' fc . 

La conclusion demandée est donc établie dans tous les cas. Elle nous 
fait connaître la solution du problème de Neumann, p étant pris égal 
aux valeurs données F de la dérivée normale et la fonction V, définie 
par l'équation (7 ; ) n'étant autre, au signe près, que le potentiel W du 
n° 11. 

17. — Si au lieu de se donner exactement les valeurs d'une fonction 
harmonique V sur la surface limite S d'un certain volume, on se donne seu- 
lement une limite supérieure du module de V, on peut, ainsi que nous 
l'avons rappelé plus haut, assigner des limites supérieures aux modules de 
V et de ses dérivées en un point intérieur quelconque. 

De même, on peut se proposer de trouver des inégalités analogues lors- 
qu'on se donne, non plus une limite supérieure de |V|, mais une limite 

\d\ 
supérieure de -r- à la surface. Il ne peut être question, ici, d'obtenir une 

limite supérieure de |V| en un point donné, puisque V n'est déterminé 
qu'à une constante près. On peut seulement assigner une limite à la diffé- 
rence des valeurs de V en deux points intérieurs donnés quelconques. 
C'est à quoi la méthode précédente permet aisément de parvenir f 1 ). 
Soit en effet a une limite supérieure du module de 

dn 
I F |< a. 



Le potentiel W défini plus haut 
sera tel que l'on aura 



W |< Ka, 



(i) Poincaré. — Sur les équations de la Physique Mathématique, Rendic. del 
Circolo matematico di Palermo, tome 8, p. 1 14-115; 1894. 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 27 

K étant une constante ne dépendant que de la forme de la surface. On en 
déduit, si [W] représente l'oscillation possible de W : 

[W] < 2 Ka. 

On détermine ensuite dans la méthode de Neumann : 

W 

V 2 , potentiel de double couche d'épaisseur ,j-^, 

V. 



2 

2V 



Vi-i 



et Ton a, d'après Neumann, À étant une constante positive inférieure à un : 

[V 2 ] < X [W] 
[V.] < X [VJ 

On en déduit : 

[V i+i ]<2KK* 

1 



[V] = [W + SVJ < [W] -+- s [Vi] < r ~ 2 Ka 



ou 



[V] < /*«, 
h étant une constante déterminée. 

18. Recherche directe d'inégalités. — On peut, jusqu'à un certain 
point obtenir des conclusions analogues directement sans passer par la 
méthode de Neumann, en employant quelques-uns des moyens par lesquels 
M. Poincaré (*) a établi la légitimité de cette méthode et faisant tout 
d'abord usage de l'inégalité de M. Schwartz. 

On sait que cette inégalité résulte de la considération de l'intégrale 

H = S [(A, 4- XBj 2 -+- (A 2 -+- XB 2 ) 2 -h . , . -K A p -h XBJ 2 ] d* 

ou S est un symbole d'intégration simple ou multiple étendue à une mul- 
tiplicité a, de l'élément différentiel de a ; A lt A 2 , ..., B 4 , B 2 , ..., des fonc- 
tions déterminées et X une constante arbitraire : intégrale qui s'écrit 

(13) H = l4-2XK + X 2 J, 



, 



(*) Acta Math., loc. cit. 



~° CHAPITRE 1 

en posant 

i =-S(à;h-àï+... )d« t 

K = $(k i B i -h A 2 B 2 + ...).da, 

j = s (B 3 -h b; h- ... )dz. 

La forme quadratique (13) étant positive, quelque soit X, on doit avoir 
(14) A = IJ — K 2 >0 

et c'est en cela que consiste l'inégalité de M. Schwartz. 

Le minimum de H, lorsque X varie, a lieu pour X = y et a pour 

valeur 

H- A 

Enfin l'inégalité (14) résulte encore de l'expression de A lui-même sous 
forme d'intégrale multiple 

A = \ SS|~2 (A»B'y _ A^B ( ) 2 1 dad*', 

où les éléments da, du' décrivent, indépendamment l'un de l'autre la mul- 
tiplicité 9 et où les A', B' sont les valeurs des fonctions A, B en un point 
de dv'. 

Appliquons l'inégalité précédente au cas où a est une surface fermée S : 
Soit V une fonction harmonique à l'intérieur de S. Considérons d'abord 
l'intégrale de surface 



-// 



(V + X)« rfS. 

11 résulte de ce qui précède que le minimum de cette intégrale est q-, en 
désignant par A l'intégrale quadruple 

(V — V') 2 dSdS'. 



tffff< 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 29 

Considérons, en second lieu, l'intégrale de volume 

(où di est l'élément de volume dx dy dz), étendue au domaine D limité 
par S. V étant harmonique, on a 



ff^< 



G = — / I (V-t-X)îV-rfS 



quelle que soit la constante X, et, par conséquent, en vertu de l'iné- 
galité (14), 

G 2 <HJ 

où 



-/y© 



En donnant à X la valeur qui correspond au minimum de H, il vient 

fi 2 T 

(15) |<|, 

S désignant l'étendue totale de la surface donnée. 

dV 
Si l'on s'est donné les valeurs de —r- sur cette surface, le second membre 

de l'inégalité précédente est connu. 

19. — Mais M. Poincaré a établi, entre les quantités G et A, une seconde 
inégalité : il a montré que Von peut, quelque soit la fonction V (harmo- 

A 

nique ou non), assigner au rapport p une limite supérieure qui ne dépend 

que de la forme de la surface. 

Supposons d'abord celle-ci convexe et telle qu'il existe une limite supé- 
rieure p au rapport -tj — \ l étant la longueur d'une corde de la surface, 



30 CHAPITRE I 

et (l, ri) l'angle de cette corde avec la normale à l'une de ses extrémités. 
Soit en outre L le maximum de la longueur l. On peut, dans l'intégrale 
quadruple A, exprimer dS' au moyen de l'angle sphérique 

, c?S' cos (/, n) 

<te = — ^— 

sous lequel on voit c?S' d'un point de dS. On a, d'après l'hypothèse : 

A < 9" / / / /( V — V ') 2 C0S (*» U ) rfS d ™' 




Je mets en évidence les intégrations successives, en supposant qu'on 
effectue d'abord celle relative à l'élément dS de S, puis celle relative à 
l'élément drs de la sphère 2 sur laquelle on fait successivement les diffé- 
rentes représentations sphériques de centres e?S ; remplaçant en outre 
(V — V) par une intégrale linéaire prise le long de l, on a : 



2 / dm / cos (*■ n ) rfS I Tl dl \ 



A<' 



Mais, d'après l'inégalité de M. Schwarz on peut écrire 

il s%l 






MfH3)*J- 





11 vient donc 

*<ç f f*. f /Le»* f'[@HlKi)> 

ou, puisque cos (l t n) dS est la projection de dS sur un plan perpendiculaire 
à la direction de L 



4<V" 



r//*///[(S)'*(S)'-©']- 



L'intégrale triple n'est autre (quel que soit l'élément cfe envisagé) que G. 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 31 

Il vient donc 

(16) 



î< 1 



X== 



> 2 L 




dm = 2izo i L. 



20. — Cherchons à passer du domaine limité par une surface satisfaisant 
aux conditions du numéro précédent au domaine limité par une autre surface 
quelconque. Nous pourrons en général, si la connexion reste la même, 
c'est-à-dire si nous avons toujours affaire à une surface unique simplement 
connexe, établir une correspondance entre les points (x, y, z) et (x' , y', z') 
des deux domaines telle que les coofdonnées du second soient continues 
par rapport à celles du premier, que leurs dérivées du premier ordre soient 
finies et continues sur la surface limite et que le module du déterminant 
fonctionnel 

D(a?, y, z) 
reste constamment supérieur à une quantité positive donnée. 
Je dis que dans ces conditions, le rapport 

A G' 

A'G 

(A' et G' étant les quantités analogues à A, G) a un maximum positif dé- 
terminé. Cela suffira évidemment pour que l'on puisse tirer de l'inégalité 
du paragraphe précédent une autre inégalité 



A' 



7:<V 



Posons pour le démontrer : 

/bV\ 2 /bV\ 2 , /bV\ 2 /bV bV ôV\ 

dx' 2 + dy' 2 -h dz' 2 =.- f (dœ, dy, dz). 

Les formes /"et © ont pour discriminant le carré du déterminant fonction- 
nel. Ces deux formes représentent des ellipsoïdes dont les axes sont com- 
pris entre des limites déterminées. On connaît donc une limite inférieure 
de la quantité 



ôvy 



bvy 

dZ ) 



Ix'J 



IM?' 



-h 






32 CHAPITRE t 

Le rapport -j~ a aussi an minimum. Il en est donc de môme de ~r • D'au- 
tre part -70- a un minimum donné par le rapport des sections de l'elli- 
psoïde f= 1 et de la sphère de rayon 1. On a donc bien ainsi un minimum 
de*. 



£1*. — On peut procéder autrement et généraliser le mode de démonstra- 
tion du paragraphe précédent en employant, au lieu de cordes reclilïgnes, 
des cordes curvilignes à 4 paramètres, telles que par deux points de la 
surface il en passe toujours une et une seule; qu'il y ait des limites supé- 
rieures L, p à leur longueur l et au rapport j-. — v ; qu'enfin on puisse 

COS l 6 y it) 

les distribuer en familles dépendant chacune de deux paramètres a, b et 
telles que, si s désigne l'arc décrit sur une corde quelconque de la famille 
le module de 

D (gj y, z) 

D (a, b, s) 

reste supérieur à un nombre déterminé. Dans ces conditions, les raisonne- 
ments du n° 19, resteront valables. 

2S. — Combinons maintenant l'inégalité (16) avec l'inégalité précé- 
demment obtenue (15) (n° 18); il vient 

G< -g-, 
X 2 J 

A <ir- 

Ce sont les inégalités que nous avions en vue. 

On peut remarquer que ces inégalités donnent une limite supérieure de 
l'intégrale 



— Il If** — 

'J J J {""* 



b* ôV 5* ôV\ , 



(dans laquelle on désigne par * une fonction donnée quelconque). 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 33 

puisque, toujours d'après l'inégalité de M. Schwarz, on a : 



é Z3, — Les inégalités auxquelles nous sommes parvenus à l'aide de la mé- 
thode deNeumann jouent, relativement au deuxième problème aux limites, 
le méme.,rôle que remplissent, par rapport au problème de Dirichlet, les 
propositions rappelées au n° 1 ; mais elles sont loin de fournir, pour 
l'oscillation de la fonction cherchée et les modules de ses dérivées, des 
limites aussi précises que les premières. Elles ne pourraient, par exemple, 
servir à constituer, pour le problème de Neumann, des méthodes alternées 
semblables à celles que l'on emploie dans la résolution du problème de 
Dirichlet. Nous savons qu'il existe un nombre auquel reste inférieur le 

rapport de l'oscillation de V au module maximum de ~r- ; mais l'existence 

même de ce nombre est tout ce que nous connaissons à son égard. 

Cette absence de données précises sur le coefficient dont nous venons de 
parler est une des principales lacunes de nos connaissances sur le deuxième 
problème aux limites. 



§ o. — FONCTIONS DE Fr. NEUMANN ET DE KLEIN. 

24. — Les considérations exposées au § 4 démontrent l'existence delà 
solution, mais n'en fournissent aucune expression simple. 

Nous allons constater qu'on pourrait écrire de telles expressions si l'on 
savait construire, pour le deuxième problème aux limites, des fonctions 
analogues à la fonction de Green, dont on connaît le rôle essentiel dans la 
théorie du problème de Dirichlet. 

Comme la fonction de Green, les fonctions y M que nous considérerons 
seront harmoniques dans le domaine donné, sauf en un point A choisi 
arbitrairement, où elles deviendront infinies (dans le cas de trois dimen- 
tions) comme l'inverse de la quantité r = AM. 



34 CHAPITRE 1 

De telles fondions ne satisferont pas, s'il s'agit d'un domaine intérieur, 
à l'équation (1) du n° 4. Cette équation n'est vraie que si l'on adjoint à la 
surface limite donnée S, la surface d'une petite sphère 2 ayant A pour 
centre. Or, lorsque le rayon de cette sphère devient infiniment petit, l'inté- 
grale j j —± dZ tend vers 4ic, puisque y A se réduit alors à son terme 
/ta 

principal -. Sur S, l'équation (1) du n° 4 doit donc être remplacée par la 
formule suivante 

(17)- | ; .... ■- - 



J J d ' : 



1° Fonction de Franz Neumann. — Problème extérieur. Soit y" une 
fonction des coordonnées du point M, harmonique dans'le domaine donné, 
sauf au point A, ayant une dérivée normale nulle sur la surface, et deve- 

1 1 

nant infinie en A comme -, c'est-à-dire telle que y a reste harmonique 

en A. La détermination d'une telle fonction est évidemment un cas parti- 
culier du deuxième problème aux limites. Mais elle suffira à résoudre ce 
même problème dans le cas général. V étant une fonction harmonique 
satisfaisant aux conditions du problème, autrement dit, telle que, sur 

S, -y- = F, il suffit de raisonner sur V et sur vf comme dans la théorie 

dn ,A 

de la fonction de Green pour obtenir 



(E) v - = -K / / £ FrfS ' 



Problème intérieur. — On ne peut plus, en vertu de l'équation (17), 
prendre 

dn 

sur la surface; nous allons seulement prendre celle dérivée constante. On 
aura alors évidemment 




PROBLÈME AUX LIMITES DE L.V THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 35 

En appliquant encore le théorème de Green aux fonctions V et y a , il 
vient, celte fois, 

Va = - ,' / I ' - / I 



kff^s-iff* 



Mais nous ne cherchons V A qu'à une constante additive près, c'est à-dire 
que nous ne cherchons que la différence V A — Va', A' étant un point ori- 
gine quelconque. Nous pouvons donc négliger le terme complémentaire 
qui est le même pour tous les points. 

£5. — 2° Fonction de Klein. — Dans le cas du problème intérieur, la 
fonction y M de Fr. Neumann n'est elle-même déterminée qu'à une cons- 
tante additive près. Ce fait constitue un inconvénient à divers points de 
vue. C'est ainsi qu'il ne semble pas possible, dans ces conditions, d'établir, 
pour la fonction y*, une propriété de symétrie analogue à la relation bien 
connue 

(18) 9" = < 

à laquelle donne lieu la fonction de Green classique. 

Pour obvier à cet inconvénient, M. Klein (*) a été conduit à former une 
fonction possédant, non un seul pôle, mais deux pôles de signes contraires. 
Une telle fonction satisfait à l'équation (1) du n° 4. Rien ne s'oppose donc 
à ce que sa dérivée normale sur la surface soit partout nulle. La fonction 
de Klein est donc définie par cette condition et par les suivantes : être 
harmonique dans le domaine donné, sauf en deux points A et A ; être 

1 

telle aux environs de A que sa différence avec - reste harmonique ; aux 

11 

enviions de A que sa différence avec = — ^j- reste harmonique; 

enfin s'annuler en un point donné M . La valeur d'une telle fonction en 
un point M du domaine s'écrit 

pMM 

AA ' 



(!) In Pockels, Ùber die partielle Differentialgleichung Att + K-u = undderen 
Auftreten in der Mathematischen Physik; Leipzig, 1891. 



^^^™^™^^" 



36 CHAPITRE I 

C'est, en réalité, l'accroissement que subit de M à M toute fonction 
satisfaisant à toutes les mômes conditions, sauf à la dernière. 

La fonction T™**° permet, comme la fonction de Fr. Neumann, de résou- 
dre le problème posé, puisque l'on a, d'après le théorème de Green : 



',//'-:«. 



rfS M =■ Va - V An . 



La constante arbitraire qui s'ajoute à la valeur de V A est ici — V Ao . 
D'autre part, comme r" 1 ^ 2 représente l'accroissement d'une fonction 
entre les points A 2 et A 4 , on peut écrire : 

AjAo A]A 2 """"" AjAo 

et en particulier : 

r MjM 2 pMoMj 

AjA-2 AjA 2 

On pourra faire les mêmes opérations sur les indices inférieurs : 

pMjM.2 -pMiM^ pMjMj 

A t A3 ÀjA., ~f~ A0A3 ' 

comme on le voit immédiatement en se reportant à la définition du sym- 
bole r. En particulier : 

r M)M 2 «MiM-2 

AjAo -* 2 Aj ' 

Je dis qu'on a en outre : 

MQ\ r MjM 2 pAjA 2 

l ly J l A,A 2 l M t M 2 ' 

c'est-à-dire la propriété analogue à la propriété de la fonction de Green. 
En effet, posant, pour abréger 

HM) — r Al A 2 

•ni, , pMA 2 

r (M)— r M ,M 2 

on a, d'après le théorème de Green : 

Mais le premier membre est nul ; l'égalité est donc démontrée. 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 37 

26. — Ainsi que nous allons le voir, il n'est nullement nécessaire d'a- 
bandonner la fonction de Fr. Neumann pour conserver la propriété de sy- 
métrie. Il suffît d'en compléter la définition. 

La fonction y M n'est, en effet, définie qu'à une quantité additive près, 

laquelle ne dépend pas du point M, mais est fonction de la position du 
point A. Nous allons conslaler qu'il suffit de déterminer convenablement 
la quantité additive en question pour que la fonction de Neumann possède 
la propriété demandée. Tout.d'abord, on peut passer facilement de la fonc- 
tion de Neumann à celle de Klein. 
On a, en effet, 

A]A 2 Vàj ^Ao ÏAj ~*~ Ïa 2 

car le second membre possède les propriétés qui caractérisent le symbole 

r XIlM 2 
AjA 2 * 

Il résulte de là qu'une propriété tout analogue à celles qu'expriment les 
équations (18), (19) appartient également au symbole de Neumann, 
pourvu qu'on détermine convenablement le paramètre arbitraire, fonction 
du point A, qui figure dans ce dernier. L'équation (19) s'écrit, en effet, 
d'après la relation précédente : 



Mi Mi 



ÏAi LA.) V A j "■ l'Ao l'Mj ï XIo ^M{ Ïmo' 

d'où, en posant 

(80) YÏ-ï£-?fA.M): 

o ( A n M,) - o (A lf M 2 ) — o (A 2 , M,) H- ? ÇA 2 , M 2 ) = 0, 

relation fonctionnelle à laquelle doit satisfaire la fonction cp et dont la 
solution générale est, ainsi qu'on le voit aisément : 

cp (A, M)=.tl(A) — 6, (M). 

Il est d'ailleurs clair, en vertu de l'équation (20), que les fonctions ty et ^, 
doivent être identiques. 

On peut dès lors choisir les fonctions y telles que la fonction o soit tou- 
jours nulle : il suffit de remplacer -^J par y'* 1 = yj — «|*(A). 

La fonction ^(A) peut d'ailleurs être déterminée directement de manière 




38 CHAPiTRE I 



à annuler ©. Je dis en effet qu'il suffit pour cela de calculer en chaque 
point A la constante ^(A) P ar l ft condition 

/ ! y t^sm= ! ! [ïr-MA)]-^M 

= / / Y*tfS M — S*(A) = K, 

K étant une constante choisie une fois pour toutes, mais arbitrairement 
(on pourra, par exemple, prendre K = 0). 
On aura bien alors, en effet, 



J J \ A dn » dn 



rfS M = 



et, par conséquent, en appliquant le théorème de Green aux fonctions y' m 
et y'q, on obtient la relation cherchée 

(21) il=<- 

Réciproquement, si cette relation a lieu pour tous les couples de points 
(A, B), on a 



(22) 



/ / ^Sm-K, 



K étant une constante indépendante de A. 

27. — On sait que l'usage de la fonction de Green permet de résoudre 
non seulement le problème de Dirichlet, mais aussi le problème géné- 
ralisé relatif à l'équation 

(2) AV = f{x, y, *), 

/"étant une fonction donnée en chaque point du domaine D envisagé. 

Pareille remarque s'applique à la question actuelle. Soient données, 
d'une part, l'équation (2) et, d'autre part, la condition à la surface 

(23) I = F > 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 39 

la condition (1) du n° 4, pour le problème intérieur étant remplacée par 



f24i 



/ / / f{*>'J> z)di+ l / FdS = 0. 



En appliquant le théorème de Green à la fonction V et à la fonction de 
Neumann y* , il viendra 



(25; 




**V A + / / / YÎ7* + / / lï*& 



— G 



ff" ds - 



4tt 
C étant égal à zéro s'il s'agit du problème extérieur, et à la constante -~- 

(d'après l'équation (17')), s'il s'agit du problème intérieur. Dans les deux 

cas, le terme G / / Vc?S peut être laissé de côté, soit parce qu'il est nul, 

soit parce qu'il est constant. 



§ 6. — CAS DE LA SPHÈRE (*) 

£8. — Après avoir établi l'existence de la solution du deuxième pro- 
blème aux limites et montré comment son expression se ramène à la re- 
cherche de la fonction de Fr. Neumann, il nous reste à indiquer les cas où 
cette solution peut être obtenue effectivement, par exemple où la fonction 
de Neumann est connue. Mais ces cas sont en très petit nombre. 

Une méthode générale par laquelle on peut se proposer d'exprimer la 
solution cherchée consiste à la représenter par une série de la forme 

A <ï> -h A 4 *j -h ... -+- A m * M ~h ... 

où les 4» sont des fonctions harmoniques déterminées, les A étant des coef- 
ficients arbitraires. Il est clair qu'on obtiendra une telle représentation si 
l'on peut mettre les valeurs données de la dérivée normale sous la forme 

A ° rfïT + Al dà " + - + Am ~diï + - 

C 1 ) Dini, loc. cit. 




40 CHAPITRE l 

C'est ce que l'on pourra souvent réaliser en prenant pour les * les fonc- 
tions fondamentales introduites par MM. Poincaré, Le Roy, Stekloff, etc. 

29. — Cette méthode conduit immédiatement à la solution dans le cas 
de la sphère. On sait que toute fonction donnée sur cette surface peut être 
développée en série de fonctions sphériques, pourvu qu'elle soit continue 
et satisfasse aux conditions de Dirichlet sur tout grand cercle. 

Cela posé, supposons d'abord qu'il s'agisse du problème intérieur. Nous 

avons. à trouver la fonction V, connaissant -r~, qui satisfait à la relation 

I I ^s = o 



Nous nous donnerons V sous forme d'une série de polynômes sphé- 
riques 

V-Y + pY l + p^Y 2 + .... 
On en déduit : 

d\ T 
(26 > Tn = ~ (Y * + 2RY * + - + mR,H " ' Y - + -)• 

dV 
Il suffit donc de développer -,— en série de fonctions de Laplace 

*i -*- *a + ••• + *m H- ••• 

Il ne doit pas y avoir de terme en Y : c'est précisément là la condition 
de possibilité (1) du problème. Il n'y aura plus qu'à poser 

-y m 

m ~ mR'»- _1 

dV 
Lors même que la fonction -y-, ne satisfaisant pas aux conditions de 

n dn r 

Dirichlet, ne pourrait pas être développée en série de fonctions sphériques, 
on pourrait (*), pourvu qu'elle soit continue ou même finie avec disconti- 
nuités isolées, la développer en une série dont chaque terme serait une 
somme de fonctions sphériques (de degrés différents enlre eux, en général) 
et raisonner sur cette série comme sur la série (25) ( 2 ). 



(') Picard, Traité d'Analyse, t. I, p. 248 et suiv. 

( 2 ) Cf. Le Roy. Thèse Sur V intégration des équations de la chaleur, p. 28-30. 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 41 

On aurait de même pour le problème extérieur 



Y Y 

o o- 



Y, 



,m + i 



et on déterminerait les Y d'une manière analogue à la précédente. 

29'"*. — Cas de deux sphères concentriques. — La môme méthode 
s'applique à l'espace compris entre deux sphères concentriques de rayons R x 
et R 2 ; on posera (*) ici 

V = Y -hY lP + ... -f'Y mP '» + ... 
Y' Y' Y' 



On déterminera simultanément Y, n et Y',„ par deux équations 
mR" - « Y — igL±JlZg — <ï> 



— mRr 1 Y,„ + 



(m -M) Y', 



*', 



dont le déterminant est différent de zéro, pour m >> 0. Pour m — 0, les 
deux équations seront encore compatibles moyennant la condition de pos- 
sibilité (1). 

30.— Dans les deux problèmes que nous venons de traiter, la solution 
peut être obtenue sans recourir aux séries. Nous allons faire voir que, soit 
dans le cas d'une sphère, soit dans celui de deux sphères concentriques, on 
peut ramener le problème de Ncumann au problème de Dirichlet et à des 
quadratures. 

Cas d'une seule sphère. — Soit D le domaine intérieur (ou extérieur), 
limité par la sphère S. Soit D' le domaine limité par la sphère S' obtenue 
en augmentant (ou diminuant) de dR le rayon R de S. 

Si V est la fonction cherchée, on pourra en déduire par simple homo- 
thétie une fonction Y r harmonique dans le domaine D et prenant en les 
différents points de S' les valeurs que prend V en les points correspondants 



(') Dans le cas où les valeurs données de la dérivée normale ne satisferaient pas 
aux conditions de Dirichlet, on appliquerait la même modification qu'au n° précé- 
dent. 



42 CHAPITRE l 

de S. La différence V — V sera harmonique dans D. Mais elle prendra sur 
S la valeur -=- dR. Si donc on pose 

Vl ~ ~dR~ 

on saura calculer V t puisqu'on sait résoudre le premier problème aux 
limites. 

C'est cette fonction V 4 qui va nous servir à calculer V. 

Autrement dit, et plus rigoureusement : V(a?, y, z) étant harmonique, 
il en est de même de V(kx, h/, \z), où X est une constante arbitraire, tl 

en est donc de même aussi de -y V (ka>, hj, lz), c'est-à-dire, pour X = 1, 

de 

fom XT bV bV bV ? bV 

v • i b.v J by b£ bo 

o étant la distance au centre. 

De fait, on voit directement qu'on a 

v y \ ôa? ^ b?/ ôsr / \ bx J by Hz J 

Vi étant calculée, on déduira V de l'équation (27), par l'intégrale recti- 
ligne suivante, prise sur le rayon OM 






(29) V = / -^ d% H- G te (problème intérieur) 



/ V 
(30) V = — j ~k dB (problème extérieur). 



o 



L'intégrale a un sens dans le cas du problème intérieur, car la condition 

v, = o 

au centre de la sphère n'est autre, d'après le théorème de Gauss, que celle 
de possibilité du problème 




«■ 



PROBLEME AUK LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 43 

L'intégrale a également un sens dans le cas du problème extérieur, car 
V, a été calculée comme fonction régulière à l'infini. 

Si \ i est une fonction régulière à l'origine et s'y annulant, il en sera de 
même de 



/ou 



ainsi qu'on le voit en remplaçant Y i par son développement en série de 
Maclaurin. 

De plus, si Vj est harmonique, V le sera aussi ; car, en vertu de l'équa- 
lion (28), AVj étant nul, si AV n'était pas identiquement nul, il devrait 
être une fonction homogène de degré — 2, ce qui est absurde, AV étant 
régulier à l'origine. On vérifierait d'ailleurs le même fait d'après l'expres- 
sion de V sous forme d'intégrale définie. Celle dernière manière d'opérer 
s'applique, de plus, à l'expression (30), pour laquelle le premier raisonne- 
ment serait en défaut. 

Sur la sphère de rayon R, la fonction V i prend évidemment les mêmes 

d\ 
valeurs que la quantité — R -?— , dans le cas du problème intérieur et que 

d\ 
-+• R -r- -, dans le cas du problème extérieur. On pourra donc en obtenir 

l'expression par la résolution du problème de Dirichlet. D'après les for- 
mules connues pour la résolution de ce problème sur la sphère, on aura 



2 7F / / du dn ' 4tt / Ira 



dn 



dS 



(le signe — devant la première intégrale se rapportant au problème inté- 
rieur, le signe -h au problème extérieur). On en déduirait, pour le pro- 
blème intérieur, par exemple 



(31) 



2* / dTi ( 



/S 



r do 
dn o 



^0 




1 / / dV 7C / 1 do 

«S 



dn i 

* -■' ' ' > *s 




Les quadratures simples s'effectuent sans difficulté. On est d'ailleurs 



44 CHAPITRE 1 

conduit à ces mômes quadratures en cherchant, ainsi que nous allons le 
faire, la fonction de Neumann. 

31. — Fonction de Neumann. — Cherchons la fonction de Neu- 
mann relative au problème intérieur dans les cas de la sphère. Il s'agit de 

trouver une fonction y^ harmonique dans toute la sphère, sauf aux envi- 
rons de A, et telle que -J soit constant le long de la surface limite. 

Posant 
(32) Y M = i + H 

A r 

H doit être partout harmonique et sa dérivée normale doit satisfaire à 
l'équation 

d- 
/oq d[\ „ r 

dn dn 

Nous pouvons appliquer à ce cas particulier du problème précédent la mé- 
thode que nous venons d'indiquer pour sa solution, et diriger les cal- 
culs de manière à déduire la fonction de Neumann de l'expression connue 
de la fonction de Green. 

Soient p la distance OM, ô la dislance OA, y l'angle que ces deux droites 
font entres elles. L'application de la méthode précédente nous conduit tout 

>H 

d'abord à chercher une fonction harmonique U x = p — prenant sur la 

surface les mêmes valeurs, au facteur — R près, que le second membre de 
l'équation (33), c'est-à-dire que la quantité 

»i 

K + -1'. 

bp 
\ 

Or la fonction - est homogène et de degré — 1 par rapport à p et à o et 



l'on a, par conséquent 



-5) . , 4> - 



( 34 > ? « ' ,6 

d'où, pour p = R, 

JV 

(35) H^-n.f = -KR-h3^H--jr- 

v ' J dn ào 1 



PROBLEME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 4o 

Soit maintenant 

M I / M 

-'A. 7- A 

la fonction de Green relative au problème intérieur de Dirichlet pour notre 
sphère. On a, lorsque le point M est sur la surface de celle-ci, 

r 

et cette égalité, ayant, lieu quelque soit le point A, peuKHre différentiée 
par rapport à o. On a donc 

(36) H^-KR + ft + S^. 

Cette équation a lieu à la surface et par conséquent, dans tout le volume, 
puisque les deux membres représentent des fonctions harmoniques. Quant 
à h, on sait qu'il s'obtient en considérant le point A', image de A (fig. 3) 

T>2 

situé sur le rayon OA à une distance du centre OA / = o / = — . En désignant 



o 



par r' la distance MA', on a 

(37) k = £ 

Considérée comme fonction de p, y et o', celte quantité h est homogène et 
de degré (puisque-^ est de degré — 1 et-* de degré -f- 1) de sorte 
qu'on a 

La fonction R i étant déterminée par la formule (36), il nous reste à cal- 
culer H par l'équation 

1 ' ùp 

Si l'on tient compte de l'identité (38), on voit qu'on aura 
(39) 






o 
La constante K est choisie, ainsi que nous l'avons vu, de manière à ce 



46 



CHAPITRE I 



que l'intégrale ait un sens, c'est-à-dire de manière à annuler le coefficient 

do . 1 

de — - : il faut donc prendre K = n- 2 . 

On effectuera simplement la quadrature en introduisant l'angle OA'M = <l, 
qui donne 

o.' sin ù / 8' sin y 



sin (y -h <!/) 



sin (y -4- <^) 



et, par suite 



/' / R_ 1 1_\ dp 
\o) J R/ p 
.. 



(40) 



I rsmjY^Li) f (cotg * - cotg (y -+- « ] rf* - 



1 pin (y -+- 
KL sin y 



<ip 





2R 2 lg| 



f R \sin 6 p / R ° po sin y 

i/o 

Les formules (32). (39), (40) nous donnent 



(41) 



R 



l02 



2 R 2 to- * 




Kg. 3 



La quantité ainsi obtenue est, conformément à nos 
conclusions générales, symétrique par rapport aux 
deux points A, M dont elle dépend. Cette propriété ap- 
partient en effet, ainsi qu'il est bien connu, au second 

terme -k-j de la formule précédente. Elle appartient 

également à l'angle <\> qui figure dans le troisième 
terme, car, si l'on appelle M' l'image du point M, les 
deux triangles GA'M, OAM' sont, comme on sait, 
semblables entre eux et au triangle qui aurait un 
angle égal à y compris entre deux côtés mesurés 
respectivement par R 2 et po. 

En tenant compte des relations trigonométriqucs 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA. THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 47 

fournies par le triangle OA'M, on peut aisément écrire le dernier terme sous 
la forme 

1, 2 3' 1 . 2.0M 7 

— lOfiT : " == — 10°" — = } 

r 6 r > _t_ ' __ ? cos y H ° AM' -h OM' — 3 cos T 

(en permutant les points A et M). 

Lorsque le point M est sur la sphère, la valeur de Y* se réduit à 

2 1 , r -+■ R — 8 cos y 
-- H log— m , 

valeur obtenue (à une constante près) par Fr. Neumann (') par sommation 
d'une série de fonctions sphériques et qu'il suffira de substituer dans la 
formule (E) du n° 24. 

Si enfin, au lieu du problème intérieur, on avait affaire au problème 
extérieur, les égalités (35) et (36) subsisteraient en faisant K= ; la for- 
mule (39) devrait être remplacée par 



E=/i — 



00 

R do 



e l'on aurait finalement 

41') T r = i+K-4.o g (, g |, g V). 

32. — Essayons encore d'appliquer la même méthode au cas de deux 
sphères concentriques. Soient <p x les valeurs données de la dérivée normale 
sur la sphère intérieures! (de rayon R^ ; cp 2 , ces mêmes valeurs sur la 
sphère extérieure S 2 , de rayon R 2 . On suppose, bien entendu, vérifiée la 
condition de possibilité 



(42) / / «p, dS + / o 2 



dS = 0. 



(!) Vorles., liber die Théorie des Potentials iind der Kugelfunctionen, p. 275 
Quant aux valeurs intérieure et extérieure de la fonction y™, elles sont dues à 
Bjerknes (loo. cit., 1871) et à Beltrami (loc. cit., tome III, p. 370-371 ; 1873.) 



48 CHAPITRE 



Considérons encore la fonction auxiliaire 



1 fta? ' ' by ■ i)z P ftp 

Celte fonction prendra les valeurs Ri^ sur la sphère intérieure, — R 2 o 2 
sur la sphère exlérieure. La résolution du problème de Dirichlet la fera 
donc connaître. Si dès lors on se donne les valeurs V de V sur une sphère 
concentrique S intermédiaire ou coïncidant avec l'une des deux sphères 
limites, on aura : 



7 V '7 

«A 



v ..-.= v -f ' v ^p 



les points M et M étant pris sur un même rayon. 

On ne peut évidemment pas prendre les valeurs V de V sur la sphère 
S d'une manière arbitraire. Ces valeurs seront déterminées par la con- 
dition que l'on ait, dans l'espace donné, 

Or, de la condition A V, = 0, résulte déjà, d'après l'identité (28), que 
AV est forcément une fonction homogène de degré — 2. 
Il sera donc nécessaire et suffisant de s'assurer que AV est nul sur S . 
Soient p, 0, o des coordonnées polaires. On a : 

fA0 . .„ 1 |~ô ( ,ùV\ 1 ô / . ftV\ 1 ô 2 Vl 

et ici : 

AV 1 Tù mm 1 / . ft bV\ 1 ft 2 Vl 

A = ? Ué (p l) S51 S ( sm ° 5ëj + s7n*ô â?J = *■ 

Le premirr terme est donc connu et Ton connaît par conséquent la 
somme des deux autres. 

33. — La somme de ces deux autres termes n'est autre que le para- 
mètre différentiel du second ordre relatif à la sphère. 
Soit, d'une manière générale, 

Edu 2 -h 2F du dv -h Gdv 2 

l'élément linéaire d'une surface. 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE OES PONCTIONS HARMONIQUES 49 

On sait que l'on nomme paramètre différentiel du premier ordre d'une 
fonction quelconque V, la quantité 

r./&Vy on'ôVûV „M r \ 2 

EG — F 2 

et paramètre différentiel du second ordre, la quantité : 



. , / r ôV F bV N 
(44) A 2 V == ~ - ( ôm dv 



H ûtt 



H 



H Tv [ -^--^ 



oùHr= y/EG — F 2 satisfait à l'identité 

o?S = HoMv. 

(Voir Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, Livre Vil, ehap. i). 
Si Ai (V, W) est la forme polaire de A 1 (V), on a une formule analogue 
à celle de Green : 



(45) 



JM 1 (V,W)rf8 + /wgaSH-77 



Wa 2 V dS = 0, 



les intégrales doubles étant étendues à un certain domaine pris sur la sur- 
face, et l'intégrale simple étant prise le long du contour de ce domaine. 

Si les fonctions V et W sont régulières sur toute la surface S, celle-ci 
étant fermée, on neut supposer que le domaine d'intégration comprenne 
toute la surface : l'intégrale simple disparaît alors. constante 

On déduit de là qu'il n'y a pas de fonction régulière et non qui 

satisfasse soit à l'équation A 2 V == 0, soit à l'équation 



(46) 

sur toute la surface. 



a 2 V = O 



34. — Le paramètre du second ordre A 2 V peut encore être défini géomé- 
triquement de la manière suivante : par le point M considéré de la surface, 
faisons passer deux géodésiques rectangulaires, — ou encore, deux sections 
normales rectangulaires, — et sur chacune de ces lignes, considérons la 



d*V 
ds* 



où s est l'arc de courbe. La somme 



d 2 V , éFV 
ds 2 



ds t 2 



des 



dérivée seconde 

valeurs de -=-% sur les deux géodésiques ou sections normales ne variera 



50 CHAPITRE l 

pas, lorsque celles-ci tourneront autour du point M, en restant rectangulaires 
entre elles, et sera précisément égale à A 2 V. 

Il est aisé de déduire de là la relation qui existe entre le paramètre A 2 V 
et le symbole AV relatif à l'espace, relation dont l'identité (43) n'est qu'un 
cas particulier. II suffit de rapporter celui-ci à trois axes rectangulaires 
dont l'un sera la normale Mn à la surface, les deux autres M.r 1? Mx 2 étant 
tangents respectivement à nos deux sections normales. R t et R 2 élant les 
rayons de courbure de celle-ci, comptés comme positifs dans le sens Mn, 
on aura 



b 2 V _ d'Y 1 bV 
bx\ ds\ R 1 bn 




b 2 V_ d 2 Y 1 bV 
<ul ds'i R 2 ^n 




b 2 V b 2 V b 2 V v b 2 V 
ï>cc\ + ïx\ + brc 2 — 2 + bn 2 ~~ 


/ 1 1 \bV 



et par conséquent 

AV 

35. — L'équation que nous allons avoir à intégrer est de la forme 

(47) A 2 V = f 

/étant une fonction donnée en tout point de la surface. Ce problème n'est 
d'ailleurs possible (V étant une fonction partout régulière) que si Ton a 



SI 



(48) / fdS = 



ainsi que le montre, pour W = 1, l'équation (45) étendue à toute la sur- 
face. S'il est possible, il n'a qu'une seule solution, ainsi qu'il ressort de ce 
que nous venons de dire sur l'équalion A_V = 0. 

Pour intégrer l'équation (47), on se servira de fonctions analogues à la 
fonction de Green dans le plan, c'est-à dire ayant des points singuliers 
logarithmiques. Il n'existe pas de fonction ayant un seul point singulier 
logarithmique et satisfaisant à l'équation A 2 V = 0. Mais on peut, soit con- 
sidérer, avec M. Picard, une fonction satisfaisant à celte équation et ayant 
deux points singuliers (comme la fonction de M. Klein, considérée au 
n° 25), soit une fonction satisfaisant à l'équation (46) et ayant un seul 
point singulier A, autrement dit régulière partout sauf au point A, et 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 51 



infinie en A comme log - , r étant la distance géodésique à A. Soit g K une 



telle fonction 



^=~ + H 



où H est une fonction régulière sur toute la surface. Prenant, dans la for- 
mule (45), 

W = 1 



//•— /g 



c?s = 0. 



Si l'on étend l'intégration à toute la surface, moins un petit cercle entou- 
rant le point A, l'intégrale simple se réduit à — 2it et il vient 

KS -h 2tt = 

K étant la valeur constante de ^g™, qui se trouve ainsi déterminée. 
Comme précédemment, on peut disposer de la fonction de A qui reste 
arbitraire dans la définition de g™ de manière que 



(49) 



g1 = 0t- 



îl suffit pour cela, d'imposer à g la condition 

g™ dSu = e, 



II 



c étant une constante indépendante du point A (par exemple, c = 0). 

g^ étant connu, la solution de l'équation (47) s'obtiendra en appliquant 
la formule (45) (étendue à toute la surface, moins une petite courbe circu- 
laire entourant le point A) aux fonctions V et g™ . Il vient ainsi 



(50) 



2tcV a = - / / fi, g" dS M + (X 



On démontrerait ici aisément que la valeur ainsi trouvée de V répond 
à la question, puisque la difficulté résultant des conditions aux limites 



52 CHAPITRE 1 

n'exisle pas ici. 11 suffit de remarquer, d'une part que la fonction g™, en 
vertu de la relation de symétrie (49), satisfait encore à l'équation (46) 
quand on la considère comme fonclion du point A ; d'autre part que l'ex- 
pression sous le signe / / dans la formule (50), étant irrégulière à la 
façon d'un potentiel logarithmique, la difîérentiation sous le signe / / 
pst légitime pour former le symbole A 2 > à la condition d'ajouter au résultat 

la quantité — 2tc/* a . Or le résultat de cette difîérentiation sous le signe / / 
est nul, en vertu de la condition (48). 

Sur la sphère, la fonction g™ s'obtient aisément. D'après la formule (43), 
l'équation (46) s'écrira 

sin 6 ô6 \ ô6j + sin 2 6 ^~ ' 

Si l'on prend pour point G = le point A, g sera évidemment indépen- 
dant de 9 ; et dans ces conditions, L'équation précédente admet (à une 
constante additive et à un fadeur constant près) une seule solution régu- 
lière pour 6 = ir, savoir 

(51) g = — logsin 2 

36. — Revenons maintenant au problème posé. 11 nous reste à détermi- 
ner sur une sphère S , une fonction régulière V satisfaisant à la condition 

tfV.-^-JfrV,). 

D'après les formules (50) et (51), cette fonction sera 

2* V = / / - i ( P V d ) log sin l dS + O, 

ce qui achève de déterminer la solution du problème. Il faut toutefois 
nous assurer que l'on a la condition de possibilité (48), soit ici 

(52) / / ô - o ( P V,)rfS o = 0. 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LÀ THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 



Mais cette condition résultera de la condition 



(42) 






0. 



Il suffit en effet de montrer que la relation (52) sera vérifiée sur une 
sphère intermédiaire S au moins. 

Or on a, du élant l'élément de sphère de rayon 1 qui correspond à 
l'élémenl dS t ou dS 2 

V 



?i ^s 4 



dS i = V^^w, 



?| rfS 2 = — -^ rfS, = — V,p 2 rfœ. 

P-2 

Donc l'intégrale T / V^pdw, étendue à la sphère de rayon p, prend la 

même valeur pour p = p, et pour p = p 2 . Sa dérivée par rapport à p s'an- 
nule donc au moins pour une valeur p de p comprise entre p, et p 2 , de 
sorte qu'on peut prendre pour S la sphère de rayon p- ( 1 ). 



3? . — On peut se demander si des considérations analogues à celles que nous 
avons présentées pour la sphère ne permettraient pas de résoudre le deuxième 
problème aux limites pour d'autres surfaces. La réponse est négative, au 
moins pour la méthode telle que nous l'avons développée. Soient, en effet, 
a, (J, y les cosinus directeurs de la normale à une surface fermée S et sup- 
posons encore qu'on connaisse, en tout point de S, la quantité 

ôV ôV Q oV ôV 

— = a h P — -+- Y — • 

an 5a? r hy ' ôz 

Il faudrait, pour imiter la marche suivie dans le cas de la sphère, connaître 
trois fonctions X, Y, Z, proportionnelles, sur la surface S, à a, {3, -y et telles 
que l'équation AV = entraîne 



(53) 



* X 



bas 



bV 






( l ) Bien entendu, dans ces conditions l'intégrale 



// 



Vjp d(ù sera nulle, non 



seulement pour une valeur de p, mais pour toute valeur de p comprise entre p t et 
p 2 . Il est d'ailleurs aisé de voir comme conséquence de l'équation AVi= et abstrac- 
tion faite delà condition (42), que cette intégrale est une fonction linéaire de p. 



54 



CHAPITRE 1 



Nous avons vu au n° 30 qu'il en était ainsi pour X = x, Y = y, Z == z; et 
ce fait nous est apparu comme une conséquence de celui-ci, que 



bV 



bV 



bV 



bx ,v by bz 

est une transformation infinitésimale d'un certain groupe à un paramètre. 

Inversement, X, Y, Z étant trois fonctions qui donnent lieu, pour toute 

fonction harmonique, à la relation (53), considérons le groupe à un para- 

bV bV bV 

mètre qui a pour transformation infinitésimale X— 4- Y — 'H- Z r— : au- 
r bx by bz 

trement dit, écrivons les équations différentielles 



et soit 



(54) 



dx' 


dy' dz' 


X ( X >, y, z') 


l{x',v',z') ^{x',y,z' 




1 x' = £ (x, y, z, X) 




1 y' = r t (x, y, z, X) 




( z' =K{x, y, *, X) 



= dk 



la solution qui, pour X = 0, se réduit à x, y, z. Le premier membre de la 

relation (53) peut s'écrire -c àV{x',i/,z') et dans l'hypothèse où nous nous 

plaçons, cette quantité est nulle, pour une valeur quelconque de X, si la 
transformation (54) correspondante conserve l'équation AV 0. 
Or, les conditions, pour qu'il en soit ainsi, sont : 

/bx'\* (by'\ /ô:r'\ 2 [bx'V /by'\ 2 /bz' \* 



(55) 



(56) 



bx' bx' by' bi/ bz' bz' bx' bx' by' dy' bz' bz' 

by bz by bz by bz bz bx bz bx bz bx 



bx by ' bX by 



ô.v' by' 



b*x' 
bx* 



by* 



b-x' 
bz* 



5 V 

bx* + 



by* 



bZ^ bz' „ 

bz by ' 

5V bV 

bz 2 



bV 
— ba? 2 + bî/ 2 



= 0. 



Donc, si la transformation X 



bV 



Y- — h Z — conservé l'équation AV=0, 



ba? bz/ bz 

les dérivées par rapport à X des premiers membres des équations (55) et (56) 
doivent être nulles e\> même temps que ces premiers membres eux-mêmes, 
— ce qu'il est aisé de vérifier directement. 



PROBLÈME AUX LIMITES DK LA THEORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 55 

Les conditions (55), (56) sont d'ailleurs vérifiées pour X = 0, puisque x\ y', 
z' se réduisent à x, y, z. Donc, elles sont vérifiées pour toute valeur de X. 

Mais les équations (55) définissent les transformations conformes de l'es- 
pace, et les équations (56) excluent à leur tour toute transformation autre 
que les déplacements et les similitudes. 

Si l'on adjoint la condition que X, Y, Z soient les paramètres directeurs 
de la normale à une surface formée, il est aisé de voir que cette surface ne 
peut être autre qu'une sphère. 



§ 7. — PROBLÈMES MIXTES 



38. — Nous nous sommes jusqu'ici occupés du problème dans lequel la 
dérivée normale était donnée sur toute la surface limite. Il ne faudrait pas 
croire que ce problème et celui de Dirichlet dans lequel les valeurs de la 
fonction V elle-même sont données sur toute la frontière soient les seuls 
que nous puissions avoir à résoudre. Non seulement, en théorie de la 
chaleur, on rencontre des questions analogues dans lesquelles interviennent 

les valeurs de ^ \- hV (h étant un nombre négatif). Mais, même en Hy- 
drodynamique, on est, en général, conduit, non au problème de Dirichlet ou 
à celui que nous venons de traiter, mais à un problème mixte dans lequel 
les valeurs de la fonction harmonique cherchée V sont données sur une 
partie de la surface et celle de sa dérivée normale sur l'autre partie ( i ). 

Comme les précédents, ce problème, s'il a une solution, n'en a qu'une 
seule ; le raisonnement classique par lequel, on démontre ce fait, pour les 
deux premiers problèmes s'appliquant encore sans modification. Mais ce 
résultat négatif est presque le seul que nous possédions à son égard. 

39. — L'élude d'un cas limite permet de se rendre compte au moins 
de la nature de la difficulté. Proposons-nous de résoudre le problème 
pour la portion de l'espace située au dessus du plan des x y, la valeur de 

-j- étant donnée en tout point de ce plan à l'exception d'une certaine 

aire 2 dans laquelle on donne V lui-même. On impose en outre à la fonc- 
tion V la condition de s'annuler à l'infini à la façon d'un potentiel (les 



0) Ce problème pourrait, à la rigueur, être regardé comme un cas particulier de 
celui qu'on étudie en théorie de la chaleur, en considéi'ant h tantôt comme nul, 
tantôt comme infini. 



56 CHAPITRE I 

valeurs données à la frontière étant supposées bien entendu compatibles 
avec cette condition). Le problème est alors déterminé. 

Si la valeur de V était donnée sur tout le plan, la solution serait un po- 
tentiel de double couche d'épaisseur ~- . Si au contraire la dérivée était 

ait 

donnée partout, V serait un potentiel de simple couche de densité 6 y- -j- ' 

Nous prendrons comme inconnues auxiliaires les valeurs de la densité 
de cette simple couche dans l'intérieur de l'aire S. Celles-ci seront déter- 
minées par la condition que le potentiel correspondant ait, dans cette aire, 
des valeurs connues (savoir, les valeurs données diminuées de celles que 
prend le potentiel de la simple couche extérieure à S). 

Le problème ainsi posé : distribuer sur une aire limitée donnée S, une 
simple couche dont le potentiel ait une valeur donnée en chaque point 
de 2, peut être ramené au problème de Dirichlet de la manière suivante. 

Sur la normale à S, portons de part et d'autre dé très petites longueurs X 
s'annulant au contour. Nous formons ainsi deux feuillets constituant par 
leur ensemble une surface fermée S. Le problème qui consiste à trouver 
sur S une simple couche de potentiel donné en chaque point n'est autre 
que celui de la distribution électrique sur S (supposée placée dans un champ 
électrique donné) ; il te ramène au problème de Dirichlet. La densité cher- 
chée sur 2 est évidemment le double de la limite vers laquelle tend la 
densité sur S, lorsque les longueurs X tendent vers zéro. 

Lorsque l'aire 2 est circulaire ou elliptique, on peut prendre pour S 
un ellipsoïde infiniment aplati ayant S pour section principale. 

Les méthodes connues pour la résolution du problème de Dirichlet sur 
l'ellipsoïde donnent alors la solution du problème. 

Le procédé précédent ne s'applique malheureusement pas (du moins 
sous la même forme) hors du cas de la frontière plane (lequel est dépourvu 
de signification réelle). Considérons par exemple une sphère dont lasurface 
est divisée en deux parties dans l'une desquelles S, on donne la valeur de V 

pendant que la donnée est — dans le reste. Si S se réduisait à 0, la valeur 

de la fonction harmonique V serait donnée par la formule (31). Si donc 

dV , . 

on prend pour inconnues auxiliaires les valeurs de -v- dans l'aire S, on 

devra les déterminer par la condition que l'intégrale 



-*//*—«//( 



2R 2 t< 



.V 



l R l, âU ■*£ \ M 

— h —, 4- D log __^ — 1 I dS 
r or' R 6 ? 8 S in y / 



PROBLÈME AUX LIMITES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS HARMONIQUES 57 

ait des valeurs données sur 2. C'est un problème beaucoup plus difficile 
que le premier : il appartient il est vrai, à une catégorie de questions qui 
ont été résolues par les récentstravaux de M. Fredholm ( 1 ). Mais cetle solu- 
tion est de forme relativement compliquée. 

40. — ' Il existe cependant quelques cas exceptionnels où le problème 
mixte se ramène aisément à celui de Dirichlet. Tels sont, par exemple : 

le cas d'un prisme ou d'un cylindre droit (l'axe des z parallèle aux 

d\ T 
arêtes), V étant donné sur la surface latérale et -y- sur les bases. La fonc- 

' an 

tion hftirmonique — sera alors donnée par les conditions de Dirichlet; 

celui d'une portion de sphère limitée par un angle polyèdre ou un cône 

ayant son sommet au centre, V étant donnée sur la surface polyédrique ou 

dV 
conique, -j- sur la surface sphérique. (Un cas particulier remarquable est 

celui de la demi-sphère, la surface polyédrique étant réduite à un plan). 
On opérerait comme au n° 30 ; 

celui d'une portion de volume de révolution limitée à deux plans menés 

par l'axe, -r- étant donné sur ces plans et V sur la surface. On prendra 

pour nouvelle inconnue la fonction harmonique (comme en s'en assure 

î>V oV 

aisément par les considérations des n os 30 et 37) x u — (où l'axe des z 

est l'axe de révolution). 

On calculerait également sous forme de série de fonctions sphériques 
(comparer 29 bis) une fonction harmonique dans l'espace compris 
entre deux sphères concentriques et donnée par des valeurs sur une des 
sphères, celle de sa dérivée normale sur l'autre. 

41. — D'autre part, on généralise sans difficulté au problème mixte la 
théorie de la fonction de Green que nous avons appliquée au problème de 
Neumann. Seulement cette fonction de Green est en général inconnue. 

41 hîs . — Il est clair, comme au n° 5, qu'on ne doit pas considérer comme 
essentiellement différent du problème dont nous venons de parler, celui 
dans lequel, avec les mêmes conditions aux limites, on aurait affaire, non 
plus à l'équalion de Laplace, mais à l'équation (2). 

(') Voir entre autres C.-R Ac. des Se, 27 janvier-30 juin 1902. 



CHAPITRE II 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINÉMATIQUE 



§ 1. — RÉSULTATS CLASSIQUES (*) 
a) Résultais relatifs aux déformations 

43. — La position d'un milieu déformable, tel qu'un fluide, est définie 
lorsque l'on assigne la position de chaque point : autrement dit, lorsque 
les coordonnées x, y, z d'un point quelconque sont données par des rela- 
tions de la forme 

f x = F t (a, b, c) 
(1) \ y = F 2 [a, 6, c) 

( . Z == Fg \(flf, 6, C) 

a, 6, c, étant des paramètres destinés à distinguer les uns des autres les 
différents points du fluide, par exemple les coordonnées qu'avaient respec- 
tivement les points dans une position déterminée de ce milieu. 

S'il y a mouvement, c'est-à-dire si la position du milieu dépend du 
temps t, les formules (1) deviendront 

( x = F l (a, b, c. t) 

(10 y-=?F,(«,.M,.0 

( z = F 3 (a, ô, c, 0. 
La figure formée par l'ensemble des points dont chacun a pour coordonnées 
cartésiennes les valeurs de a, b, c correspondant à un point du milieu sera 
dite Y état initial de te milieu. Cet état initial pourra êlre, par exemple, 
celui où se trouvait le milieu à un instant déterminé £ de son mouvement. 



(i) Voir Lord Kelvin et Tait, Trealise of natural philosophy ; Kirchhoff, Méca- 
nique; Traité de Mécanique rationnelle, de M. Appell, tome III, ch. xxn et xxm. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 59 

Mais il n'est pas nécessaire qu'il en soit ainsi, ni même que l'état initial 
soit physiquement réalisable ; son rôle se borne à permettre d'exprimer 
mathématiquement que la particule qui, à l'instant t 2 , occupe la position 
(a? 2 , y 2 , z 2 ) est la même qui, à l'instant t it était en (x iy y it z t ) : on recon- 
naîtra qu'il en est ainsi lorsque les valeurs dé a, b, e qui, pour t — t lt 
donnent x = a? t , y = y u z = z x seront les mêmes qui, pour t = t„ 
donnent x = x 2 , y ;= y 2 , z = z 2 . 

Rien ne nous empêchera, le cas échéant, de changer d'état initial ; autre- 
ment dit, d'exprimer x, y, z, dans les formules (1'), non plus en fonction 
de a, 6, c, mais en fonction d'autres paramètres a', b', c', pourvu que ces 
derniers soient fonctions uniquement de a, b, c, et non du temps, a, b, c 
étant également calculables en fonction de a', b', c'. 

43. — Dans le cas particulier où on considère l'état initial comme une 
première position occupée par le milieu, les formules (1) déQnissenl une 
déformation permettant de passer de cette première position à celle dans 
laquelle les coordonnées sont a?, y> z. 

On nomme déformation identique celle dans laquelle la seconde position 
coïncide avec la première, les fonctions F 4 , F 2 , F 3 n'étant respectivement 
autres que a, &, c. 

44. — Il sera toujours supposé que les équations (1'), lorsqu'on y donne 
x, y, z et t, admettent une solution unique en a, b, c : autrement dit, qu'à 
un même instant t, deux particules différentes ne peuvent occuper la même 
position. Ceci exprime évidemment X impénétrabilité de la matière. 

45. — Nous supposerons également que les fonctions x, y, z sont en 
général continues. Nous remarquerons toutefois qu'en ce qui concerne la 
continuité par rapport à a, 6, c, cette seconde hypothèse est beaucoup 
moins légitime que la première. C'est ce dont on se rendra compte en 
remarquant que deux liquides ou deux gaz mis en présence finissent en 
général par se mélanger : dans ce cas il est clair que des molécules séparées 
primitivement par des intervalles finis, — à savoir celles qui appartiennent 
respectivement aux deux fluides et n'étaient pas primitivement situées sur 
leur surface de contact —, viennent plus tard en contact immédiat les 
unes avec les autres. II n'y a évidemment aucune raison de supposer que 
les différentes parties d'un même fluide ne diffusent pas les unes dans les 
autres comme le font les molécules de deux fluides différents : s'il en est 



60 



CHAPITRE II 



ainsi, x, y, z, tout en étant continues par rapport à t, seront des fonctions 
totalement discontinues de a, b, c. 

Malgré cela, l'hypothèse de la continuité semble, dans un grand nombre 
de cas, rendre un compte suffisant des phénomènes. Nous l'adopterons 
dans ce qui va suivre et nous supposerons même les fonctions x, y, z 
dérivables en général. 

4561s — || es £ c j a j r q Ue cec [ i,' m ite, dans une certaine mesure, ce qu'il y 
a d'arbitraire, d'après ce que nous avons dit plus haut dans le choix de 
l'état initial : lorsque nous remplacerons les coordonnées initiales a, b, c 
par d'autres a', b', c', il faudra que celles-ci soient des fonctions dérivables 
des premières. 

46. — Nous n'excluons d'ailleurs pas — et nous étudierons plus loin — 
le cas où les fonctions a?, y, z seraient discontinues, par rapport à a, b, c, 
sur des surfaces isolées. 

En particulier, tandis qu'il ne peut jamais arriver, en vertu de notre 
première hypothèse (n° 44), que deux portions du milieu pénétrent l'une 
dans l'autre, l'inverse peut avoir lieu : il peut fort bien se faire que deux 
régions primitivement contiguës se séparent l'une de l'autre, de manière 
à creuser une cavité entre elles. 

On suppose toutefois, sauf indication contraire, — et c'est aussi ce que 
nons ferons dans ce qui va suivre — , que de telles cavités ne se produisent 
pas, se réservant de traiter à part les cas où elles prendraient naissance. 

47. — Nous allons rappeler d'abord les principes relatifs aux déforma- 
tions. 

Les équations (1), différenciées, donnent 

Îdx = a t da -h b i db -+- Ci de, 
dy = a 2 da -h b 2 db -+- c. 2 de, 
dz — a 3 da -h b z db + c 3 de, 

a u b u c J5 a 2 , b. 2 , c 2 , a. i} 6 3 , c 3 étant les dérivées partielles de œ,y, z par 
rapport à a,b,c. Le déterminant 



(3) 











î)X 


hx 


bx 








ba 


i)b 


ne 


a, 


*>i 


c i 












h 






ty 


îw/ 


tyl 


a 2 


c 2 




ôa 


ô6 


àC 


a . 


b s 


c. 
















dZ 


isz 


ÙZ 










fca 


hb 


ÔC 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMA TIQUE 



01 



déterminant fonctionnel de a-, y, z par rapport à a, b, c, ne saurait changer 
de signe lorsqu'on fait varier a, b, c ; sans quoi il est aisé de voir que ce 
changement de signe ayant lieu suivant une surface de position initiale S 
et de position actuelle S, les régions du milieu initial voisines de S et 
situées de part et d'autre de S donneraient, dans le milieu actuel, des 
régions conliguës à S et situées du même côté de S : ce qui est contraire 
à l'hypothèse faite au n° 44. Le déterminant D ne saurait non plus, dans 
l'équation (l 7 ), s'annuler, quels que soient a, b, c, pour une certaine valeur 
de t, sans quoi on sait que ce, y, z ne seraient pas des fonctions distinctes 
de a, &, c, contrairement à la irême hypothèse. Ce déterminant aura donc 
un signe invariable ; nous le supposerons toujours positif ( 1 ). Ce détermi- 
nant D est lié à la densité p du milieu au point considéré. Celle-ci est en effet 
définie par la condition que l'élément de masse dm soit égal à p dx dy dz. 
Ce même élément étant, d'autre part, égal à p dadbdc, où p est une fonc- 
tion de a, b, c indépendante de t, on a 



(3) 



D=&>; 



nous supposerons que p n'est jamais infini, de sorte que D ne s-'annule pas 

On désigne encore le déterminant D = £s sous le nom de dilatation de 

p 

l'état {x, y, £).par rapport à l'élat (a, b, c). 

48. — Si le milieu considéré n'occupe qu'une portion limitée de 
l'espace, il est impossible (dans les hypothèses théoriques que nous avons 
adoptées) qu'un point situé sur la surface limite dans l'état initiai de- 
vienne ensuite un point intérieur ou inversement. Car un petit arc de 
courbe à tangente variant continûment comprenant le point en ques- 
tion se changera nécessairement en un arc analogue, lequel sera ou ne sera 
pas nécessairement compris tout entier dans le milieu, suivant que ce point 
■est ou non intérieur. 

49. — Si l'on se borne à étudier ce qui se passe au voisinage d'un point 
déterminé du milieu en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur 
et que, dans chacun des espaces initial et actuel, on transporte l'origine 



.(*) Il est clair que ceci apporte une nouvelle restriction au choix de l'état initial. 



œ=. 


a 


a + 


& 


6 


y = 


a. 2 


a -b 


& 2 


& 


z = 


a, A 


a -+- 


^3 


6 



62 CHAPITRE 11 

des coordonnées en ce point, on pourra remplacer, dans les formules (2). 
da, db, de, dx, dy, dz par a, b, c, x, y, z et écrire 

c x c 

\ y --= a. 2 a -b b. 2 b -+- c 2 c 

c 3 c 

La déformation du milieu autour du point considéré coïncide donc 
sensiblement avec celle qui est définie par la substitution linéaire (2'). 

Géométriquement parlant, la transformation (nommée quelquefois affi- 
nité) définie par les équations (2') est une transformation homographique 
qui conserve le plan de l'infini. Elle peut être considérée comme caracté- 
risée par la propriété de changer deux droites parallèles quelconques en 
deux droites parallèles et d'altérer dans un même rapport deux segments 
quelconques pris sur ces deux droites. 

50. — Les équations (2') peuvent, en général, on le sait, être mises 
sous la forme 

(4) X==s i A 3 Y = s 2 B, Z = 5 3 C. 

ou A, B, C sont des fonctions linéaires de a, b, c et X, Y, Z désignent les 
mêmes fonctions de x, y, z ; les nombres s t , s 2 , s 3 étant les racines de 



0; 



mais lorsque l'équation précédente a des racines multiples, il n'est pas tou- 
jours possible de réduire la substitution (2') à la forme (4). Déplus l'équa- 
tion (5) peut avoir des racines imaginaires. 

Une autre forme donnée à la substitution (2'), et qui a une bien plus 
grande importance en mécanique des fluides, est, au contraire, toujours 
possible sous forme réelle : c'est celle qui fait intervenir la notion de 
dêfo rma tion p ure . 

On dit que la substitution (2') représente une déformation pure lors- 
qu'elle peut être mise sous la forme (4), les plans A = 0, B = 0, G = 
formant un trièdre trirectangle. La condition nécessaire et suffisante 
pour qu'il en soit ainsi est que la quantité 

(6) oeda + ydb + zdc 

soit une différentielle exacte, autrement dit, que le déterminant (3) soit sy- 



l'équation 






a x — s b t c i 


(5) 


a 2 b 2 — s c 2 




«3 b Z C 3 — S 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 63 

mélrique. La première partie de cette proposition fait partie de la [théorie 
connue des surfaces du 2 e degré; la seconde résulte de ce que l'expression 
(6) est invariante par tout changement de coordonnées rectangulaires 
effectué simultanément sur œ, y. z et sur a, b, c, et de ce que, d'autre part, 
lorsqu'on prend pour nouveaux plans cordonnés les plans A = 0, B = 0, 
C = 0, (ce qui est possible s'il s'agit d'une déformation pure), les équa- 
tions (4) deviennent 

(4') x — s t a, y^=s 2 b, z— $. à c. 

On voit, d'après cette dernière forme, que la déformation pure revient à 
un système de trois dilatations effectuées dans des directions rectangulaires 
entre elles. 



51. — Toute déformation de la forme (2') peut être remplacée par une 
rotation précédée ou suivie d'une déformation pure. Il suffit, à cet effet, de 
considérer V ellipsoïde des dilatations ou V ellipsoïde de déformation. On 
nomme ainsi; dans une déformation quelconque définie par les équations (1), 
l'ellipsoïde cp== 1, <p étant la forme quadratique définie par l'identité 

cp (da, db, de) == (1 + 2si) da 2 ■+■ (1 -+- 2e 3 ) db 2 + (1 + 2s 3 ) de 2 
-h 2 Yi db de -h 2 y 2 de da -+- 2y 3 da db = dx 2 -h dy 2 -+- dz 2 

Les coefficients e,, e 2 , e 3 , y 1? y 2 > y 3 qui figurent dans la formule précé- 
dente, c'est-à-dire les quantités données par les formules 



t-h 



(?) 



*^(5)' 



_ bX bX 

Y* db bc 



ba 

1 + 

r*K*y 

db bc 

Ï3 = 



W + /wy 



1+ 2s.,-/^ 2 



/ÔO? 



(s-sr 



2 /ôxrY 2 



_l_^_ V = — — -4- I£ 12 

?»/l ?!/• ' '2 >>/.>/» ^^ A--. *•» 



Ô& ÔC 

bX bX 

ba bb 



byby 
ba bb 



bc ba bc ba 

bz bz 

ba bb 



bz bz 
bc ba 



ont dites les composantes de déformation. La dilatation D est une fonc- 
tion de Ej, e 2 , e 3 , y y 2 , y 3 : car le discriminant de cp est égal à D 2 . 

Lorsque la déformation est de la forme (2'), l'ellipsoïde de déformation 

(7') <p(a, b t c) = 1. 

est le lieu des points qui, une fois cette déformation effectuée, se trouvent 
sur la sphère 

# 2 + y 2 h- z 2 = î. 



64 CHAPITRE II 

Trois plans diamétraux conjugués de la quadrique (7') deviennent, par 
la déformation (2'), trois plans rectangulaires. Il existe donc un trièdre 
trirectangle T et un seul auquel correspond un trièdre trirectangle T' : 
c'est celui qui est formé par les plans principaux de la quadrique en 
question. Une rotation de l'un des deux espaces amènera les deux trièdres 
T, T', à coïncider, après quoi il ne restera plus, pour faire coïncider entiè- 
rement les deux milieux, qu'à effectuer une déformation pure. 

Si la substitution (2') est une déformation pure, la quadrique f= 1 
définie par l'identité 

1 

(©') ^ df= coda -h ydb -h zdc 

a les mêmes plans principaux que l'ellipsoïde (7'), les axes de l'un ayant 
pour longueurs les carrés de ceux de l'autre. (7est ce qui se voit immédia- 
tement en prenant la déformation pure sous la forme (4';. 

52. — Tous ces résultats relatifs aux déformations sont bien connus 
mais nous devons insister un instant sur un cas particulier auquel on 
peut, comme l'ont fait lord Kelvin et Tait, rattacher le cas général par la 
considération des sections circulaires de l'ellipsoïde (V). 

Soient P un tel plan de section circulaire, P' son homologue : un cercle 
tracé dans le plan P a pour transformé un cercle du plan P' : autrement 
dit toute? les lignes du plan P sont dilatées dans le même rapport, de, sorte 
que toute figure du plan P est semblable à son homologue du plan P'. 
Pour transformer le milieu initial en un autre qui soit semblable au mi- 
lieu final (autrement dit qui s'en déduise par une homothétie et un dépla- 
cement), il suffira donc de lui faire subir une déformation de la forme 
(2') dans laquelle tous les points du plan P resteront inaltérés. Ce sont de 
telles déformations que nous allons étudier spécialement. 

Si, pour simplifier, nous prenons pour plan des œyle plan P, les for- 
mules (2') s'écriront évidemment 

/ x = a -\-\c 

(8) \ y = & ± &ç 

[ Z — C (1 ■+- v), 

puisque pour c = on doit avoir x — a, y = b, z = c. 

Les formules ainsi écrites montrent que les déplacements de tous les 
points ont même direction et sont proportionnels aux distances de ces 
points au plan P. Pour connaître entièrement la déformation en question, 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



60 




il suffira de se donner le segment (A, p, y). Ce segment, qui représente le 
déplacement d'un point situé à l'unité de distance du plan P, peut donc 
être appelé le segment caractéristique de la déformation. 

Le triangle M m M [fig. 4) formé par un point quelconque M , sa pro- 
jection sur P et sa nouvelle position 
après la déformation, est constamment 
semblable au triangle analogue formé à 
l'aide d'un point déterminé situé à l'u- 
nité de distance du plan P et ayant 
pour un de ses côtés le segment carac- 
téristique? 

Pour que l'on ait affaire à une dé- 
formation pure, il faut et il suffit que 
X = p. = 0, c'est-à-dire que le segment caractéristique soit normal au 
plan P : la déformation se réduit alors à une dilatation normale à ce plan. 
Supposons qu'il n'en soit pas ainsi; nous pourrons toujours néanmoins 
supposer p. = 0, en prenant pour plan des œz un plan parallèle au seg- 
ment caractéristique. Prenons ce plan pour plan du tableau. 

Soit M la position finale du point situé primitivement en M dans le 
plan du tableau. La perpendiculaire élevée au milieu de M M, dans ce 

plan, coupe le plan P en un point 
(fig. 5) tel que OM = OM . Par un 
second point 0' appartenant égale- 
ment à la trace du plan du tableau 
sur le plan P, menons une droite 0' 
M' égale et parallèle à OM . Le paral- 
lélogramme 0M 0' M' se transfor- 
mera en un autre parallélogramme 

Fl é- 5 MO' M' : il se sera déformé à la 

façon d'un parallélogramme articulé. 

De cette déformation, il est aisé de déduire le déplacement d'un point 
quelconque N du plan du tableau. Si en effet, par ce point, nous menons 
une parallèle à 0M , laquelle coupe 00' en w et M M' en \i Qt ce point p 
pourra évidemment être considéré comme entraîné par le mouvement de la 
base, supérieure M M' du parallélogramme articulé : ce qui fera connaître 
sa nouvelle position f*. En prenant alors, sur la droite w(j., un segment wN 
égal à wN , on aura la nouvelle position du point N . 

Le mouvement d'un point non situé dans le plan du tableau sera d'ailleurs 
défini par celui de sa projection sur ce plan. Au reste, pour obtenir en 




™ 



66 CHAPITRE 11 

même temps les déplacements de tous les points de l'espace, il suffirait 
évidemment de remplacer notre parallélogramme articulé par un parallélé- 
pipède droit articulé, ayant pour base ce parallélogramme. 

53. — Si l'on a pris 00' égal à OM , le parallélogramme OM 0'l\T est un 
losange, et il reste tel après déformation. Les deux diagonales de ces losanges 
et la perpendiculaire au plan du tableau constituent donc les axes du trièdre 
T qui est tri-rectangle tant dans l'état initial que dans létal final. Si l'on 
veut décomposer la déformation en une déformation pure et une rotation, 
celle-ci a- pour axe la perpendiculaire au plan du tableau et pour angle, 

celui dont tournent les diagonales du losange, soit — ^ — . 

54. — Le rapport des densités, autrement dit le rapport dans lequel est 
altéré le volume du parallélépipède articulé, n'est évidemment autre que le 
rapport dans lequel est altérée la surface du parallélogramme qui lui sert 
de base, ou encore la bauteur de ce même parallélogramme : on aura donc 

11— 1 -+- V 

p 

v étant la composante normale du segment caractéristique. 

Si cette composante est nulle, il est clair que toute figure située dans un 
plan P A parallèle à P subit, dans son plan, une simple translation parallèle 
à la direction fixe (X, \x, 0) et proportionnelle à la distance des deux plans 
P P t . Une telle déformation prend le nom de glissement. 

En décomposant le segment caractéristique en deux, dont [l'un soit pa- 
rallèle au plan P et l'autre perpendiculaire à ce plan, on décomposera la 
déformation qui nous occupe en un glissement et une dilatation pure. 

55. — Si le plan P, au lieu d'être le plan des œy, avait pour cosinus 
directeurs a, (3, 7, les formules (8) seraient évidemment remplacées par 

^ = fl + l(afl + p& + yc), 

(9) | y = b h- ix {%a --h (36 -+- yc), 
[ z = c 4- v \aa -+■ $b -+■ yc), 

Le segment caractéristique serait celui qui aurait pour projections X, jx, v, 
et le rapport des densités, lié, comme nous l'avons vu, à la composante 
normale de ce segment, serait 

(10) & = 1 H- Xa -h jx3 4- vy. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



67 



Ce apport serait également celui dans lequel serait altérée la dislance 
d'un point quelconque au plan P. 

56. — Ce qui précède nous permet de nous représenter, dans le voisinage 
d'une surface S, une déformation (non. plus homographique, mais quel- 
conque) qui laisse inaltérés tous les points de cette surface. Celle-ci 
pourra en effet, au voisinage d'un quelconque de ses points, être assi- 
milée à son plan tangent, de sorte que le déplacement d'un point quel- 
conque M de l'espace voisin de 0, s'obstiendra en multipliant un segment 
déterminé (X, fx, v) par la distance normale du point M à la surface. Bien 
entendu le segment(X, fx, v) varie avec la position du point sur S. Les 
dérivées partielles de oc, y, z par rapport à a, b, c, au point 0, seront 



(11) 



-=1+ **, 


ïb 


ba r 




Ï)Z 

— = va, 

oa 


ÙZ 



1 + rt, 



— = f*Y> 






1 ■+■ vy, 



a, ^ y étant les cosinus directeurs de la normale à S en 0. La dilatation 
en ce point, égale au rapport dans lequel sera changée la plus courte distance 
du point M à S, sera donnée par la formule (10), laquelle représente 
d'ailleurs bien le déterminant du tableau (11). 



57. — Dé formations d'ordre supérieur. — Si après avoir tenu compte, 
comme nous l'avons fait, des infiniment petits du premier ordre dans 
une déformation quelconque, on voulait faire intervenir les infiniment 
petits d'ordre supérieur, on serait conduit, dans le cas général, à une 
étude extrêmement compliquée et qui semble actuellement inutile. Nous 
n'aurons besoin de faire cette étude que dans un cas extrêmement parti- 
culier, tout à fait analogue à celui que nous venons de traiter. 

Nous considérerons une déformation qui, non seulement laisse inaltérés 
tous les points d'une certaine surface S, mais coïncide en chacun de ces 
points avec la déformation identique aux infiniment petits du n ième 
ordre près, c'est-à-dire est telle que toutes les dérivées partielles de x, y, z 
par rapport h a, b,c jusqu'à l'ordre n — 1 inclusivement soient nulles sur 

S, à Fexception des dérivées ~ .» ^i -^ qui seront égales à \. Cherchons les 

relations qui auront lieu, dans ces conditions, entre les dérivées d'ordre n. 



68 CHAPITRE II 

La mélhode dont nous allons nous servir pourrait d'ailleurs remplacer 
celle que nous avons employée au n° précédent, pour le cas de n = 1. 
Soit d'abord, pour fixer les idées, n = 2 et désignons par 

f(a, b, c) = 0, 

l'équation de S et par f a , f b} t c les dérivées partielles — » -4» ~. 

<>a ho 5c 

La relation 

hx . 

da ' 

a lieu par hypothèse en tous les points 'de S. Nous pourrons donc la dif- 
férencier sur cette surface : autrement dit, la relation 

da -+- — — db -h --— de = 0. 
ôa 2 ha hb ha hc 

aura lieu pour toutes les valeurs de da, db, de qui satisfont à la relation 

(12) f a da -+- f b db +f c dc = 0, 

ceci donne 



h~X h'X 


b 2 x 


ha 2 ha hb 


hahc 


fa~ fi ~ 


f. 



De même les équations ~r = 0, — - = différenciées sur S, donneront 



h 2 X h 2 X' irX 
babu bb 2 hbbC 
la = ~ W " 17 ' 




ô 2 j; ô 2 # ô 2 .r 
bahc bbbe bç 2 

A fi fc' 




s, résulte, en somme 




b 2 x b 2 x b 2 x b 2 X b 2 X 
da 2 babb babç hb 2 ôô6c 

/à 2 /"«A fafc f'\ fhfc 


b*x 

ôc* 



(13) 

ou, en désignant par X la valeur commune des rapports précédents, 



(14) 



ô 2 ^ __,,,. b 2 X ô 2 .* 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 69 

relations que l'on peut exprimer ainsi : l'équation symbolique 

(14') (~ da-h^db-^ i dcïœ = \{f a da + f h dh 4- /;o?c) 2 

est une identité par rapport aux différentielles da, db, de. 

Si nous remarquons que la différence x — a est nulle, au point consi- 
déré de S, ainsi que ses dérivées premières, nous voyons qu'on peut écrire, 
aux infiniment petits près du troisième ordre, 



(15) 



V 2 



De même, en introduisant de nouveaux nombres ,u, v, on pourra écrire 
(15') 



»=» + £ 



>r. 



58. — Les quantités f a , /&, /* c sont proportionnelles aux cosinus direc- 
teurs a, {3, y de la normale à S. Elles sont même respectivement égales à ces 
cosinus directeurs, si l'équation de S a été prise sous une forme convenable. 
Supposons qu'il en soit ainsi : alors f représentera, aux infiniment petits 
du second ordre près, la distance normale 8 du point (a, b, c) à S. Nous 
voyons alors que la déformation considérée est connue, aux infiniment 
petits du troisième ordre près, dès qu'on se donne en chaque point m de S 
le segment (X, p, v). Le déplacement d'un point quelconque M voisin de 
S s'obtiendra en menant de ce point la normale M m = 8 et multipliant 

§2 

par T) ~ le segment (X, p, v) correspondant au point m. Un petit segment de 
normale à S deviendra, dans la déformation, un segment de parabole. 

59. — Les choses se passent d'une façon tout analogue pour n supérieur 
à 2. Par hypothèse, on aura (pour# + j + r = « — 1) 



laquelle, différenciée sur S, donnera 



ôaP+. 1 ôè«3c r 



da 



= 



db 



a n œ 



W ùte + 4 ôc r wv ' ba? ùbv ùc r + * 
moyennant la relation (12) et, par conséquent, 



à n X 



''fa = 



b n œ 



ôa^bôs + ^c 



î^r ' fb — 



b n œ 



isartbbc 



7T"i : ' c ' 



70 CHAPITRE II 

Autrement dit, le rapport 

est indépendant du choix des indices p, q, r, pourvu que leur somme soit 
égale à n. C'est ce rapport que l'on désignera par \ et il existera de même 
deux autres nombres n, v tels que l'on ait 



(16) 



* n V _ „ ff f q fr 

— ^— =-v/i' fSf\ 



ce qui donne encore 

( — rfa+'^è + - de) x = X (/;^a -h /i,d& -h /" c cfc) ? 



è ^ a + h> db + 4 ^ 



5 b \ n 

da-^-^db-h-dcj z = v (/^cfa h- /î,ctà -h /* c dc) 



Supposons encore l'équation de S prise de manière à ce que/" représente 
la distance normale du point (à, b, c) à S et f ai f b , f c les cosinus directeurs 
de la normale à S. Nous voyons que le déplacement d'un point voisin de S 

(X/ n u.f n v/* n \ 
— ,, ^-j, /-)• ^ es Petits segments de normales à S se 

transformeront en segments de paraboles de degré n. 

60. — La densité, dépendant de dérivées du premier ordre, reste inal lérée 
dans les déformations d'ordre supérieur que nous venons de considérer : 
ses dérivées d'ordre au moins égal h n — 1 sont seules modifiées. Il est 
aisé de voir quelles seront ces modifications pour l'ordre n — 1. 

Parlons, en effet, des formules (3), (3') : ici tous les éléments du déter- 
minant D sont égaux à zéro, sauf ceux de la diagonale principale qui ont 
la valeur 1. Formons la dérivée 

Tant que nous ne ferons pas porter tout le poids de la différenciation 
sur un seul et même élément, le terme obtenu sera nul, puisqu'il n'y 
figurera que des dérivées d'ordre inférieur à n, lesquelles sont nulles par 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



71 



hypothèse (sauf celles d'ordre un). Si, d'autre part, nous faisons subir 

l'oDération —-* à un élément non principal, nous devrons multiplier 

le résultat obtenu par le mineur relatif à cet élément, lequel est nul. I 
ne reste donc que les trois termes obtenus en dérivant n — 1 fois les élé- 
ments de la diagonale principale : soit (puisque les mineurs correspondant 
à ces éléments sont égaux à 1) 

baf ô6« ôc r \ p / ùa' J +' ' ùbv ôc'" ba* ùô* + * ôc r ôa*' ô6« ôc r + * 
et par conséquent, en vertu des formules (16), (16'), 

(«) Jmwr (S = /"«" *' * r f* + kA- + V.) ; 

par exemple, pour n = 2 



, on aura 



(17') 



£ g» =/.tv. + .*+•»/.). 



& p. 

ty r 

ô o 



/"«(Va"»- KA H-'Vc)' 



d* p 



Dans les formules précédentes, on peut (ce qui nous sera utile un peu 

plus loin) remplacer D = ^ par la quantité log D, dont la dérivée par 

P 
rapport à D est égale à 1 sur S (ceci est vrai même pour la formule (17), 
les termes qui, au premier membre de celle-ci, contiendraient les dérivées 
d'ordre supérieur du logarithme, étant nuls, en vertu des hypothèses 
faites). 



b) Résultats relatifs aux vitesses 

61. — Après nous être occupés, dans ce qui précède, de la déformation 
représentée par les formules (1), passons à l'étude du mouvement propre- 
ment dit, c'est-à-dire taisons varier t dans les formules (1'). 

Dans ces conditions, le système de variables indépendantes employé jus- 
qu'ici, — savoir les coordonnées initiales a, b, c et le temps t — n'est pas 
le seul que l'on ait à considérer. On peut aussi avoir à exprimer les di- 
verses quantités sur lesquelles on opère en fonction des coordonnées ac- 
tuelles oc, y, z et de t. Lorsqu'il y aurait lieu à confusion, nous désignerons 
les dérivées prises dans le premier système par le symbole o et tes dérivées 



72 CHAPITRE II 

partielles dans lesquelles x, y, z, t sont considérées comme des variables 
indépendantes, par le symbole ô. Ainsi les composantes de la vitesse seront 

* x „, h' 8 * il j « n> ,• s 2 -*? o 2 v s 2 ^r 

o7'' 57' w = M' celIes cIe l accélération,— -g , j4, -^ . 

Il est nécessaire de savoir écrire les relations entre les dérivées partielles 
d'une même quantité, dans les deux systèmes. Si, d'abord, on considère 
les dérivées par rapport à a,b f c ou x,y,z } il faut considérer t comme cons- 
tant, et l'on a 

S Ix ô oy i) Iz b 

la ta bx la by la t>z 

l_ Ix _ô_ 8?/ ô Iz ô 

lb~ÏU dx~^ Ù ôy ' + M Si 
8 8a? ô 8w ô 8^- b 
8c 8c ï>x le ï>y le àz' 

En ce qui concerne les dérivées *- et — , comme, a, h, c étant donnés, 

x, y, z sont fonctions de t et que leurs dérivées par rapport à t sont les 
composantes u, v, w de la vitesse, on a 

(18) -k- = -r + M: \-V — -h.W--. 

v ' o£ M ôa? ày ïsz 

61 025. — Nous aurons d'ailleurs à employer un système de variables inter- 
médiaire entre les deux précédents. Dans ce dernier système, pour étudier 
ce qui se passe à un instant déterminé quelconque t , nous prendrons 
comme état initial l'état du milieu en cet instant : c'est en fonction des 
coordonnées initiales ainsi définies et du temps t que nous exprimerons les 
coordonnées des différents points aux instants voisins de t . Il est clair 
que, dans cette manière d'opérer, les dérivées par rapport aux coordonnées 

initiales seront — , — , — ; seulement la dérivée par rapport au temps ne 

bX Ôî/ tiZ r r r 

sera pas —, mais la dérivée — qui figure au premier membre de la for- 
mule (18). 

6£. — L'état du milieu à l'instant t étant pris comme état initial, com- 
parons-lui l'état relatif à l'instant t -+- It. En ce nouvel état, les coordon- 
nées des différents points seront données par les formules 

x' = X -+- ult 
ij = y + vit 
Z' = % H- toit. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



73 



En les différenciant par rapport à x,y, s, nous aurons les formules corres- 
pondantes à (2'), lesquelles seront 

/. 1 / » ^ J 7 f » ùu «A bu ^, 7 bu *. 7 

l \ bx / a /y J a^r 

(19) < dy' = — o^cte -h dy (l 4 8<) -+- — oicte 

v M y a# ^ \ by J bz 

F»/ au> . 7 au> ~ 7 , /. au; «.A 

\ a# ay y \ a* / 

Le déterminant D sera ici 



1 -h —0^ 

bx 



bU ,>. 

ot 



bv 
bx 

bW , 

a# 



-M 1 



ay 

au 
by 



U 



bu 

ai 

au 
ai 



ait? «,, . aiu 

— ot 1 H 

ay bz 



-*( 



aw a» awA 
Sx ~*~ hy bz ) 



(en négligeant les puissances de M supérieures à la première). Ce détermi- 
nant étant égal à — £-*- =1 — 



on aura 



(20) 



0? bU bV blO 

pot bx a?/ a^- 



ce qui fait connaître *-. moyennant quoi la relation (18) donne pour -£ 



(21) 



ai aa? a*/ a,? 



Occupons-nous, d'autre part, de décomposer la substitution linéaire 
précédente, soit la substitution dont les coefficients sont 



(19) 



/. bu ft _ bu „. 

1 -h — m, — ot, 



aa? 



-- M, 1 + 

a# 



aa? 



bv 

bw 
by 



bu 
aT 



M, 



bV j, 

bZ 



^T** 



CHAPITRE II 



en une déformation pure et une rotation. C'est ce que nous ferons par l'in- 
termédiaire des deux substitutions 



(22) 



et 




1 < 2 \ôy ôar/ ' 



(23) 



\ 1 fàw ùlù\ ft 1 /ômj o.t>\ > 



1 /ôtt 

2 loi 

1 /ÔV 

2 U* 



ÔttJ 
0# 



)* 



o£ 



dont le produit donne (19'), lorsqu'on y néglige les termes en o* 2 . 

La première représente une déformation pure, puisque le tableau (22) 
est symétrique; la seconde représente l'effet, pendant le temps ot, de la 
rotation dont les composantes sont 



(24) 



~ 2 \oâ? tojj 



La rotation dont les composantes sont les quantités p y q, r que nous 
venons d'écrire est dite la rotation moléculaire instantanée ou tourbillon. 

63. — On peut justiGer cette dénomination de rotation moléculaire ins- 
tantanée, en remarquant, comme l'ont fait Stokes et, et plus tard Helm- 
holtz que si, dans le lluide en mouvement à l'instant considéré, on isole 
par la pensée autour du point considéré, une portion très petite de forme 
sphérique, et qu'on suppose celle ci brusquement solidiûée, la rotation 
instantanée prise par le solide ainsi obtenu aura précisément pour com- 
posantes p, q, r. Beltrami ( l ) a montré que cette conclusion restait vraie 
toutes les fois que les axes principaux d'inertie de la portion solidifiée coïn- 



(*) Principii dell' ldrodinamica razionale. Mem. de l'Ac. de Bologne, 3 e série, 
tome I, p. 458-459, 1871. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 75 

cidaient avec ceux de la déformation pure (22), c'est-à-dire avec ceux de 
la quadrique 

] ^ y \àz ï>y/ \àx azj J \by ^ dxj K ■ ' 

+ (! -t-a')y a + (1 -ha")* 2 -+-2py* + 2? zx + 2?xy = i, 

dont les coefficients sont ceux de la substitution (22), à la quantité 
x 2 ■+ y 2 -\- z 2 près. 

D'une manière générale, soit 
(26) *= Ax 2 -+- A' y 2 H- A"* 2 -+- 2Byz -+- 2B' ># 4- 2B"a?2/ = *, 

l'équation de l'ellipsuïde d'inertie de la petite molécule, qu'on suppose isolée 
à l'instant t et brusquement solidifiée, ainsi qu'il vient d'être expliqué, 
l'origine étant prise au centre de gravité de cette molécule. Pour trouver *le 
mouvement de celle-ci autour de après la solidification, il suffira, comme 
on sait, de trouver les moments totaux des quantités de mouvement relati- 
vement à trois axes rectangulaires issus de : autrement dit, d'écrire 

i.£-A**ir, t + irr i ^2»( ll £-. l %). 

où p i} q v ï'i désignent les composantes de la rotation après solidification, 
pendant que x it y\, z t désignent des coordonnées prises par rapport à un 
système d'axes parallèles à nos axes fixes, mais dont l'origine coïncide cons- 

OOC, 8y $z. 

tamment avec le point . — > —.- » — ' n'étant autres que les variations 

éprouvées par w, v, w, lorsqu'on passe du point à un point infiniment voi- 
sin, on peut écrire, aux infiniment petits d'ordre supérieur près 

ox 1 bu 5w ôw 

"8F — te a * + ty Vi "*" £F ** 

= Si*' + 2 [mj + m) * + 2 \jS + 55 j *< + * s ' - »». 
1 to 

ow. bu* ou dv 1 ôcp 

8# 4 -ïsw bu' ôw? 1 do 



76 CHAPITRE 11 

où p, q, r sont les composantes du tourbillon, telles que nous les avons 
écrites tout à l'heure. Substituant dans les équations précédentes, il vient 

A Pi h- Wq, + BV = 2 f (2/i g£ - *, ^ ) + 2 m fr ^ + ^ 2 ) - V œ y — rx *\ 
= Ap + B'q + B'r - r ^ m [2/i (P'*, + %. + ""*.) 

- * 4 (P'* f + Jy t H- p* t )] 
= Ajo + B"? + B'r — P'B" -+- p ( A" — A') + (a' — a") B 
H- P"B' 

B>, -f- A'^ 4- Br, = B"p 4- AVy -h Br + 2 m i z i ( a ^i + P"*/i + P'*i) 

— a? t (p'a?, 4- pz/ t H- a"*,)] 

== B"p 4- A'? 4- Br — aB' - p"B 4- p' (A — A") 4- pB /; 

-h a"B' 

B>t 4-Bg'i 4- AV 4 =B> + B^ + AV 4- 2 m K (P'^i + a '#i + P*i) 

— 2/i (**i H- P'fr -H P'*i)] 
== B'p +By+ AV 4- p" (A' — A) — «'B" — PB' 
4- «B" 4- p'B. 

On voit bien ainsi que p u q { , r 4 coïncident avec p, q, r lorsque l'ellipsoïde 
d'inertie se réduit à une sphère, et aussi lorsque ses axes coïncident en 
direction avec ceux de la quadrique (25) (car rien n'empêche alors de sup- 
poser que l'on a pris les axes de coordonnées parallèles aux axes en ques- 
tion, moyennant quoi i'on aurait B = B' . = B" = p = P' == p" = 0). 

Il y a lieu de remarquer, d'autre part, la forme du segment complémen- 
taire 

t P"B'— p'B" 4- p (A" — A) - B (a" — a') 

27) î PB" — p"B 4- p' (A — A") — B' (a - a") 

f p'B — pB' -h P" (A' — A) - B"(a' — a) 

qui figure dans l'expression du moment résultant des quantités de mouve- 
ment. Ce segment reste inaltéré au signe près lorsqu'on échange entre elles 
les formes quadratiques qui figurent dans les équations (25), (26). 

64. — Une interprétation géométrique simple, sinon du segment ($7), du 
moins de sa direction, peut être obtenue de la façon suivante : 

Soit Ix + py + vz = 0, un plan quelconque passant par l'origine. Le lieu 
des directions dont les plans diamétraux conjugués, par rapport aux qua- 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 77 

driques (25) et (26) respectivement, se coupent dans ce plan est, comme on 
sait, un cône du second ordre qui a pour équation 

X (a v 

(28) koc -+- B"y H- B'z B"x -h A'y H- Bz B'œ H- B# -+- M'z = 

a^-h $"y -+- $'z $"x -h h! y h- £z $'œ + ft/ + a"z 

Ce cône passe d'ailleurs par les trois arêtes du trièdre T conjugué commun 
aux deux quadriques en question (trièdre toujours réel puisque l'une de ces 
quadriques est un ellipsoïde). Inversement, l'équation de tout cône passant 
par les arêtes du trièdre T peut être mise dans la forme précédente. 

Ecrivons que le cône (28) est capable d'un trièdre trirectangle inscrit. Nous 
trouvons 

X (p'B' — p*B' 4- p (A' — A") — B (a' — a")) -+- p (p"B — pB" 
H-p'(A" — A) — B'(a"-a))+v(pB' — B(3'-+-p"(A-A') — B"(a-a'))=0 

autrement dit, le plan lx + f*y + vz = doit passer par la direction (27). 

Or, parmi les cônes du second ordre qui passent par les arêtes du trièdre 
T, on en aperçoit immédiatement trois qui sont capables de trièdres trirec- 
tangles. Ce sont ceux qui sont formés par une face quelconque du trièdre T 
et le plan mené perpendiculairement à cette face, par l'arête opposée. Les 
trois plans ainsi menés se coupent d'ailleurs comme on sait, suivant une 
même droite A- La condition imposée à un cône du second degré d'être 
capable d'un trièdre trirectangle étant linéaire par rapport aux coefficients, 
les cônes (28) capables de trièdres trirectangles seront ceux qui passeront par 
les arêtes du trièdre T et par la droite A. 

Dès lors, il est clair que, si l'on prend les plans diamétraux conjugués de A 
par rapport aux deux quadriques (25) et (26), leur intersection fournira la 
direction (27). 

05. — On arrive à une interprétation du segment (27) lui-même, en considé- 
rant non seulement la quadrique (26), mais aussi la quadrique (25) (ou, ce qui 
revient d'ailleurs au même, la quadrique » = 1, qu'on en déduit en retran- 
chant x 2 + y 2 + z 2 au premier membre), comme des ellipsoïdes d'inertie ; 
par conséquent, en posant, non seulement 

A = 2 m (.V 2 + - 5 )> A'=^m{z*-hœ 2 ), A" = ^m (x 2 +if), 

b = — 2 m y z i B ' = — 2 mzx > B " = ~~2 mxy 

(où, pour plus de simplicité, nous avons supprimé les initiales devenues inu- 
tiles); mais encore 

« = 2 m ' (y* •+■ z '*)> «' == 2 m ' ^ + *' 2 )' a ' - 2 m ' ^' 2 -*- 2/' 2 )> 



p = _ ^ w! y> z >, p/ = -^ m'g'at, p = -^ 



m'œ'y' 



78 CHAPITRE II 

on trouve alors, pour les quantités (2^), les valeurs 

2 mm' [x'y' zx — z'x' xy — y'z' (y 2 — z 2 ) -+- yz (y' 2 — g'*)] 

= 2^ mm! (xx'-j- yy' -+- zz') (y'z — z'y) 
/, »nm' jV^'-r;/ — a?'// ysr — *'.r' (z 2 — x 2 ) -+- zx (z' 2 — .t" 2 )] 

= y^ mm' (xx' -+- yy ! -h zz') (z'x — x'z) 
V mm! [z'x' yz — 3/V zx — œ'y' (x 2 — y 2 ) -h xy (a?' 2 — y' 2 )] 
= 2, mm' (xx' -+- y y' -+• zz') (x'y — y'x). 

On sait que l'expression xx' + yy' + zz' ne change pas par une transforma- 
tion de coordonnées rectangulaires quelconques, et aussi qu'il en est de 
même pour la signification géométrique du segment (y'z — z'y, z'x — x'z, 

x'y y'x). On a donc bien mis en évidence cette même propriété pour le 

segment (27). 

qq _ Si la rotation moléculaire instantanée est partout nulle, l'expres- 
sion udx -h vdy -+- wdz est une différentielle exacte. 

11 existe une fonction, dite potentiel des vitesses, dont les dérivées par- 
tielles sont les composantes u, v, w. Si le milieu considéré occupe l'espace 
tout entier, cette fonction, définie à une constante près, est elle-même 
univoque dans tout le milieu. Il en est de même si celui-ci n'occupe qu'une 
portion de l'espace lorsque cette portion est à connexion linéaire simple, 
c'est-à-dire lorsque toute ligne fermée, tracée dans le milieu est réductible 
à un point par une déformation continue effectuée sans sortir de ce milieu. 

Dans le cas contraire (par exemple, si le volume occupé a la forme d'un 
tore), le potentiel des vitesses peut avoir des périodes, c'est-à-dire s'aug- 
menter de constantes lorsque le point (x, y, z) décrit un chemin fermé 
non réductible à un point (dans le cas du tore, lorsque ce point revient à 
sa position primitive après avoir tourné de 2tc autour de l'axe). 

(J7. Lorsque la rotation moléculaire instantanée (p, q, r) n'est plus 

nulle, les équations différentielles 

dx dy dz_ 

(29) ~jf y "~ r~ 

définissent une double infinité de lignes, nommées lignes-tourbillons. 
Il peut arriver que les lignes-tourbillons se ferment sur elles-mêmes ; 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 79 

mais, en général, leur disposition (comme celle de toutes les lignes définies 
par des équations différentielles) est beaucoup plus compliquée. Chacune 
d'elles revient une infinité de fois aussi près qu'on le veut de son point de 
départ, mais, en général, sans jamais repasser exactement par cette posi- 
tion. Des observations toutes semblables s'appliquent aux filets-tourbillons, 
ou surfaces formées par les lignes tourbillons issues des points d'une ligne 
fermée quelconque. La méconnaissance de ces circonstances a quelquefois 
conduit à énoncer des conclusions erronées. 

Par contre, les raisonnements analogues relatifs aux lignes de courant, 
c'est-à-dire à celles qui sont définies par les équations différentielles 

dx dy dz 

u ~ ~ v w 

dans le cas où il existe un potentiel des vitesses F, sont exacts (du moins 
si le milieu est à connexion linéaire simple et, par conséquent, la fonction F 
univoque). F est, en effet, croissant le long des lignes de courant (puisque 
sa différentielle d¥ = udx H- vdy -+- wdz est proportionnelle à u 9 -h v 2 
-+- w 2 ) : celles-ci ne peuvent dès lors, ni se fermer sur elles-mêmes, ni 
affecter la disposition compliquée dont il vient d'être question : elles se 
terminent nécessairement à la surface-limite (ou à l'infini, si le milieu est 
illimité). 

f»8. — Si la rotation moléculaire instantanée n'est plus nulle, on ne peut 
plus écrire 



bF 


bF 


BF 


— — — 


v — — 


iv — — 


bœ 


*y' 


i>z 



Clebsch a proposé de mettre alors les composantes de la vitesse sous la 
forme 



(30) 



4* et pétant deux autres fonctions à déterminer. Il fonde la possibilité d'une 
telle réduction sur le raisonnement suivant : 



1" 


_bF 

B# 


+■ + * 


• 


bF 


+ + a 
ty 


f w 


_bF 

~~B,S- 


Y ttz 



80 CHAPITRE II 

Si l'on différencie la seconde des équations (30) par rapport à z, la troi- 
sième par rapport à y et que l'on retranche, il vient 

(31) . .'ï-_ ^- = — 2»=^^— ^^L 

^ ôj/ "^ bz by by b£ 

Cette équation et les deux autres analogues 

( — 2a="— ^ — — ^ 
(31') s 

/ — 2r = ^ ^ — -~^ 
[ 03/ 53? bb by 

montrent que <|/ et ^ satisfont à l'équation aux dérivées partielles 

btli b<l" bd» A 

^ bo? i by ~bZ 

autrement dit, sont des intégrales du système d'équations différentielles 
(29), celui qui définit les lignes tourbillons. 
Or, les fonctions p f q, r satisfont à la relation 

ô i + ô i + b !: = o. 

bj? dy ùz 

Il en résulte que le système (29) admet comme multiplicateur (*) l'unité. 
La théorie du multiplicateur enseigne que, dans ces conditions, on peut 
trouver pour ce système deux intégrales ^ et ^ vérifiant les relations (31), 
(31'), d'où l'on peut, sans difficulté, remonter à (30). 

Cette démonstration prouve bien, en effet, que l'on peut donner aux 
composantes u f y, w la forme (30) dans une région suffisamment petite R 
du milieu. Mais les choses se passeraient en général tout autrement si l'on 
envisageait le milieu tout entier. L'existence des intégrales <\> et y est, en 
effet, établie dans une région telle que R, et il y a une telle région au voi- 
sinage de tout point de notre milieu. Mais si — comme cela a lieu sauf 
dans des cas exceptionnels — les lignes tourbillons présentent la disposi- 
tion compliquée signalée tout à l'heure, il sera évidemment impossible 
que <|> et ^ soient bien déterminés dans tout le volume considéré. 



( J ) Voir par exemple Jordan, Cours d' Analyse, vol. III, ch. 1. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 81 

Par contre la forme 

oF 
u = — - 



S5 " 






ô<p 

— à* 



v== ôF 

oF f>9 ôtl> 

W = h ;- X — ;— ' 

DZ ty ÏSX 

qui a été également proposée pour les composantes de la vitesse, peut tou- 
jours être obtenue. Il suffit évidemment, pour le démontrer, d'établir que, 

moyennant la condition h - — h — = 0, on peut toujours trouver trois 

fonctions cp, ty et % vérifiant les équations 

A = *ï - & , 
OS oy 

oa? iiZ 

p ôcp bty 

Ôt/ 00? 

Or la démonstration de cette proposition (*) échappe à la difficulté signalée 
tout à l'heure, et cela (moyennant quelques précautions faciles) même si 
la région considérée est multiplement connexe. 



§ 2. — ÉTUDE DES DISCONTINUITÉS — LES CONDITIONS IDENTIQUES 



69. — Nous avons, dans ce qui précède, supposé les coordonnées oc, y, z 
et leurs dérivées des divers ordres continues. Cette hypothèse est cependant 
loin d'être la seule qu'il convienne d'envisager, et l'étude de mouvements 
dans lesquels quelques unes des dérivées en question éprouvent des varia- 
tions brusques est indispensable dans une foule de théories physiques. La 
propagation de discontinuités de cette espèce a été déterminée, pour le cas 
du mouvement rectiligne des gaz, par Riemann, dans un mémoire célèbre 
dont nous parlerons plus loin. Plus tard, en 1877, Christoffel reprit ( 2 ) les 
résultats de Riemann pour les étendre aux mouvements à trois dimensions, 



(!) Voir par exemple Picard, Traité cC Analyse, tome I. 
( 2 ) Annali di Matematica, tome VIII ; 1877. 



82 CHAPITRE II 

mais il se limita à des ondes lout exceptionnelles, les ondes de choc: (ondes 
du premier ordre) dont l'existence avait été découverte par Riemann et, de 
plus, comme l'étude de ces ondes offre des difficultés spéciales, il dut n'en 
considérer qu'un cas limite, celui où les discontinuités sont infiniment 
petites. C'est Hugoniot qui, en 1887, sans connaître d'ailleurs les travaux 
de Riemann et de Christoffel, montra (*) l'importance des discontinuités 
dont nous allons parler, et en fit une étude générale : Il mit en lumière 
une notion fondamendale, celle de compatibilité, sur laquelle nous aurons 
à insister plus loin, et dont la nécessité semble n'avoir pas apparu à 
Christoffel, quoiqu'elle eût été indiquée par Riemann dans le cas du mou- 
vement recti ligne. 

70. — Les discontinuités que nous étudierons ne seront point les plus 
générales qui puissent se présenter. Nous n'envisagerons pas, par exemple, 
des singularités telles que celles auxquelles nous avons fait allusion au 
n°45. 

Nous supposerons, au contraire, que les discontinuités en question 
n'affectent à un instant quelconque que des surfaces isolées. L'équation 
d'une de celles-ci > rapportée à l'état initial, sera 

(32) f{a,b,c) = 

c'est-à-dire que la relation précédente exprime la condition que doivent 
remplir les coordonnées initiales a, b, c d'une particule pour que celle-ci 
soit, à l'instant t, le siège d'une discontinuité. On peut d'ailleurs envisager 
également l'équation 

(33) ? (*, y, z) = 

de cette même surface par rapport aux coordonnées actuelles x, y, z : 
équation qui représente à chaque instant t, le lieu des positions actuelles 
des particules affectées par la discontinuité à cet instant, et qu'on déduira 
delà premièreen éliminant (a, &, c) à l'aide des relations (1). Nousdésigne- 
rons par S ta surface représentée en coordonnées cartésiennes, par l'équa- 
tion (32) ; par S, celle qui est représentée, par l'équation (33) et qui est 
la transformée de la première dans la déformation (1). 

La surface S divisera l'espace lieu du point (a, b, c) (ou la surface S 



(') Journal de l'Ecole Polytechnique, tome XXX1H, 1887; Journal de Math. 
Tome III, série IV, 1887. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 83 

divisera l'espace lieu du point [x t y, s)) en deux régions 1 et 2. Dans cha- 
cune d'elles (du moins jusqu'à ce qu'on rencontre une nouvelle surface de 
discontinuilé) nous admettrons que les coordonnées x, y, z et leurs dérivées 
existent et sont continues. 

K I • — Nous compléterons cette hypothèse par une autre : non seulement 
les dérivées dont nous parlons seront continues à l'intérieur de chacune 
des régions 1 et 2, mais encore nous admettrons que chacune d'elles tend 
vers une limite déterminée lorsque le point (a, b, c) tend vers une position 
limite située sur S, en restant toujours dans une môme région. 

Autrement dit, soit * une fonction quelconque de x, y, z,a, 6, c, t etdes 
dérivées partielles de tous ordres de x, y, z par rapport à a, b, c, t. Cette 
quantité, une fois exprimée à l'aide des variables indépendantes a, b t c 
pour une valeur déterminée de t, en sera une fonction 4^ qui sera définie 
en tout point intérieur à la région 1 et continue en ce point. Cette fonction 
aura également une valeur déterminée < i>° 1 en un point quelconque 
(fl , b , c ) de S ; et elle y sera continue, en ce sens que * t tendra vers *° 
lorsque le point (a, b, c) tendra vers (a 0) b , c ) sans cesser à aucun moment 
d'appartenir à la région 1. 

De même *, considérée dans la région 2, sera une fonction «ï> 2 de a, 6, c, 
laquelle sera définie et sera continue dans toute ce'te région 2. Cette fonc- 
tion prendra une valeur déterminée *° 2 au point (a , b , c ) de S ; elle sera, 
en ce point, continue pour les déplacements intérieurs à la région 2. 

Seulement, les deux valeurs *° 1 , 4>° 2 Correspondant à un même point 
{ a oi &o> c o> h) pourront ne pas être égales entre elles, et c'est en cela que 
consistera la discontinuité. Ainsi la valeur de 4> subira, au passage de S 
une variation brusque. La valeur *° 2 — * , de cette variation sera sou- 
vent désignée par la notation [.*]. 

"7SL — Moyennant les hypothèses précédentes, nous allons avoir à dé- 
montrer un lemme d'analyse nécessaire pour tout ce qui va suivre, 

Supposons que a, b, c varient suivant une courbe entièrement située 
dans la région 1. Alors, comme nous faisons sur les dérivées partielles de* 
les mêmes hypothèses que sur * lui-même et que, par conséquent, ces 
dérivées exisleront et seront continues dans la région 1, on obtiendra la 
différentielle de * par l'application du théorème des fonctions composées. 

En sera-t-il de même lorsque le point (a, 6, c) sera situé sur S et se 
déplacera sur cette surface ? Cela n'est point évident. Sur S, en effet, «I^ 
n'a point, à proprement parler de dérivées partielles, puisqu'il n'est défini 



84 



CHAPITRE II 



que d'un côté de S et non dans tout le voisinage du point considéré : on 
n'est donc pas dans les conditions ordinaires d'application du théorème en 
question. 

La conclusion reste cependant exacte. C'est ce que nous allons constater 
en nous plaçant, pour plus de simplicité, dans le cas de deux dimensions. 

Nous aurons alors une fonction <ï> définie d'un seul côté d'une courbe S 
(fig. 6). Dans sa région d'existence, elle aura des dérivées partielles, 
lesquelles tendront vers des limites déterminées (que nous désignerons 

encore par — et ~J lorsque le point (x, y) tendra vers un point M 

(#o>2/o)de§. r 

Il s'agit de savoir si * aura, par rapport à l'arc s de §, une dérivée 
donnée par la relation 



ds 



i>x ds 



ôy ds 



Fig. 6 



On peut répondre à cette question en employant d'une manière conve- 
nable la démonstration classique. Celle-ci consiste en effet, M' et M" étant 
deux points infiniment voisins l'un de l'autre sur §, à introduire soit le 

point P qui a même abscisse que 
M' et même ordonnée que M", soit 
le point Q qui a même abcisse que 
M" et même ordonnée que M'. 

Or, des deux lignes brisées M'PM" 
et M'QM", il y en a, en général, 
une (fig. 6) qui est située tout en- 
tière dans la région d'existence de 
* et qui permettra par conséquent l'application du raisonnement. 

On pourra encore arriver au résultat comme l'indique M. Painlevé( 1 ) en 
menant par les différents points de l'arc M'M", de petits segments égaux et 
parallèles entre eux situés dans la région d'existence de *. Le lieu des extré- 
mités de ces segments est un arc N'N" sur lequel on peut écrire (puisque les 
dérivées de * existent cette fois) 




*n" 



/ /ô* dœ ô4> du\ 7 

<V = / r h f ) ds. 

N / \i\x ds oy ds) 

«^n'n" 



(*) Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, Annales scientifiques de 
l'Ecole Normale supérieure, 1887, l ,e partie, ch. n, n° 2. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



85 



Quand la longueur du segment tendra vers 0, les quantités — et — ten- 
dront, et cela uniformément, vers — et — : on aura donc, à la limite, 

ùr ty 



*m'' — <Ï>m' = 



&c o?s ùy ~ ds 



ce qui équivaut manifestement au résultat demandé. 

Chacun des deux raisonnements précédents s'étend évidemment, de lui- 
même, â un nombre supérieur de dimensions, de sorte que notre lemmeest 
démontré. 

73. — Cela posé, supposons que la fonction f I> ne subisse pas de variation 
brusque sur S , mais que ses dérivées premières soientau contraire discon- 
tinues : autrement dit, que l'on ait 

Le lemme précédent va nous permettre de voir que les changements de 
valeurs I — |> \ -r I» I — I éprouvés par ces dérivées partielles ne pour- 
ront pas être quelconques. 

Faisons, en effet, décrire au point (a, b, c) un chemin quelconque situé 
sur la surface S . En chaque point de ce chemin, la fonction <S> t est définie : 
on pourra, de nlus, la différencier sur S en appliquant notre lemme, et 
écrire 



d* t = r ^i da 



o<i>, 



db 



-r—dc. 
oc 



oa ob 

Les mêmes considérations s'appliquent à la fonction <J> 2 : on a 

i oa ob oc 

Retranchons membre à membre : les premiers membres se détruisent, 
puisque * est supposé continu au passage de S . Il vient 









de 



86 CHAPITRE 11 

Or les différentielles efa, db, de sont évidemment quelconques sous la seule 
condition de vérifier l'équation différentielle de S . 

f a da h- f h db -h f c dc = 

(en désignant, comme plus haut, par f ay f b , f c les dérivées partielles de /). 
Donc on doit avoir 

E]:*-|]B}*-KK 

74. — Supposons maintenant que, non seulement *, mais encore ses 
dérivées premières restent continues. Que pourrons-nous dire des varia- 
tions brusques des dérivées secondes? 

Nous pourrons appliquer le mode de raisonnement précédent à la 

fonction ™ : ce qui donnera 

|> 2 J " ' a — \Jà 36 J ' h ~~ \}a lc\ ' U 
et de même, aux fonctions *rr> -t— , ce qui donnera 

00 OC * 

\_fatb J ' u — \w \ h ~~ L^ 8c J ■ '" 

\}~aJc\ t a = \jbTc\ fh = [_W\ fc ' 
Comme précédemment, ces égalités montrent que Ton a 

( 35 ) i r- r- -. 

[5sî-w. [&]-w- [SI-*** 

X étant un nombre convenablement choisi. 

D'une manière générale, si la fonction 4> est continue ainsi que ses 
dérivées partielles jusqu'à l'ordre n — 1, on aura, entre les variations des 
dérivées partielles d'ordre n, la série de proportions 

,35'ïR^l/"'- -f 5 ""\ \f-fjf'=.. = [%*]: f r *. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 87 

En désignant par X la valeur commune de ces rapports, on aura, quels 
que soient da, db de, 

([la] da + \jb\ db + [le] dc ) n<p = X i^ada + ftdb + / c tfc)». 

75. Les discontinuités que nous étudierons pourront être de différents 
ordres. 11 pourra arriver, en premier lieu, que les coordonnées x, y, z elles- 
mêmes soient discontinues, non pas en fonction du temps (nous n'admettrons 
jamais qu'une molécule passe instantanément d'une position à une autre), 
mais en fonction de a, b, c. De telles discontinuités seront dites à? ordre 
zéro ou absolues. 

Dans le cas contraire, la discontinuité ne portant pas sur les coordonnées 
elles-mêmes, pourra porter sur leurs dérivées ; celles-ci seront classées 
d'après leurs ordres. 

Nous nommerons ordre d'une dérivée s „ H . ^ . l'ordre tolal dedéri- 

oaP àbv ùc r ot s 

va lion p-\~q-hr-+-s = n par rapport à a, b, c, t. 

Toutefois, dans les dérivées d'un même ordre, il y aura lieu d'établir des 
catégories suivant le nombre s des dérivations effectuées par rapport à t. Ce 
dernier nombre sera dit V indice de la dérivée considérée. 

Par exemple, les dérivées du second ordre de x, y, z sont au nombre de 
30, dont 18 d'indice zéro, savoir : 



l 2 œ 
ôa 2 

9 d'indice un, savoir 



z 



5a 86 8c 2 ' 8a 2 5c 2 



3 d'indice deux : 



l 2 x S 2 x S 2 ^ o 2 y o 2 z 

8âT*' WM* lëli' lôtt' '"' 8cS7 ; 



o 2 X o 2 ?/ ô 2 Z 

U 2 ' sV 2 ' w 



c'est-à-dire les composantes de l'accélération. 

Uordrp d'une discontinuité sera le plus petit des ordres des dérivées 
qu'elle affecte. 

76. — Il y a lieude noter qu'on peut avoir à considérer des disconti- 
nuités d'ordre infini. 



88 CHAPITRE 11 

Si, en effet, une fonction analytique régulière autour du point (a , b , c ) 
est déterminée par la formule de Taylor dès qu'on donne les valeurs de toutes 
ses dérivées en ce point, il n'en est plus du tout de même si la fonction est 
quelconque, soit qu'elle cesse d'être analytique, soit qu'elle cesse d'être 
régulière. 

Supposons, dès lors, que le mouvement soit analytique dans toute la 
région 1. Il pourra arriver qu'il y ait, au passage de S , continuité des dé- 
rivées de tous les ordres, et que, cependant, le mouvement de la région 2 
ne soit pas le prolongement analytique du premier, soit qu'il ne soit pas 
lui-même analytique, soit qu'il présente sur S des singularités convenables 

__ i. 
(comme par exemple celle qu'offre la fonction e sa} pour x = 0). 

L'étude de discontinuités de cette nature offre des difficultés parti- 
culières. Nous ne l'aborderons pas dans ce qui va suivre. 

11*71* — Laissant de côté les discontinuités absolues, nous allons nous oc- 
cuper d'abord des discontinuités du premier ordre. 

Il y a alors trois dérivées d'indice un et neuf dérivées d'indice zéro. Les 
premières sont les composantes de la vitesse. Nous n'avons pour le moment 
aucune observation à faire à leur égard. 

Au contraire; il résulte du Iemme démontré tout à l'heure que les va- 
riations brusques des dérivées d'indice zéro ne peuvent pas être quel- 
conques. En effet, puisque par hypothèse il n'y a pas de discontinuité 
d'ordre zéro et que x est continu, on doit avoir 

fa ~ f^ ~ fc ' 

ou, en désignant par X la valeur commune de ces rapports 
(36), B] = V«,[|f] = >A,[|f] = X,. 

On aura, de même, en introduisant deux autres nombres \j. et v, 

1 [I] --r-M-'f'M -<"■■• 
,36, /fê|-*[îa-*fêl-*: 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 89 

Nous considérerons X, jx, v comme les projections d'un vecteur (tracé, à 
partir dii point (x, y, z), dans l'espace lieu de ce point). Ce vecteur suffit 
à définir les variations des neuf dérivées d'indice zéro. 

On lui adjoindra, pour avoir les variations brusques de toutes les dé- 
rivées du premier ordre, le vecteur qui représente la variation brusque de 
vitesse et que nous appellerons, par analogie (X t , fjt i , vj). 

78. — Les considérations développées au n° 56 permettent de donner au 
résultat précédent une interprétation géométrique simple. À cet effet, ima- 
ginons — 6e qui est évidemment possible, — un état fictif du milieu coïn- 
cidant avec l'état actuel envisagé dans la région 1, mais tel que les dé* 
rivées des coordonnées soient continues au passage de la surface S . 

Nous appellerons, pour abréger, « état de la région 1 » , 1 etàlr-ajnsi dé- 
fini dans tout l'espace : c'est, comme on voit, l'état de la région 1 prolongé 
dans la région 2. 

Soient x' , y', z' lés coordonnées d'une particule quelconque de la région 
2 dans ce nouvel état. 



Les quantités 






ne sont évidemment autres que les valeurs, en un point quelconque de S , 
des expressions 

à(x— x') 8 (x — x') o(x — x') 
Sa ' ' 86 ' Se 

(considérées par rapport à la région 2). 

Or puisque x\ y' z' coïncident avec x, y, z en tout point de S , la défor- 
mation qui permet de passer du point (x', y', z') au point (x, y, z) rentre 
dans la catégorie étudiée au n° 56 : autrement dit, le déplacement éprouvé, 
dans, cette déformation, par un point M infiniment voisin d'un point 
déterminé de S est de direction constante, et proportionnel à la distance 
de M à S . 

C'est ce qui résulte d'ailleurs des formules précédentes. Si, en effet, à 
partir d'un point de S nous donnons à a, b,c des accroissements da y db, 
de, comme d'autre part /"est nul sur S , on aura sensiblement 

df— f=f a da->rf h db+ f c dc, 



90 CHAPITRE II 

de sorte que l'on pourra écrire, aux infiniments petits d'ordre supérieur 
près, 

(oc — oc' = \f 
(37) Yy—j/^.pf 

( Z ' — z' = v/". 

On voit donc bien que le déplacement de notre particule, dans le pas- 
sage de l'état de la région 1 à celui de la région 2, est représenté par le 
segment (X, [x, v), multiplié par le nombre f qui est lui-même propor- 
tionnel à la distance du point (a, b, c) à la surface f= 0. 

79. — De cette remarque résulte immédiatement que le segment que 
nous venons d'introduire, et qui est représenté par les nombresX,. n, y, est 
indépendant de la direction des axes par rapport auxquels est défini le 
point (oc, y, z). Autrement dit, si l'on rapportait à d'autres axes rectangu- 
laires l'espace lieu de ce point, les nouvelles valeurs de X, [j., v seraient les 
projections du même segment sur les nouveaux axes : ce segment repré- 
sentant le déplacement du point considéré (dans le passage de la position 
(oc', y', z') à la position (x, y, z) ) divisé par la valeur de /, laquelle est 
calculée sur l'état initial et indépendante des coordonnées actuelles. 

79 bis t — j\fl a j s j e c hoix des axes dans l'espace actuel n'est pas le seul élé- 
ment arbitraire qui existe dans notre mode de représentation. 

En premier lieu, la surface de discontinuité rapportée à l'état initial a 
été représentée par une équation f(a, b, c) = 0. 11 est clair qu'il y a une 
infinité de manières de représenter ainsi la même surface. Rien n'empêche 
de multiplier /"par un nombre constant quelconque ou, plus généralement, 
par une fonction quelconque ne s'annulant pas sur S . 

En second lieu, nous pouvons choisir d'une façon entièrement arbitraire 
l'état initial auquel sont rapportées les molécules. Nous aurons donc à nous 
demander quelle influence ïe choix de cet initial aura sur le segment (X, \l, v). 

Occupons-nous d'abord de cette dernière question. Supposons qu'on 
change l'état initial (a, b, c) en une autre (a 1 , V , c') mais sans changer de. 
fonction /"(autrement dit,' en se contentant de remplacer, dans celte fonc- 
tion, a, b, c par leurs valeurs en fonction de {a! b' c')). Alors le segment 
(X, {jl, v) ne sera pas changé. C'est ce qui résulte immédiatement de l'inter- 
prétation que nous venons d'indiquer, ce segment étant le quotient du 
déplacement d'un point quelconque lorsqu'on passe de l'étal de la région 1 
à celui de*la région 2, par la valeur, de / en ce point. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINÉMATIQUE 91 

80b — Supposons maintenant, au contraire, que sans changer a, b, c, on 
multiplie la fonction /"par un facteur (continu et dérivable) non nul aux 
points considérés. Dans ces conditions f a , f bl f c seront évidemment multi- 
pliés par un même nombre (*) puisqu'ils sont proportionnels aux cosinus 
directeurs de la normale à S . Dès lors, dans les formules (36), (36'), 
X, ji, v devront être divisés par ce nombre. 

Nous voyons jlonc que, pour définir d'une façon précise les composantes 
X, [x, v, il est nécessaire de spécifier sous quelle forme on écrit l'équation 
de la surface S . 

La convention qu'il est naturel de faire à cet égard consiste à admettre 
que a, (3, y sont respectivement égaux aux cosinus directeurs de la nor- 
male à S par exemple, à prendre pour/ la distance normale du point 
(a, b } c) à cette surface. Nous adopterons cette convention dans ce qui va 
suivre. 

Il est d'ailleurs aisé d'écrire les composantes X, jx, v ainsi définies lorsque 
l'équation de S est donnée sous une forme quelconque. Car les cosinus 
directeurs a, (3, y ont pour valeurs 

fa_ fb fc 

^ 2 + a 2 + // v//« 2 +a 2 -h/; 2 ' V7F+ a 2 -h r/ 

h suffira donc de remplacer les formules (36) (36') par 

ipa?l =x . /« f5xl x h f-l — X Te _ 

- rvi- : k r¥i— ===JL=== r°vi k 

L^J~7/« 2 +A a +/; 2 'l^J~Va 2 h-a 2 -+-/ , c 2 'L^J"V/« 2 +a 2 -+-/^ 



81. — Il reste, cependant, à choisir le signe du radical y/ f a 2 -+.f b * -±- f c 2 . 
Nous supposerons que les cosinus directeurs a, (3, y sont ceux de la nor- 
male S dirigée vers la région 2. Le signe du radical devra, dès lors 
être celui de /dans celte région. 

Si, au contraire, fa. été choisi de manière à permettre l'application des 
formules (36) (36'). il devra, à cet effet, être égal (tout au moins aux 



(') Ce nombre est d'ailleurs de la valeur que prend, au point considéré, le fac- 
teur en question. 



92 CHAPITRE II 

infiniment petits d'ordre supérieur près) à la distance normale du point 
(a, b, c) à S . cette distance étant comptée comme positive dans la région 2 
et comme négative dans la région 1. 

82. — La convention précédente résout la difficulté relative à la forme 
de la fonction f. Mais elle nous fait perdre le bénéfice de la remarque faite 
tout à l'heure, d'après laquelle le choix de l'état initial paraissait sans 
influence sur le résultat. En effet, pour deux états initiaux différents 
(a, b, c) et (a' b' c'), la quantité f a 2 -\- f b 2 -\-f c ' qui figure au dénominateur 
dans les formules (38) a des valeurs différentes ( 1 ). Par conséquent, sui- 
vant qu'on ; adoptera l'un ou l'autre d'entre eux, il faudra multiplier le 
segment (X, \i, v) par un facteur différent. 

Il- est d'ailleurs aisé d'avoir la signification du rapport de ces deux fac- 
teurs. Chacun d'eux représente en effet la quantité par laquelle il faut mul- 
tiplier /pour qu'il représente la distance normale d'un pointa la surface de 
discontinuité, dans l'état initial correspondant. Leur rapport est donc la dila- 
tation normale à cette surface dans le passage d'un de ces états à l'autre. 

83. — Nous ne pouvons donc maintenant parler du segment (A, {*, v) 
qu'en indiquant à l'aide de quel état initial il a été formé. 

Dans certaines questions (par exemple en élasticité) l'état initial est 
indiqué par la nature même du problème. Tl n'en est pas* de même en 
hydrodynamique. Nous conviendrons alors de prendre pour état initial 
l'état actuel de la région là l'instant considéré. Cet état, n'est, il est vrai, 
ainsi défini que dans une partie du milieu ; mais on peut, ainsi que nous 
venons de le faire il y a un instant, le prolonger dans la région 2, les déri- 
vées partielles des coordonnées œ, y, z par rapport aux coordonnées a, b, c 
(coordonnées de l'état initial quelconque primitivement choisi) restant 
continues ; et cet état fictif peut être pris comme nouvel étal initial, sans 
que la condition énoncée au n° 45 bis cesse d'être remplie. 

84. — Si on intervertissait les* rôles des deux régions 1 et 2, il est clair 
d'abord, qu'il faudrait changer les signes des quantités 

[8x1 _ /oa?\ /oa?\ \°of\ fôVl 
U\ -\oa) 2 [SaJt \_Sb]' |_^J 



(i) Si -f {ici, db', de') représente l'élément linéaire da- + db* + de 2 , exprimé à 
l'aide des variables da, db', de' ; ^fla forme adjointe de tp ; D le déterminant fonc- 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



93 



Il en serait de même de 



b«J UJ 



Mais, d'autre part, le dénominateur \/f a - -+- f b - -+- ff subirait un double 
changement : d'une part, un changement de signe ; d'autre part, d'après 
ce qui vient d'être dit, une multiplication par un facteur égal à la dilata- 
tion normale à 8 qui intervient dans le passage de l'état 1 à l'état 2, c'est- 
à-dire à l'unité plus la composante normale Xa -+- (j$ -+- vy de notre segment. 

Eu définitive, pendant que les cosinus directeurs a, (J, y seront changés 
en — a, — p, — y, les composantes dont nous venons de nous occuper 
seront changées en 

/ X „' ^ g , 

1 -+- Xa -+- [xp -t- vy ' ^ 1 -+- Xa -+- p$ H- vy 

, _ _2 

1 H- Àa-h fxp -h vy" 



(39) 



85. — Avant de passer au cas général, nous traiterons encore, en raison 
de son importance, celui de la discontinuité du second ordre. Envisageons 
d'abord les dérivées d'indice 0. La fonction se étant continue ainsi que ses 
dérivées partielles du premier ordre, la proposition du n° 74 nous montre 
l'existence d'un nombre X tel que Ton ait 



(40) 



i?]~w. [s]^ m=^ 



De même \x et v désignant deux nombres convenablement choisis, on 
pourra écrire 

[so=^ m^> m=^ [*]=-w : 

(40')^ 

[S]- v /^ Dïfl=''A s - [&] = "A [sre]= v A/'.. 



94 CHAPITRE 11 

Les nombres X > p. et v seront encore considérés comme les composantes 
d'un segment. 

Il est clair que ce résultat pourra être interprété comme le précédent. Si 
nous prolongeons l'état de la région 1 dans la région 2, de manière que les 
dérivées secondes restent continues, il faudra opérer dans cette dernière 
région, pour passer de l'état 1 ainsi prolongé à l'état de la région 2, une 
transformation qui appartient à la catégorie étudiée au n° 57, de 
sorte que, si x'. y', z' sont les coordonnées de l'état 1 prolongé, oc, y, z, 
celles de l'état 2, on aura pour x' — x, y' — y, z' — z les formules (14) et 
analogues du n° 57, lesquels équivalent bien aux précédentes. 

Ces formules montrent que l'on a 

/2 Z-2 /2 

(41) X^a>'=-ï r Y , y-y> = ^L, *-,*' = v^. 

Elles peuvent d'ailleurs s'écrire 

= (*, P, v) {fada + f h db 4- f e dc)\ 

86. — Passons aux dérivées d'indice 1. Celles-ci seront de la forme 

Px Vz 

Zaot' '" $cTt' 

Nous appliquerons le lemme du n° 72 à la quantité ~ : nous aurons 

«> [ai-^- [&]->. fë]=^ 



et de 



(42) < L J 

Oi» ^î» vj étant un nouveau segment. 

Enfin, les discontinuités X 2 , jji 2 , v 2 éprouvées par les trois dérivées d'in- 
dice deux pourront être considérées comme les composantes d'un troisième 
segment, qui est la variation brusque de l'accélération. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 95 

L'interprétation géométrique de ce dernier segment est donc évidente par 
elle-même. Quant à celle du segment (X 4| fi lf v 4 ) on pourra l'obtenir en 
attribuant aux différents points des vitesses fictives égales aux véritables 
dans la région 1, mais telles que les dérivées partielles de leurs com- 
posantes soient continues. Ceci changerait, bien entendu, les nouvelles 
positions acquises par les points de la région 2 au bout d'un temps ot, et ce 
changement se traduirait par une déformation appartenant à la catégorie 
étudiée au n° 56. Celte déformation, étant proportionnelle à ot, aurait 
un segment caractéristique de la forme (X A Sf, \x l ot, v 4 ot), X 4 , |j^, v 4 étant 
les quantités qui figurent dans les formules (42), (42'). 

Comme précédemment, il résulte de là que les segments (X, jx, v), 
(\> f^i» v j)> ne son l P as changés lorsque l'on change d'état initial sans 
changer la fonction /(au sens précédemment expliqué), mais que dans le 
changement de forme de celle-ci, les composantes de chacun d'eux sont 
altérées dans un même rapport ( 1 ). 11 convient dès lors, comme précédem- 
ment, de prendre /"égal à la distance normale du point a, b, c à S ou, ce 
qui revient au même, de remplacer les formules précédentes par 

m-^ ---m^ ■■■■■m- ^ ■■■[&= ^ 

a, (3, y désignant encore les cosinus directeurs de la normale à S dirigée 
vers la région 2. Nous devrons également, comme dans le cas des discon- 
tinuités du premier ordre, spécifier quel est l'état initial choisi. Lorsqu'il 
n'y en aura aucun d'indiqué par la nature de la question, on prendra l'état 
actuel à l'instant considéré. 

Ici, contrairement à ce qui se passait dans le cas du premier ordre, il 
est indifférent de choisir l'état de la région 1 ou celui de la région 2. La 
déformation qui permet de passer d'un de ces états à l'autre coïncide, en 
effet, avec la déformation identique aux infiniment petits du second ordre 
près, au voisinage des points de S : il n'y a donc aucune dilatation nor- 
male en ces points, et, par conséquent, aucun changement dans la quan- 
tité / a 2 -h /; 2 + f*. 

Si on intervertissait les rôles des deux régions, les coefficients f a , fa, f c 
subiraient de simples changements de signe. Il en serait par conséquent 
de même pour A, ji } v, tandis que A 1} \t- it v d resteraient inaltérés. 



(') Ce rapport est encore égal au rapport des deux valeurs de /, s'il s'agit du 
segment (l it \x u Vj) ; mais il a une valeur égale au carré de la première pour le 
segment (X, [a, v). 



96 CHAPITRE II 



88. — Les résultais relatifs au cas de n quelconque apparaissent mainte- 
nant d'eux-mêmes. Il existera n -+- 1 segments dont le premier (X, fj., v) 
fera connaître les variations des dérivées d'indice par les formules 



(43) 



ou 



[h n oc 1 fi o n y S 



a> J p? y'"» 



[s^to] = v0 * p < ^' (p + * + r = ») 



(43') 



\ja\ da ~ h \Jb\ db + [Aj ^ C ) ^ , V ' z ) = ( 1 ^ ?> v ) ( a < /a + ^ 6 +7^)"; 

lé second (Xj, jaj, v,), les variations des dérivées d'indice 1, par les for- 
mules 

[ tosEUt ] = x ' "" ? " ■'"' [ sgjSks j = * a " ?s tc. 

[ g B >«»V8< ] =T '"P < ^ &. + j + r = n-l) 

Le A + l ième , (A ft , (A/„ v A ), donnera les variations des dérivées d'indice h 



(43") . 



et ainsi de suite jusqu'à un n -h l ième segment (X n , \t. m v„) lequel ne sera 
autre que 



[oyi pvi r^i 



L'interprétation géométrique des segments (X, p., v), (A,, jx^ v^ sera la 
même que tout à l'heure. Celle du segment (X 2J u 2 , v 2 ) s'obtiendra si, lais- 
sant inaltérées les positions et les vitesses, on corrige les accélérations des 
points de la région 2 de manière à rendre leurs dérivées d'ordre n — 2 
continues au passage de S . Il en résultera, au bout du temps infiniment 
petit ot, une déformation proportionnelle à ot 2 et dont le segment caracté- 
ristique sera (X 2 §2 2 , [a 2 o£ 2 , v 2 ol 2 ) 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 97 

On pourra opérer de même pour les segments suivants en introduisant 
les accélérations d'ordre supérieur. 

On déduira de là (ou encore de ce fait évident que les dérivées de ce, y, z 
se transforment dans un changement de coordonnées absolument comme 
ces variables elles-mêmes) que les segments précédents ne dépendent pas 
du choix des coordonnées dans l'espace (x, y, z). Ils sont indépendants du 
choix de la fonction f, puisque les formules précédentes ne contiennent 
que les cosinus directeurs de la normale à S . 

Si aucun état Initial n'est imposé en particulier par la question, on adop- 
tera encore l'état actuel à l'instant considéré, dans l'une ou dans l'autre de 
nos deux régions (ce qui est indifférent du moment que n est supérieur à 
l'unité). 

L'interversion des régions 1 et 2 changera le sens des segmenls dont 
l'indice est de même parité que n et laissera les autres inaltérés. 



g 3. — ÉTUDE DES DISCONTINUITÉS [Suite) - LÉS CONDITIONS 
DE COMPATIBILITÉ CINÉMATIQUE 



89. — Nous avons maintenant à nous demander si les relations obtenues 
jusqu'ici sont les seules auxquelles soient assujettis les éléments de nos 
discontinuités. 

Supposons que nous nous donnions arbitrairement, en chaque point 
a o' ^o> c os de S , les nombres X, ^ v; X iJ p ly v t ; ... X„, {*„, v„. Soient 
d'autre part X, Y, Z ; X 4 , Y 4 , ,Z i ; ... X n , Y n , Z n des fonctions de a, b, c 
continues partout ainsi que leurs dérivées de tous les ordres. A l'instant 
considéré t , donnons aux différents points du milieu : 

Les positions (X, Y, Z) dans la région 1, et les positions 







Ix -4- V 


Y -+- tf 


? + £) 






dans la région 2 


; 










les 


vitesses (X If 


Y 4 , Z t ) dans la région 1, et les vitesses 








(X t H- 


x/— 

(n— 1)!' 


Y + */*" 


". Z . + (» 


f" 


1)! 



dans la région 2 ; 



98 CHAPITRE II 

les accélérations (X 2 , Y 2 , Z 2 ) dans la région 1 et les accélérations 

( x , \f n ~* Y i ^f n ~* 7 i h£lL \ 

( k A 2 + ( n _2j!> Ï 2-+-( W _ 2 )!' ^ + (n-2)!7 

dans la région 2, 
etc.; 

enfin, des accélérations d'ordre n égales à(X„, Y„, Z„) dans la région 1 et à 
(X n H- X n , Y„ H- n„, Z n h- v„) dans la région 2. 

Dans les expressions précédentes, il est convenu qu'on donne àX, (jl, v, ... 
X B > .^n, v n les valeurs qu'ils ont au point (a , & 9 , c ), pied de la normale 
abaissée du point (a, b, c) sur S . 

On obtient ainsi, à l'instant t , une discontinuité d'ordre n dans laquelle 
les» segments définis plus haut ont, en chaque point de S , les valeurs 
(X, pi, v), ... (X w , fi n , v n ), lesquelles ont été prises arbitrairement. 

90- — Il reste à savoir si ce système de positions de vitesses et d'accélé- 
rations correspond bien à un mouvement satisfaisant à la condition d'im- 
pénétrabilité énoncée au n° 44 et aussi à l'hypothèse supplémentaire faite 
au n° 46. 

Or, si nous considérons deux milieux remplissant à un instant déterminé t, 
deux régions contiguës 1 et 2 de l'espace (la surface limite étant S), et si, 
les supposant entièrement indépendants Vun de Vautre, nous donnons, 
en cet instant, à leurs différents points des vitesses et des accélérations 
des divers ordres continues dans chacun des milieux, mais variant (pour 
les points de la surface de contact) lorsqu'on passe de l'un d'eux à l'autre, 
ces milieux cesseront en général, aux instants postérieurs à t, d'être 
conligus : ils se sépareront ou, au contraire se mêleront, certains 
points du milieu 1 entrant dans le milieu 2 et inversement. Pour qu'il en 
soit autrement, il faut évidemment certaines conditions : ces conditions 
que nous retrouverons plus loin, sont les suivantes : Les composantes 
normales de la vitesse et des accélérations successives doivent, pour 
chaque point de S, être les mêmes dans les deux milieux. 

Il semble donc qu'elles doivent être vérifiées dans le problème actuel. 

9| # — Nous allons voir que les choses ne se passent point ainsi. Mais 
nous avons, à cet effet, deux cas fondamentaux à distinguer : 

Ou bien la discontinuité affecte constamment les mêmes molécules, au- 
trement dit, l'équation de la surface de discontinuité ne contient pas t : 
nous dirons alors que la discontinuité est stationnaire ; 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 99 

Ou bien l'équation de la surface de discontinuité dépend du temps : elle 
doit, par conséquent, s'écrire 

(44) f(a,b,c y t) = 

et est résoluble par rapport à t, lorsque a, b, c sont donnés (du moins dans 
une certaine région). La discontinuité affecte alors des molécules diffé- 
rentes, suivant les instants où on la considère : Nous dirons qu'elle se 
propage. Nous donnerons encore à une telle discontinuité le nom d'onde. 

Les conditions, précédemment énoncées sont effectivement nécessaires 
dans le cas des discontinuités stationnaires. 

Elles ne le sont plus pour les discontinuités qui se propagent. 

92. — Cependant, les segments (X, m, v), (X 4 , fx lt vj, ... (l nj p nj v n ) ne 
peuvent pas être quelconques si nous nous plaçons, comme nous avons le 
droit de le faire, dans une région et dans un intervalle de temps où la 
surface des discontinuités reste unique. 

Supposons que l'instant t Q où nous prenons la surface de discontinuité S 
fasse partie d'un tel intervalle de temps. Dans ces conditions, nous devrons 
exprimer que cette surface est unique, non seulement pour la valeur t 
de t, mais aussi pour les autres valeurs r, tant antérieures que postérieures. 

Lorsqu'il en sera ainsi, nous dirons, avec Hugoniot, que les deux mou- 
vements qui ont lieu, à l'instant t , dans les régions 1 et 2, sont compa- 
tibles. 

Les conditions pour que deux mouvements soient compatibles varient 
avec les problèmes de dynamique que l'on a à résoudre. Mais nous allons 
constater qu'il en est de communes à tous ces problèmes : ces conditions 
sont nécessaires pour que la compatibilité soit cinématiquement possible. 

93» Cas des discontinuités stationnaires. — Considérons 

Z n oc 
tout d'abord une discontinuité stationnaire d'ordre n et soit § — ^r-^ — s-r 

ba p oo^oc r ài n 

une dérivée d'ordre n qui soit discontinue. Supposons que l'indice h soit 
différent de zéro. 

En un point (a , b , c ) de la surface de discontinuité, la quantité 



[§n -Kg. ~I 
» p * hq * r I a sa dérivée h hme par rapport au temps différente de zéro, et 

cela pour une suite continue de valeurs de t, puisque, par hypothèse, la 
discontinuité ne cesse pas de porter sur la molécule (a , 6 , c ). 

^ pftfrg? r I ne peut pas être nul, sauf pour des valeurs particu- 



100 CHAPITRE 11 

lières de t. Si nous faisons abstraction de celles-ci, nous voyons qu'une 
dérivée d'ordre n — h est discontinue, et que, par conséquent, la discon- 
tinuité est d'ordre inférieur à n, conlrairement à l'hypothèse. 

Donc enfin h doit être nul. 

Ainsi, dans une discontinuité stationnaire, les premières dérivées qui 
soient discontinues sont d'indice zéro. 

o n cc o n y o n z 
94. — Supposons, en particulier, qu'une dérivée de la forme -*— > g^» * - 

soit discontinue. Alors, d'après le raisonnement qui précède, il en sera de 
même pour une au moins des coordonnées x, y ou z. Il y aura donc dis- 
continuité absolue. Les deux portions 1 et 2 du milieu se comportent 
comme deux corps différents et glissent l'une sur l'autre en restant cons- 
tamment en contact. 

Ce sont précisément les conditions où nous nous étions placés au n°90. 
Ainsi que nous l'avons dit en cet endroit, si la vitesse, l'accélération, etc. 
sont discontinues, leurs discontinuités ne peuvent pas être quelconques. 
Il est aisé de trouver les conditions auxquelles elles doivent satisfaire (en 
admettant toujours, comme nous l'avons dit au n° 46, que les deux milieux 
partiels 1 et 2 restent en contact et ne se séparent point). 

Soit, en effet, S la surface de discontinuité considérée dans Vétat actuel, 
et soit 

(45) ? {œ, y, z,t) = 

l'équation de S. Une particule, tant de la région 1 que de la région 2, qui 
appartient à cette surface à un moment quelconque ne cessera pas (n° 48) 
d'en faire partie. On aura donc 

ô<p Bx dcp 8y ôcp ùz ôcp 

toc 37 "*" ïy 67 + ïz W + Vt ~~- ' 

Soient (x if yis z t ), (x 2 , y 2 , z 2 ) les particules situées, à l'instant t, au même 
point (a?, y, z) de S et qui font partie, l'une de la portion \, l'autre de la 
portion 2 du milieu. On pourra, dans l'équation précédente, remplacer 
x, y, z par x it y x , z t et aussi par x v y 2 , z 2 . En retranchant membre à 
membre les deux relations ainsi obtenues, il vient 

Ainsi la variation brusque de vitesse est un segment tangent à S. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 101 

Il peut arriver, à un instant particulier, que |^J> |j|J' [^J soient 

nuls. Alors, à son tour, la variation d'accélération (si elle n'est pas nulle) 
est tangente à S. C'est ce que Ton voit en différenciant deux fois l'équation 
(45), ce qui donne 

5 2 <p /8#\ 2 9 S 2 ? -gg Sy g / a 2 ? %x & a cp 8y , j 8 ? M 

ô"F 2 \^/ **" '" "*" ôa?5y 8* 87 "*" W&* St^hyM U "*" ô*ô* 8*/ 
4 ô 2 œ ôcp 8 2 a? bf S 2 */ , b? S 2 * _ n 

, + ô7 "*" Si '8* 2 + ô,y 8* 2 + 5* 8* 2 — U 

où tout est continu, sauf les termes 



5<p 


8 2 a? 
,8* 2 


+ 


ây 


8 2 y 

Si 2 


H- 


ôcp 8 2 ^ 
bjt8* 2 



L'ensemble de ceux-ci ne saurait donc varier par la discontinuité. 

Si l'accélération elle-même était continue, une conclusion analogue à la 
précédente aurait lieu pour l'accélération du troisième ordre ; et ainsi de 
suite. 

Remarquons encore qu'aucune des dérivées de ce, y, % n'est discontinue 
lorsqu'on la considère comme fonction du temps, a, b, c restant fixes; 
car alors le point (a, b, c) fait partie soit de la région 1, soit de la région 2, 
et dans chacune de celles-ci, tout est continu. 

95. Cas des ondes. — Contrairement aux premières, les disconti- 
nuités qui se propagent ne donnent jamais lieu à des discontinuités ab- 
solues. En effet, deux molécules infiniment voisines à un instant donné 
ne peuvent cesser d'être telles que par le passage de la discontinuité. Mais 
comme ce passage n'a lieu que pendant un temps infiniment petit, leurs 
positions ne seront altérées qu'infiniment peu pendant ce temps. 

Contrairement au cas des discontinuités stationnaires, les dérivées qui 
seront discontinues le seront par rapport au temps. Car une molécule déter- 
minée quelconque passera d'une des deux régions à l'autre au moment où 
elle sera atteinte par l'onde. 

Enfin, s'il y a compatibilité, il n'arrivera pas, comme dans le cas des 
discontinuités stationnaires, que les dérivées d'indice soient discontinues 
à l'exclusion des autres dérivées du même ordre. Bien au contraire, nous 
allons voir que toutes celles-ci varieront en même temps. 

96. — Occupons-nous donc d'exprimer qu'il y a compatibilité, au sens du 



102 CHAPITRE 11 

n° 9S : que les deux régions 1 et 2, dans chacune desquelles le mouvement 
sera continu, sont séparées par une surface dont la position varie avec le 
temps, mais qui est unique à chaque instant, et dont nous désignons 
l'équation par 

(44) / (a, b, c,t) = 

A cet effet, il nous sera commode d'utiliser le langage de la géométrie à 
quatre dimensions en considérant a, b, c, t comme les coordonnées d'un 
point dans un espace à quatre dimensions E 4 . 

Dans cette conception, l'espace ordinaire [lieu du point (a, b, c)] consi- 
déré à l'instant t doit être regardé comme la section de l'espace E 4 par la 
multiplicité t = const 

L'équation (44) représentera une multiplicité triplement étendue S dont 
la section par £ = const. donnera la surface de discontinuité S à l'instante. 
La multiplicité S divisera E 4 en deux régions 1 et 2 engendrées respecti- 
vement, lorsque le temps varie, par les régions 1 et 2 précédemment con- 
sidérées de l'espace ordinaire. 

L'hypothèse précédemment faite (n os 70-71) consiste en ceci que les 
quantités sur lesquelles nous opéions et leurs dérivées sont continues en 
dehors de § et sur § même, tout en pouvant être discontinues au passage 



97. — Cela étant, nous appliquerons la méthode du n° 73, non plus à la 
surface S , mais à la multiplicité § . Soit * une fonction continue sur 
cette multiplicité, mais dont les dérivées soient discontinues (toujours dans 
les conditions indiquées auxn os 70-71). On verra, comme précédemment 
que l'on doit avoir 

(**> [Ê]*+[5]*+[S]*+[8]*= o - 

moyennant l'équation différentielle de la multiplicité § , laquelle s'écrira, 

cette fois, 

(49) f a da -h f h db + f c de -f- f t dt = Q 

f t désignant la dérivée J-. . Les équations (34) peuvent donc être complétées: 
on peut écrire 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



103 



Si, maintenant, on suppose également que les dérivés de 4» jusqu'à 
l'ordre n sont continues, on aura, au lieu des proportions (35), 

lesquelles, comme précédemment, pourront se résumer dans l'identité 
(par rapport à da, db$ de, di) 

(KK [i]-+ ra^EW"* 

= \(f a da-+ f b db -h f c dc -h ftdtf 
X étant la valeur commune des rapports (51) 

98. — Supposons, comme nous en avons convenu au n° 80, que les 
dérivées / at f b , f c sont respectivement égales aux cosinus directeurs a, p, y 
de la normale à la surface S représentée à l'instant t par l'équation (44) : 
/représentant (aux infiniment petits du second ordre près) la distance nor- 
male d'un point à cette surface, mesurée sur Vètat initial adopté, et 
comptée comme positive dans la région 2. 

Soient alors f (a, b, c) le premier membre de l'équation de S , c'est-à- 
dire la fonction /"dans laquelle on ne fera pas varier t\ S' , la surface ana- 
logue à S correspondant à l'instant t -H dt. La dislance normale dn d'un 
point de S' à S (comptée comme positive dans la région 2 et comme néga- 
tive dans la région l) sera évidemment égale à la valeur de / , ou, ce qui 
revient au même, de df Q , soit 

dn = df t = f a da-\- f b db ■+■ f c dc= — f t du 

dn 
La quantité -r- est la vitesse de propagation de l'onde, mesurée sur 

l'état initial considéré. Nous la désignerons par la lettre G ; de sorte qu'on 
aura 

(52) e=-A 

Elle est positive ou négative, suivant que la propagation se fait de la 
région 1 vers la région 2 ou en sens inverse. 

Si / représente le premier membre de l'équation de § prise sous une 



104 CHAPITRE II 

forme quelconque, il faudra, pour obtenir les cosinus directeurs a, (3, y, 
diviser les coefficients de (49) par \J f^ -h / 6 2 -h / c 2 . On aura donc alors 

(52') 6 = 7= — ~- f - 

le radical étant toujours pris avec le signe de /"dans la région 2. 

99. — Grâce à la présence de ce radical, la vitesse 8 dépend du choix de 
l'état initial et, lorsque l'on change celui-ci, elle est altérée évidemment 
dans le même rapport que les distances normales à la surface de discon- 
tinuité. 

Comme précédemment, nous prendrons le plus souvent, pour état 
initial, l'état actuel à l'instant considéré, en spécifiant, dans le cas du 
premier ordre, qu'il s'agit de l'état de la région 1. 

100. — En même temps que la vitesse de propagation, on peut avoir à 
introduire la vitesse de déplacement de l'onde, c'est-à-dire la vitesse avec 
laquelle se meut la surface de discontinuité considérée dans l 'espace 
actuel. 

Soient 

(45) 9 (a>, y, z,t) = 

l'équation de cette surface (cp étant la valeur que prend / lorsqu'on rem- 
place a, b, c par leurs valeurs tirées des équations (l'j ) ; S, sa position à 
l'instant t\ S', sa position à l'inslant t -+- db. La vitesse de déplacement, 
que nous désignerons par T, sera le quotient par dt de la dislance normale 
des surfaces S, S' (avec la même convention de signe que tout à l'heure)* 
Le raisonnement présenté ci-dessus donne évidemment pour valeur de 
cette vitesse 



(53) 



v/fëMS)'-® 



La vitpsse T est distincte de la vitesse de propagation, même lorsque 
celle-ci est comptée sur un élat initial identique à l'état actuel à l'instant t. 
Dans ce cas, en effet, S coïncide avec S; mais S' ne coïncide pas avec S'. 
S' est le lieu des positions qu'occupent, à l'instant t, les particules qui, à 
l'instant t -+- dt, forment la surface S'. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 



105 



Il est d'ailleurs aisé de trouver la relation qui existe entre les deux vi- 
tesses. Supposons, en effet, pour simplifier, / choisi de manière à ce que 
fa> fb, A soient égaux aux cosinus directeurs a, (4, y de la normale à S e 
(c'est-à-dire à S) 



Ces Cosinus directeurs seront aussi égaux à 



b© 



ô* 



à l'instant t, puis- 



ô© 

toc ' ty '' 
qu'alors x, y, z ne sont autres que a, b, c. On aura - 

Or © n'est autre que /, exprimée à l'aide des variables x, y, z, t et, par 
conséquent, — n'est autre que la dérivée ~-, liée à -J- = / ( par la rela- 
tion (18). On a donc 

(54) T = -(/,-„g-*2- w g) = e + B „ 

v n désignant la composante normale à S, de la vitesse (u, i\ w) au point 
et à l'instant considérés. 

On arriverait d'ailleurs au même résultat en appliquant le théorème de 
la composition des mouvements. Le mouvement de S dans l'espace peut en 
effet être considéré comme résultant : 1° de son mouvement relatif par rapport 
au milieu, lequel, s'il agissait seul pendant le temps dt, amènerait S à la 
position S' et qui n'est autre que la propagation de l'onde; 2° de son 
mouvement d'entraînement, qui est le mouvement même du milieu. La 
vitesse normale T est donc la somme des vitesses normales de ces deux 
mouvements, lesquelles sont précisément G et v n . 

100 bis . — Les formules (52'), (53) sont d'ailleurs susceptibles d'une 
interprétation géométrique qui nous apparaîtra plus clairement si nous 
considérons d'abord des mouvements à deux dimensions. 

Envisageons un mouvement ayant lieu dans un plan, de sorte qu'il n'y 
ait que deux coordonnées initiales a, b et deux coordonnées actuelles x, y. 
Les discontinuités que nous considérons auront alors lieu suivant des 
courbes dont la position, à un instant quelconque t Qt sera représentée, 
sur l'état initial, par S (fig. 7). 

Nous pourrons prendre comme troisième coordonnée le temps t, 
l'axe des t étant pris vertical et les coordonnées horizontales étant a, b. La 
multiplicité § qui représente la marche de l'onde suivant une convention 
analogue à celle du n°96, sera ici une surface {fig. 7) [dont la section S' 
par un plan horizontal quelconque t = t' donnera la nouvelle position de 
l'onde à l'instant correspondant. Il ne restera plus qu'à représenter cette 



p - 



406 CHAPITRE II 

courbe sur le même plan où est figuré S , ce qui se fera évidemment en la 

projetant horizontalement sur ce plan en s' (Jîg. 7). 

Si t' est infiniment voisin 

^ 1 de t , le déplacement normal dn 

■ \ «. \ <= de l'onde sera figuré par la dis- 

\ jvi s g \o 

\ ^ — iC" -*\ tance normale Mm' (/?<7. 7) des 

f\ f ^~ !*"X" & | \ 7 courbes S , s' . Comme d'ail- 

/ j\ ... - — rf"""--A -J\j l eurs rf* n est autre que la dis- 

/ \^ — " _ S ° / tance du point m' au point M' 

de S' dont il est la projection, 
*& on voit que la vitesse de pro- 

pagation -ttt n'est autre que la limite de 1 %vmi , c'est-à-dire que ïinverse de 

la pente de la surface S par rapport au plan horizontal (ou que la co- 
tangente de l'angle que font cette surface et ce plan). 

Or les formules de la Géométrie analytique donnent précisément, pour la 
quantité ainsi obtenue, une expression tout analogue a (52'). 

Si l'on avait pris comme coordonnées horizontales les coordonnées 
actuelles x, y, c'est-à-dire si l'on avait construit non plus S » ma ^ s S> ^ m " 
verse de la pente de cette dernière aurait donné la vitesse de déplacement 
sous une forme analogue à (53). 

Il est clair que ces considérations s'étendent d'elles-mêmes aux mouve- 
ments dans l'espace, sans autre difficulté que l'introduction de la géométrie 
à quatre dimensions, et qu'on retrouve ainsi les formules (52'), (53) telles 
que nous les avons écrites. 

Il nous arrivera, dans la suite, d'employer les figures relatives aux mou- 
vements plans (telles que la flg. 7) pour représenler les raisonnements 
que nous ferons sur les mouvements dans l'espace (de sorte que, parlant, 
dans le texte, d'une surface^, nous tracerons sur la figure une courbe S ; 
et ainsi de suite). 

10t. — Comme précédemment, nous traiterons à part les discontinuités 
du premier et du second ordre. 

Pour le premier ordre, x est continu, mais non ses dérivées : nous écri- 
rons donc (n° 97). 

La valeur commune des trois premiers rapports étant X (dans le système 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINÉMATIQUE 107 

Sa? 
de notations du n° 77) pendant que la variation de Nrr est désignée par X 4 , 

il vient 

(55) \ = - ex. 

De même 



(55') 






Ainsi, les deux segments (X, {x, v), (X 1? (jt t , vj o/z£ Ja même direction. 
Leur rapport est égal au signe près à la vitesse de propagation 0. 

102. — Cette relation subsiste quel que soit Télat initial adopté, mais 
pendant que X,, (jt t , vj seront indépendants de cet état initial, le choix de 
celui-ci influera au contraire sur X, fj., v et 8. Si l'on choisit l'état actuel de 
la région 1 ou celui de la région 2, la quantité 6 aura, ici, deux valeurs en 
général différentes 6j et 6 2 dont le rapport est égal à la dilatation normale 
1 -h Xa -+- fxfi -h v-f. 

En raison de cette circonstance, il y a souvent avantage à introduire, 
pour une discontinuité du premier ordre, la vitesse de déplacement T, 
laquelle est indépendante du choix de l'état initial. Cette vitesse est liée 
à 9j et à 6 2 par la formule (54), dans laquelle v„ qui est, en général, affecté 
par la discontinuité, a deux valeurs différentes i\ n et v 2n . On a 

(.56) T = 6 t -h v xn = 6 2 h- v 2n 

103. — Soit maintenant une discontinuité du second ordre. Notre 
Iemme, appliqué à la quantité x qui est continue ainsi que ses dérivées pre- 
mières, nous donne 



eh= ■-=[&}--=• =m 



e 2 . 



s-, j I: a 2 , ainsi que tous les rapports analogues relatifs 
aux dérivées d'indice zéro, est égal à X (n° 85). De même, nous avons posé 

[»] : '■ = [mi\ : t. =* [IrJ : t = x < 



108 




CHAPITRE 11 


et 




[&]=>■• 


Donc 






(57) 




>-à-îî' 


Comme on 


a pareillement 




(57') 


: j 


— _ e — e 2 ' 



les trois segments (X, jx, v), (X t , f* 4 , vj, (X 2 , fx 2 , v 2 ) son* cte même direction 
et en progression géométrique, la raison de cette progression étant — 
Les proportions précédentes peuvent d'ailleurs s'écrire 



2 
X 



([fcJ*H»]*4s]'* + fê]*) 

= X (<xda -h $db -h -(de — Qdt)*, 

([i>-^[i]*-[i]^B]^ 

= jx (acte H- pc?6 -h -(de — 0^) 2 , 

([s] <* a + [À] <* 6 + [â] dc + [al] d 'J * 

= v (ada H- p^6 -h -(de — 6c?*) 2 . 

Ces considérations se généralisent d'elles-mêmes. Pour n quelconque, 

les n -h 1 segments (X, n, v), (X t , [x n v,).., (X n , fx„, v n ) ont la même direc- 
tion et forment une progression géométrique dont la raison est égale, au 
signe près, à la vitesse de propagation :,on a 

Xj_ Xfr X w 

— __-0 (_ e)» (— 0)» 

(58) N {X _ — ( -— ^ p-^- 



l ' — — (-e)' 4 (— e ) n 

Ces relations sont vraies, pour tout choix de l'état initial, bien que celui- 
ci influe sur les valeurs des quantités qui y figurent. Bien entendu, pour 



LES ONDES AU POINT DE VUE C1NEMAT1QUK J 09 

les ordres supérieurs à l'unité, il est inutile, lorsqu'on prend pour élat 
initial l'état actuel, de spécifier s'il s'agit de l'état 1 ou de l'état 2. Si on 
intervertissait l'ordre des deux régions, subirait un simple changement 
de signe. 

104. — Le cas des discontinuités stationnaires correspond évidemment 
à = 0. Or si, dans les formules (58), on annule 0, il vient X A = p A = v/, = 
(pour h >• I), On retombe donc bien sur le résultat obtenu au n° 93 : 
Dans une discontinuité stationnaire d'ordre n, les seules dérivées d'ordre 
n qui soient discontinues sont d'indice zéro. 

105. — Le cas où les relations (58) sont vérifiées semble au premier 
abord beaucoup plus particulier que celui où les segments (à a , \x h , v h ) sont 
quelconques. Cependant, il résulte de ce qui précède que la compatibilité 
doit être regardée comme la règle, et le cas contraire comme l'exception. 
Si, en effet, il n'y a pas compatibilité, la surface de discontinuité ne peut 
pas rester unique, elle se dédouble tout au moins en deux feuillets qui 
étaient séparés avant l'instant t et le sont de nouveau après. La disconti- 
nuité sans compatibilité qui existe à l'instant t doit donc être regardée 
comme étant en réalité la superposition de deux ou plusieurs autres dont 
les surfaces d'onde coïncident momentanément ( 1 ). On ne saurait supposer 
que l'absence de compatibilité ait lieu une infinité de fois dans un inter- 
valle de temps fini, car alors les surfaces de discontinuité, se dédoublant 
une infinité de fois, ne seraient pas isolées. 

106. — H y a donc lieu, dorénavant, d'admettre, sauf indication con- 
traire, que les n -h 1 segments ont entre eux les relations (58). 11 en 
résulte, en particulier, qu'une discontinuité est entièrement définie, en 
chaque point de la surface d'onde, par un segment : le segment (X, ja, v) 
qui correspond aux dérivées d'indice 0, et un nombre : la vitesse de propa- 
gation. 

107. — Ce segment et ce nombre peuvent d'ailleurs être quelconques : 
autrement dit, les équations (58) donnent bien, cette fois, toutes les rela- 



(!) Un tel fait est d'ailleurs tout à fait exceptionnel : lorsque deux discontinuités 
se propagent indépendamment l'une de l'autre, elles ne se rencontrent, en général, 
que suivant une ligne, sans que les surfaces d'onde coïncident à aucun moment. 
(Voir chap. vu). 



HO CHAPITRE II 

lions qui existent, dans une discontinuité d'ordre n, entre les variations 
des dérivées de cet ordre, lorsqu'on ne connaît rien sur la nature dynamique 
du mouvement. 

Donnons nous, en effet, arbitrairement l'équation (44) de § : nous 
pourrons évidemment la choisir de manière qu'à un instant déterminé, 
S ait une position donnée et ô une valeur donnée en chaque point. Don- 
nons-nous aussi arbitrairement, en tout point de S et même de § , le 
segment (X, [x, v). Soient en tin X, Y, Z des fonctions de a, b, c, t continues 
ainsi que leurs dérivées de tous les ordres. Les équations 

x — X, y '• = Y, z = Z, dans la région 1 

^ = y + „ y«M.<)r dans la région 2 

n ! ! 

définissent un mouvement (et non plus seulement un système de vitesses 
et d'accélérations, comme au n° 89) présentant une discontinuité d'ordre n 
dont les éléments sont bien ceux que nous nous étions donnés. 

Nous voyons bien d'ailleurs pourquoi le mouvement ainsi défini ne cesse 
pas de vérifier les hypothèses générales des n os 44-46, quoi qu'il ne 
satisfasse pas aux conditions du n° 90. La raison en est la même que celle 
pour laquelle, comme nous l'avons vu au n° 95, les discontinuités qui se 
propagent ne donnent pas lieu à des discontinuités absolues. La continuité 
des vitesses ou des accélérations cesse, pour une particule quelconque, au 
moment où elle est atteinte par l'onde; mais elle ne cesse que pendant un 
temps infiniment petit et se rétablit ensuite, de sorte que la continuité 
du mouvement n'en est pas troublée. 

108. — Dans le cas où il n'y a pas compatibilité, la discontinuité 
d'ordre n se divise, en général, en discontinuités partielles qui sont égale- 
ment d'ordre n (les segments (X A , \i h , v ft ) relatifs à celles-ci ayant, pour 
chaque valeur de h, une somme géométrique égale au segment analogue 
correspondant à la discontinuité primitive). 

Mais il est à remarquer que d'autres hypothèses sont possibles. Par 
exemple, une discontinuité d'ordre n peut se dédoubler en discontinuités 
d'ordre supérieur à n : une discontinuité qui porte sur les vitesses peut 
être remplacée par deux autres qui ne portent que sur les accélérations. 




LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE i il 

Pour nous en rendre compte, considérons, pour simplifier, un mouve- 
ment effectué suivant l'axe des abscisses, chaque point de l'état initial étant 
défini par une seule coordonnée a et sa position 
actuelle, par une seule coordonnée x. La variation 
de a; en fonction de a et de «.pourra alors être repré- 
sentée par une surface. 

Supposons que cette surface se compose de deux 
demi-plans formant un dièdre : nous aurons ainsi p[g, 3 

une discontinuité du premier ordre. 

Par un point S de l'arête du dièdre (correspondant à une valeur a de a 
et à une valeur t de t), menons deux droites SA, SB, dans les deux faces 
(fig. 8) et relions ces deux droites par une nappe conique tangente, suivant 
ces deux génératrices, aux deux faces du dièdre. Nous pourrons alors sup- 
primer les portions de celles ci comprises entre les deux droites et la portion 
de l'arête (fig. 8) qui correspond à t >> t , pour les remplacer par la nappe 
conique, et nous aurons ainsi un mouvement présentant, pour t = t , une 
discontinuité d'ordre 1 et, pour t >> £ , deux discontinuités d'ordre 2. 

109. — Revenant au cas de la compatibilité, nous allons nous proposer 
de calculer les variations subies par les principaux éléments considérés 
dans la première partie de ce chapitre. 

Densité. — Pour l'étude de la densité, nous supposerons qu'on a pris 
l'état actuel pour état initial. 

Considérons d'abord une onde du premier ordre : nous savons que la 
déformation de l'état 2 par rapport à l'état 1 appartient à la catégorie 
étudiée au n° 56, et nous avons appris à évaluer la dilatation normale, égale 

au rapport " des densités. Cette dilatation s'obtient en ajoutant l'unité 

Pa 
à la composante normale Xa -+- p$ -+- vy de la discontinuité (*), supposée 
rapportée à l'état 1 du milieu : ainsi on a 

(60) & = 1 -+- Xa -+- ,1? H- vy. 

P2 

Cette expression peut se transformer de diverses manières en ayant égard 
aux relations indiquées aux n os 101-1 OS. Tout d'abord, en multipliant 



(*) C'est-à-dire du segment qui, joint au nombre 8, définit la discontinuité, ainsi 
que nous venons de le voir. 



H2 CHAPITRE II 

la composante normale de la discontinuité par — 0, nous obtiendrons celle 
de la variation de vitesse. Donc 

(61) Êi = l — M. 

p 2 

Dans cette formule, v n désigne la composante normale de la vitesse et 
doit recevoir la valeur 8 1# On obtiendra évidemment la même valeur 

pour °* en changeant le signe de [> n ] et remplaçant 4 par 2 , ^ par ^ : 

°2 Pa Pi 

C'est ce que l'on vérifierait sans difficulté à l'aide des relations précédem- 
ment établies (n° 84). 

D'autre part, nous avons vu que la dilatation normale est égale au 
rapport des deux vitesses t et 2 . Si nous tirons celles-ci de la double 
égalité (56), il vient 



(62) 

ou si l'on veut 

(610 



p 2 e i T- Vl 



p 2 'V-v in e 4 




1 lO. On démontrerait directement le même fait en considérant la portion 

d'espace comprise à l'intérieur d'un petit 
cylindre dont les deux bases C, G' sont 
respectivement situées dans deux posi- 
tions successives S, S' (fig. 9), occupées 
par la surface d'onde aux instants t et 
t + dt et dont le volume est Cîdt. 
Cette portion d'espace passe (') de 
l'état 2 à l'état t pendant le temps dt. 

Or, le volume entrant par la face C, sous l'état 1, a pour expression Gv in dt 
et le volume sortant par la face C, sous l'état 2, est égal à Cv 2n dt. Quant au 
volume entrant ou sortant par les faces latérales, il est négligeable, si nous 

supposons, comme nous avons le droit de le faire, que le rapport -~ soit infini- 
ment petit. 

En écrivant que le volume de la partie restante varie dans un rapport 
inverse de celui des densités, on retombera sur la relation (62). 



( 4 ) Nous supposons, pour fixer les idées, la vitesse 8 positive, ainsi que v ln , v % 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINÉMATIQUE H3 

fil. — Dans les discontinuilés d'ordre supérieur, la variation brusque 
ne porte pas sur la densité elle-même, mais seulement sur ses dérivées 

d'ordre n — 1 (si l'onde considérée est d'ordre ri). La quantité log ^ étant 

P 

continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n — 2 inclusivement, il 
existera un nombre x tel que l'on ait 



[" fr-log& l xtf 



(63) | _I___1_P_ = * «* P« -r (— 6 )"- 

[ja? 862 8c r ît h J 

Pour évaluer x, nous pourrons nous borner à considérer les dérivées 
d'indice zéro. Si nous prenons pour état initial celui de la région 1, la quan- 
tité log i-2 sera identiquement nulle dans oelte région. Mais d'autre part, la 
déformation de la région 2 par rapport à la région 1 ayant les propriétés 

étudiées au n° 59, la valeur de ^_p_ dans la région 2 sera donnée 

Sa? S&2 8c r 
par la formule (17). On a donc 



(64) x = Xa -+- jxf ■+- vy. 

Comme p est, en général, continu ainsi < 
avons ainsi la variation des dérivées de log 



Comme p est, en général, continu ainsi que toutes ses dérivées, nous 

1 # 
?' 

Il i bis _ Q n pourrait d'ailleurs partir également des dérivées d'indice 
non nul en utilisant la formule (20). Pour n = 2, celle-ci donne 



K)= 



bu ôw tao 
oo? Sy ôj 



, , , ,, . lu Iv hv S 2 # Ihj Z 2 z 

Le second membre peut s écrire 5 + ^ + ^=^+ ^ + ^ 

si a, 6, c coïncident avec a?, y, z ( ! ) : on retombe donc bien sur la formule 
(64). On généraliserait d'ailleurs au cas de n quelconque en différenciant 
un nombre de fois suffisant la formule (20). 

Si l'on voulait le changement de densité, la discontinuité étant rapportée 



(i) Cette transformation est applicable dans les deux régions, quoique l'état initial 
soit celui de la région 1, grâce â ce fait qu'elle n'introduit qu'une différentiation 
par rapport à a, b, c. 



H 4 CHAPITRE II 

à un état initial quelconque, il faudrait bien entendu, transformer les for- 
mules que nous venons de trouver, à l'aide des principes précédemment 
établis. 

112. — Composantes de déformation. — Plus généralement, cherchons 
l'influence d'une discontinuité sur le3 composante de déformation (7) 
(n° 51). Nous allons,. cette fois, ne taire aucune hypothèse sur le choix de 
l'état initial. 

Soient encore x 1 ', y', z' les coordonnées correspondant à l'état de la 
région 1 prolongé dans la région 2. Prenons d'abord n = 1 : on aura, aux 
infiniment petits du second ordre près, 

x = x' 4- If y = y'-\-iif, z = z' 4- v/ 
et par conséquent 

dx* 4- dy* 4- dz 2 = {dx' 4- Uff 4- (dy' 4- \idff 4- {dz' 4- vrf/ 1 ) 2 

= dx 12 4- cty' 2 4- ds' 2 4- 2df{\dx' -+- {xrft/' 4- vd*') 

4- (À 2 4- ^ 4- v 2 ) d/ 2 
= dï' 2 4- cfy' 2 4- ete' 2 

4- 2 {f a da 4- /W 4- /'crfc) (kdx' 4- fjioty' 4- vête') 
4- (X 2 4-^4- v 2 ) (jr a rffl 4- f b db 4- /^c) 2 . 

Les variations subies par les composantes de déformation sont donc les 
demi coefficients du polynôme 

2 {f a da 4- f b db 4- /^c) (Xefa/ 4- n<fy' 4- vote') 



(65) 4- (X 2 4-^4- v 2 ) (f a da 4- fadb 4- /êdc).» 



113. — Mais les résultats prennent ici une forme beaucoup plus simple 
pour n >» 1. Ce ne sont plus alors les composantes de déformation, mais 
leurs dérivées d'ordre n — 1 qui sont discontinues. Prenons toujours le 
cas le plus important, celui de n = 2, dans lequel 

, , Xf 2 



d'où 
(66) 



y 


= y' 


+S 


z 


= z' 


^ 


dùC : 


=r.dx' 


4- Ifdf 


dy- 


= dy' 


+.tfdf 


dz - 


= dz' 


+ "W 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE H 5 

en négligeant des termes qui contiennent f 2 en facteur. La simplification 
résulte de ce que, en élevant au carré et ajoutant, on peut négliger les 
carrés de "kfdf, v-fdf, vfdf : on obtient : 

dx 2 -h dy 2 -h dz 2 = dx' 2 h- dy' 2 -h dz' 2 -h 2fdf{\dx' -+- pdy' -+- ydz') 

de sorte que les variations de z %i e 2 , e 3 , Yi> Y2» Ï3 son ^ ^ es coefficients du 
polynôme quadratique fdf (kdx' ■+■ [idy' -h vdz'). 

Désignons, comme au n° 47, par a lf b it c i ; « 2 , b 2i c 2 ; a 3 , £ 3 , c 3 les dé- 
rivées premières de #, y, z par rapport à a, b, c : ces dérivées coïncident 
avec celles de x', y', z' en tout point de la surface d'onde, puisque la dis- 
continuité est du second ordre, et l'on a 

(67) ^dx' -h y-dy' H- vdz' = Lda ■+- Mdô -+- Ndc 

avec 

(67') L = la i -h [xa 2 -+- va 3 , M = lb t -H jxô 2 -h vb 3) N = Xc, -f- nc 2 -+- vc 3 . 

rf/ étant égal à /"«cfo H- f b db -H / c c?c, les quantités dont varient e lf e 2 , e 3 , 
Yt» Ta» Ï3 dans ^ e passage de l'état 1 prolongé à l'état 2, sont (toujours aux 
termes près de l'ordre de f*) 

Enfin, pétant nul sur S et ayant pour dérivées partielles /* a , /a, f Ci ort 
obtient 



(69) 



416 CHAPITRE H 

résultat que l'on vérifierait, bien entendu, sans difficulté à l'aide des for- 
mules (40), (40'). 
Si la discontinuité était d'ordre n, il faudrait, dans les formules (66) et, 

fn-l 

par conséquent, dans les formules (68), remplacer /"par ,-' — r-ry, et les 
formules (69) seraient remplacées par 

[rafe] : v'f*u = V.. [wwt] : Vf*'-' = * r ° + ^ 



Nous n'avons écrit que les formules relatives aux dérivées par rapport 
à a, b, c; mais nous pouvons évidemment en déduire les variations de 
toutes les autres dérivées d'ordre n — 1, le lemme du n° 97 étant appli- 
cable à 64, e 2 , e 3 , Yj, Yw Ta- 

On pourrait, des formules précédentes, déduire la variation de la densité 
(dans le cas du premier ordre) ou de ses dérivées, puisque la dilatation est 
une fonction des composantes de déformation. 

1 13 bis . — Même lorsque la discontinuité est du premier ordre, le résul- 
tat est tout semblable à celui que nous venons d'écrire, si cette discontinuité 
est très petite, de manière qu'on puisse négliger les carrés de X, p, v. Le 
polynôme (65) se réduit alors à sa partie linéaire par rapport à ces trois 
quantités et il vient (en tenant compte de (67)) 

(Q9) { M = Va, M = M/i, [6 3 ] = N/„ 

^ } \ M = M/ e -+- N/i, [ Yl ] = Nf a -+■ Lf e , [ Y ,] = LA + M/ a . 

114. Rotation moléculaire. — Soit une discontinuité du second ordre : 
prenons pour état initial l'état actuel en supposant toujours que f a> f b , f c 
sont égaux aux cosinus directeurs a, (3, y de la normale à l'onde. Les 
composantes 

1 /dW bl>\ 

p — 2 \ ôy -~ *zj 

'ut, 

& 

1 hv_ bu\ 

r -~2W ï>y) 

de la rotation moléculaire s'écrivent ici 



2 \i 



2\hbSt Mtr 2\Bcot îaU)' 2\IàM ïbltj 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 117 

Sa variation sera donc d'après nos formules 

(70) [p] = | (n Y - v(3), j0 = | (va - X Y ), [r] = \ (Xp - jxa). 

L'interprétation géométrique de ces expressions est bien connue : si l'on 
mène, avec le point considéré comme origine, le segment (X, ja, v) qui 
caractérise la discontinuité et d'autre part, un segment normal à l'onde et 

de grandeur ^ , la variation de rotation moléculaire est égale au moment 

d'un de ces segments par rapport à V extrémité de Vautre, 

Ou, si Ton veut, la variation de rotation moléculaire s'obtient en fai- 
sant tourner d'un angle droit, dans le plan tangent à Vonde la projec- 

ft 

tion du segment (X, ji, v) sur ce plan, et la multipliant par ^ 

On voit que la variation de rotation moléculaire est toujours un 
segment tangent à la surface de discontinuité. 

Il est clair qu'on écrirait sans difficulté des formules analogues à (70), 
pour les variations des dérivées de p, q, r dans les discontinuités d'ordre 
supérieur à 2. 

115. — La direction d'une discontinuité est celle du segment (X, fjt, v) 
qui la caractérise, direction que nous savons être aussi celle des segments 
\, pi, v 4 ), ... (X„, |x n , v n ). 

Si cette direction est normale à la surface d'onde S, considérée dans 
Vélat actuel, la discontinuité sera dite longitudinale ; si elle lui est tangente, 
la discontinuité sera dite transversale. 

Il résulte des formules obtenues ci-dessus qu'une discontinuité longitu- 
dinale est sans influence sur la rotation moléculaire et qu'une disconti- 
nuité transversale est sans influence sur la densité, 

116. Signe d'une discontinuité. — Etant donnée une discontinuité 
d'ordre quelconque ayant lieu à l'instant t, imaginons qu'à partir de cet 
instant, chaque molécule continue à se mouvoir avec la même vitesse et la 
même accélération initiales, autrement dit, qu'on rende ces vitesses et 
ces accélérations continues par rapport au temps. 

Comme il a été remarqué au n°jj90, le mouvement fictif ainsi obtenu 
ne vérifierait plus, en général, les hypothèses énoncées aux n 0B 44-46. 
Ou bien les deux milieux partiels 1 et 2 pénétreraient l'un dans l'autre ; ou 



H 8 CHAPITRE 11 

bien, au contraire, ils s'écarteraient l'un de l'autre et cesseraient d'être 
contigus. 

Dans le premier cas, la discontinuité considérée sera dite positive ou 
comprimante; dans le second, négative ou dilatante. 

D'après cette définition, le signe d'une discontinuité n'est pas modifié 
lorsqu'on intervertit les rôles des deux régions qu'elle sépare. Il changerait 
si l'on renversait le mouvement, c'est-à-dire si l'on substituait les instants 
antérieurs aux inslants postérieurs et inversement (ce qui revient à changer 
le signe de t dans les équations du mouvement). 

Il est évident, d'après ce que nous avons dit au n° 94, que le signe en 
question est lié au sens de la différence qui existe entre les deux valeurs 
de la composante normale de la vitesse ou de l'une des accélérations suc- 
cessives. Pour obtenir la forme exacte de cette relation, il suffit de reprendre 
les raisonnements présentés en cet endroit. 

Soient Sj, la surface limite du miiieu 1 (laquelle coïncide à l'instant 
donné t avec la surface de discontinuité S) dans notre mouvement fictif, 
( x n V\i z ù un quelconque de ses points ; 

(71) ?fe,yi.*i,*)==0 
son équation. 

Convenons, pour fixer les idées, que le milieu 1 sera situé, par rapport à 
cette surface, du côté <o < 0. 

Soient encore S 2 la surface limite du milieu 2 ; (œ. 2 , y. 2 , z 2 ) celui de ses 
points qui, à l'instant t , coïncide avec (œ iy y lf z t ) f ce point étant égale- 
ment supposé animé de notre mouvement fictif. Il y aura pénétration des 
deux milieux, si l'on a, pour t = t Q -h e, 

(72) •,(».. 2/ 2 . *.. 0<-0. 

Il suffit, pour cela, que la dérivée du premier membre, si elle ne s'annule 
pas pour.* = t 0f soit négative. Gomme le premier membre de l'équation (71) 
est supposé identiquement nul, ceci donne (comparer l'équation (46)) 

Mais © étant supposé négatif du côté de la région 1, -2., _2, Ë? 0D ( l es 

ri i>x ï>y dz 

signes des cosinus directeurs de la normale à S dirigée vers la région 2 : 
donc l'inégalité (73) exprime que, dans le passage de la région 1 à ta 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINÉMATIQUE 119 

région 2, la composante normale de la vitesse augmente d'un segment 
dirigé vers la région 1 . 

Si au contraire le changement de composante normale de la vitesse a 
lieu vers la région 2 quand on entre dans cette dernière région, la quantité 
<?(a? 2 , y 2 , z 2 , t) sera positive à l'instant t Q -h e, et par conséquent le point 
(^2» 2/a» z ù sera extérieur à la nouvelle position occupée par le milieu 1 à 
cet instant. En un mot, la discontinuité sera dilatante. 

Si maintenant, la composante normale de la vitesse restant continue, 
l'inégalité (73) est remplacée par une égalité, il faudra exprimer que la 
dérivée seconde de y{oc. 2 , y. v z 2 , t) est négative. A cet effet, on n'aura, 
comme au n° 94, qu'à difîérentier deux fois l'équation (71) et l'iné- 
galité (72). Dans le cas où la vitesse elle-même (et non plus seulement sa 
composante normale) est continue, on obtient ainsi évidemment (com- 
parer l'équation (47)), pour une discontinuité comprimante, 






et, pour une discontinuité dilatante, 



ôcp 



Celles-ci expriment les mêmes conditions que tout à l'heure, sauf que la 
vitesse est remplacée par l'accélération. 

Si cette dernière, à son tour, était continue, il suffirait de la remplacer 
par l'accélération du troisième ordre ; et ainsi de suite. 

Il T. — Les considérations précédentes subsistent (ainsi qu'il nous est 
utile, pour la suite, de le remarquer) qu'il y ait ou non compatibilité. 

Il n'y a, bien entendu, pas lieu de parler des discontinuités slationnaires, 
qui, d'après ce qui précède, ne sont ni comprimantes, ni dilatantes. 

S'il y a compatibilité, on peut donner au résultat une forme un peu 
différente. 

Prenons, pour fixer les idées, le cas du [premier ordre : la différence des 
deux vitesses normales est égalera — 6, multiplié par la composante nor- 
male du segment (X, p, v). Or cette dernière est égale à *— — 1. 

Pa 

Donc, la discontinuité est dilatante ou comprimante, suivant que la pro- 



120 CHAPITRE II 

pagation se fait vers la région la plus dense ou vers la région la moins 



Dans une discontinuité du second ordre, ce n'est plus la vitesse, mais 
l'accélération qui est discontinue. De même, si la discontinuité est d'ordre n, 
elle portera seulement sur l'accélération d'ordre n et son signe dépendra par 
conséquent, de celui qu'aura la composante normale du segment (X n , n n , v„). 

D'autre part, considérons les dérivées successives de la densité par rapport 
au temps. Les n — 2 premières d'entre elles sont continues : pour la 
n _ ièm B) on a ( n o fff) 

t8»- 1 logi H 
ft»-i p j = ( Xa + rt h- *y) (- e)"" 1 

ce qui, d'après les formules (58), peut s'écrire 



fc£] 



1 



La discontinuité sera comprimante si la parenthèse du second membre 
est négative, c'ést-à-dire si la propagation se fait vers la région où la 
dérivée n — l ènxe de la dilatation par rapport au temps est la plus 
grande. 

118. — On peut rattacher aux considérations précédentes certaines 
remarques simples relatives au dédoublement d'une discontinuité. 

Considérons, par exemple, une discontinuité du premier ordre compri- 
mante. Supposons qu'il n'y ait pas compatibilité, mais que le dédoublement 
ait lieu en deux ondes seulement, et que, de plus, ces deux ondes se pro- 
pagent en sens inverses. Il est clair que l'une au moins d'entre elles devra 
être comprimante. Pour celle-ci, la propagation se fera vers la région la 
moins dense et, par conséquent, Vètat intermédiaire qui prendra nais- 
sance entre les deux ondes sera plus condensé que Vun au moins des deux 
premiers. 

Il sera, au contraire, moins condensé que l'un au moins d'entre eux si la 
discontinuité donnée est dilatante. 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 121 



§ 4. — ÉTUDE DES DISCONTINUITÉS (Suite) 
CONDITIONS DE COMPATIBILITÉ D'ORDRE SUPÉRIEUR 



119. — Nous avons, dans ce qui précède, étudié une discontinuité 
d'ordre n au point de vue de ses effets sur les dérivées d'ordre n. Quelles 
relations cette discontinuité entraîne-t-elle entre les variations des dérivées 
d'ordre supérieur à n (en supposant que celles-ci prennent, comme les 
premières, des valeurs déterminées de chaque côté de l'onde) ? 

Ces relations sont notablement plus compliquées que les premières. Nous 
ne les formerons que dans les cas les plus simples. 

Considérons une discontinuité du premier ordre et introduisons les 
dérivées secondes. Nous avons trouvé, pour les conditions qui regardent la 
variable x 

m [|]=v«. [tf]=^ [g=*. 

<M) [I] = V 

dont les trois premières proviennent des conditions identiques, la dernière 
des conditions cinématiques de compatibilité. 

Nous supposerons, pour fixer les idées, que /"représente (rigoureusement 
cette fois) la distance du point a, b, c h S . Dans ces conditions, nouspou- 

SY §2/* gz/" 
vons remarquer que ^ » g-rv -.* <r4-,, dérivées par rapport au temps des 

cosinus directeurs de la normale à la surface /*= const. seront connues lors- 
que f t sera donné sur toute cette surface. Il- en sera dé même, bien entendu, 
des dérivées secondes de /"par rapport à a, b, c. Toutes ces quantités seront 
donc connues lorsqu'on donnera S et les premiers membres des équations 
(36), (74). 
Nous composerons avec elles les formes différentielles 



(75) 



f t (da, db, de) = f a da-h f b db -+- f c de, 

U («fa, db, de) = (^ da + ^db + i de) V = gf *• 

f, (da, db, de) =£Ç t da + Jjjj db + *£ de, 



122 



CHAPITRE II 



et nous considérerons également les formes analogues contenant les varia- 
tions des dérivées de x 



(76) 



Ç 2 («fa, db, de) = ([£] da + [1] db + [Q dc)\ 

.*.(*.*.*> = [Sri\ da + [ans] rfJ + [as] dc - 



Formons d'abord les conditions identiques. Différencions deux fois 
l'équalion [oc] = const. sur la surface S : nous voyons que l'on doit avoir 



Kl *- + Gâl] "■+[&]*• = •. 



moyennant les relations 

(77) /, =f tt da-t- f b db -+■ f c dc = 
et 

(78) /„ + /à tf 2 a -h U d 2 b -+- / c d 2 c = 0. 

En vertu des relations (36), ceci revient à dire que l'équation (77) 
entraîne £ 2 — \f 2 = 0. 11 faut, pour cela, qu'il existe un polynôme linéaire 
Ada -+- Bdb -+- Cdc tel que l'on ait, quels que soient da, db, dc, 

(79) l 2 = X/ 2 -+- 2/, (Acto h- Brffc + Cefc). 
Différencions également sur S la première équation (36) : la différen- 
tielle de J- est 

Sa 

%-L da + s -£ r cfô -H <-£- o?c — -t-^t 
ta 2 oaoo oaoc 2 vda) 

s- I est s ,J< . On a donc 
oaj 2 b(da) 

Mais en dérivant par rapport à da, l'identité (79), on a (puisque f i = 0) 
H ïfe = S affe + f" ( Arfa + Brf * + C<fc >> 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 123 

la comparaison de ces deux formules donne 

(80) dl = \da + Bdb ■+- Cdc (sur S ). 

Les formules (79) et (80), ainsi que les formules analogues relatives 
à y, z (lesquelles introduiraient six autres coefficients auxiliaires analogues 
à A, B, C) sont les conditions identiques. 

120. — Passons aux conditions de compatibilité. Nous devons, à cet 
effet, compléter le calcul précédent, d'une part en différen liant sur g et non 
sur S , d'autre part en utilisant (74). Différenliant d'abord celte dernière 
sur S , il vient 

Ê' t = f t dk + X/'i = l/\ -+- ft {Ma -+- Bdb + Cdc). 

Ceci devant avoir lieu pour toutes les valeurs de da, db, de qui vérifient 
la condition (77), on a, en introduisant la quantité auxiliaire X' 

[&] ^ x bÈ* a '' + *'/-- 

ëH^St + V' + v- 



[ 



Faisons maintenant varier a, b, c, t sur § , nous devrons avoir, non 
plus (77), mais 

(77') f i +f t dt = 0. 

La première équation (36), différence dans ces nouvelles conditions, 
donnera (d'après (81)) 

Remplaçons Ç, par son expression (79) et tenons compte de (77'), nou 
avons, toutes réductions faites 

(80') kda -+- Bdb -+- Cdc -i-l'dj = dX (sur § ). 

Si nous supposons connues les variations brusques des dérivées secondes 
de x, tout est connu (grâce aux équations (79) et (81)) dans le premier 
membre de (80'), et nous avons par là la variation infinitésimale de X 
lorsque le temps varie. 



124 CHAPITRE 11 

Reprenons enfin l'équation (74) pour la différen lier sur § , ce qui donne 
(en tenant compte de (80')) 



Vi 



^1 dt = f t (Ada + Bdb h- Cdc -+- Vdt) -+■ X (f t + |ï rffV 

Remplaçons £' t par sa valeur tirée de {81) et tenons compte de (77') : il 
ne reste que les termes en dt, qui donnent 

<•»> [S] =»;/!■*- x Sf 

Supposant toujours connues les dérivées secondes de a?, cette formule 

nous fait connaître v^, c'est-à-dire le mouvement delà surface d'onde aux 

éléments infinitésimaux du troisième ordre près. Mais on aurait également 

v4 par les équations analogues correspondant à y et z. En égalant entre 

elles les expressions ainsi trouvées, on a deux nouvelles conditions de 
compatibilité. 
Si l'on pose 

(83) î = ([fa] da + [lb] db + [J] dc + [s] *) * 

F, == /; -h /; d* 

les résultats précédents se résument dans l'identité 

(79') X 2 ■== XF 2 -+- 2Ft (Ada h- Bd& -h Cdc 4- X'd<). 

121. Conditions du troisième ordre. — Adjoignons maintenant aux 
formes (75), (76) les suivantes 

fi = (} a da + i db + c *)' 1= &% d « 2 + •- 

^-(K]* + [i]* + KJ*) ,- -KI ,w+ --" 

r. = ([i] * - [i] * - [y *)* = [a] da% + •••• 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 129 

Différentions trois fois, sur S , la relation [#] = : il vient 
2 \5(aa) b(rffr) ô(rfc) / 

cela moyennant les équations (77), (78) et 

/0 . ( /i -H I (-§-, rf2 « -1- xT^It <**& + 77T71 rf2c ) 

(84) 1 2\b{da) ù(db) s (de) J 

l -h f a d'a-\- f b d*b+f c d*c = 0. 

Les différentielles troisièmes s'éliminent immédiatement par les condi- 
tions (36) : remplaçant £ 2 par sa valeur (79), nous avons la relation 

£ 3 = X/ 3 -+- 3/" 2 (kda -+- Bdb H- Cdc) 

laquelledoit subsister moyennant (77) : autrement dit, nous pouvons écrire 

(85) Ê 3 = X/g h- 3f 2 (kda -+- Btffc -i- Cdc) -+- 3/1 ^ 2 

4*2 (da, db, de) étant une forme quadratique en da, db, de. 

Pour avoir la signification de^ 2 , considérons l'équation (79) qui est une 
identité par rapport à da, db, de. Changeons y da, db, de en d'à, d'b, d'e, 
puis différentions sur S (sans faire varier d'à, d'b, d'e) : ceci donne 

! / ô k_ da -4- ^ db -4- - ô iâ_ dA 
3 Vsfrf'fl) ô(rf'ô) ô(d'c) "7 

= /; (d'û, d'b, d'e) (kda -+■ Bdb -h Cdc) 

+ 3 \t>(d'a) aa + ô(d'ft) dft + û(d'c) ^V 

-h 2/; (d'à, d'b, d'e) (dkd'a -+- dBd'ô -+■ dCd'c) 

+_ (Ad / a + Mb + c^) (^ *« -h- $V) rf/ * + & *«) ' 

Si nous remplaçons £ s par sa valeur (85), le polynôme /i (d'à, d'b, d'e) 
vient en facteur et l'équation se réduit à 

dA d'à + dB d'b + dC d'e = i (ggfcj A + $fa d'b + Jfo d'e). 

d'à, d'b, d'e étant arbitraires, on a 



126 CHAPITRE II 

équation d'où on peut déduire la valeur de d" 2 X (en vertu de (80)) 

(87) d 2 X = Ad*a 4- Bd*b + Cd 2 c 4- 6 2 - 

Ayant ainsi les conditions identiques, nous obtiendrons les conditions de 
compatibilité en diflerentiant, sur g , toutes les conditions (79) à (82). 
Nous ferons le calcul d'un coup en introduisant les expressions (83) et 

X 3 = , 3 -H3^^ + 3([^] f /a^...)^H-[§]^ 

= ([_8ôJ<?« +[86J^ H-[âcJ^ +[§JrfÔ * 

F, = f % 4- 3/V dt 4-3 (^£ da 4- —'4 db 4- *■% rfc ) ^ 2 + ?rf ^ 
3 /3 /2 \oaàl 2 obot À ocor / ô£ 3 

/ o 8 S o \ 3 

= -(ffl + q^+rdc + rJn /l 
\oa oo oc àt / ' 

Nous pourrons alors récrire les formules précédentes en remplaçant 
les £ par des X, les /"par des F, et introduisant des termes en dt, d 2 t, d % t, 
partout où il en existe en da, db, de ; d 2 a, d-b, d 2 c ; d 3 a, d z b, d*c. De 
cette façon l'identité (85) sera remplacée par 

(85'). X 3 = XF 3 -h 3 F, [Ada 4- Bdb 4- Cdc 4- Vdt) 4- 3 F, W i} 

W 2 iétant une forme quadratique en da, db, de, dt. 

Là comparaison de la formule précédente avec (85) montre que, dans W 2 , 
la partie indépendante de dt n'est autre que ty 2 : on pourra poser 

(88) W 2 = <> 2 + 2 d* (A'da -h B'dfc -h Cdc) -+- XW. 

En continuant à suivre la marche exposée tout à l'heure, on verra que 
les différentielles complètes de A, B, C, X' sur § sont 

2 b(da) 2 b(da) 
/ 2s(rfJ) 2»(di) 

I 2 ô (ofc) 2 ô (ac) 

I dX' = J -^ = Mda + B'd& 4- Cdc H- X"d* 
ii d(cu) 

de sorte que (comparer (87)), 

(87') W a 4- Ad 2 a + Bd 2 & 4- Cd 2 c 4- X'd 2 * = d 2 X (sur § ). 



LES ONDES AU POINT DE VUE CINEMATIQUE 127 

Enfin, si on égale, dans (85'), les coefficients des différentes puissances 
de dt, on a, outre l'identité (85), les relations 

Ê' 2 == X/y h- X/ 2 + 2// (Ada + Btf £ -+- Gdf) + /# 2 
+ 2/ 1 , (A'rfa + B'db -+- Crie), 



Etant donnée, « Vinstant t, la position de la surface de discontinuité, ces 
différentes formules et leurs analogues relatives à y, z, permettront de cal- 
culer, en fonction des variations brusques des dérivées premières, secondes 
et troisièmes des coordonnées, les paramètres A', B', C, X" et leurs analogues. 
On pourra môme, entre elles ; éliminer ces quantités, de manière à obtenir 
des conditions.de compatibilité. Enfin, la dernière des formules (89) fait 

8 3 / 
connaître ■*—, c'est-à-dire l'accélération du troisième ordre de la surface 

ùr 

d'onde, et on aura deux autres conditions de compatibilité en égalant la 
valeur ainsi trouvée à celle qu'on déduirait des équations analogues rela- 
tives à y et à z. 

122. Si ces conditions n'étaient pas remplies, la surface de disconti- 
nuité du premier ordre pourrait rester unique. Mais il s'y adjoindrait 
nécessairement au moins une onde d'ordre supérieur, se séparant de la 
première aux instants voisins de celui que l'on considère. 

123. Cas d'une onde du second ordre. — Proposons-nous encore de 
trouver les conditions du troisième ordre dans une discontinuité du second. 

C'est à quoi nous pourrions .arriver par des calculs analogues à ceux 
que nous venons de faire ; mais nous pourrons aussi déduire ce résultat 
du précédent : car on obtient une discontinuité du second ordre en faisant, 
dans les formules (79) et (79'), X = (les quantités analogues jxetv étant 
également nulles). 

Les conditions du second ordre devront alors coïncider avec celles des 
n os 85, 86, 103. C'est en effet ce qu'il est aisé de constater : il suffit de 
remarquer que, d'après la relation (80'), Ada -h Bdb -h Cdc -+- l'dl doit 
s'annuler moyennant la condition (77'). On peut donc écrire 

(90) A = |/ a> B = \f bi G^\f e} X' = £/i 



128 CHAPITRE II 

(où, bien entendu, X n'est plus la quantité que nous avions désignée tout 
à l'heure sous ce nom et qui est ici nulle). La relation (79') devient alors 

X 2 == XF? 
ce qui est bien le résultat trouvé au n° 103. 

Considérons maintenant l'expression V, qui figure dans les conditions 
du troisième ordre. D'après (87'), cette expression doit être telle que 

V 2 -h Ad 2 a 4- Bd 2 b 4- Cd 2 c 4- VdH = d 2 l 
s'annule moyennant les relations F t = et 

F 2 4- f a d 2 a 4- f b d 2 b 4- f c d 2 c 4- f,d*t = 0. 
D'après les valeurs (90) de A, B, G, X', ceci donne 

(91) vf 2 = g F % + F, (A,-rfa -h B t rf& 4- Cjrfc 4- X'^)> 

Aj, B 4 , C,, X\ désignant de nouveaux paramètres. 

Les relations (86') se réduisent alors toutes trois (puisque par exemple 

A = - 2 -/;elque^ = ^ ô -^ja 

dX = A d cto -h Bj dô h- C 4 de H- X' t c?£ 

et les relations (85), (85') deviennent 

X 3 = 3XF 4 F 2 4- 3 F* (A 4 da + B 4 ^ + C^dc -+- X' 4 cft), 
ç, = 3X /i/ 2 + 3/; 2 (Ai da 4- Bi db 4- C a de) 

S' 2 = \f t f 2 -h 2 /; [X/;' 4- /; (A, <*« + B i db 4- c t de)] 4-/i 2X 'i 



[5]T^^Jf^/!> 



Ces équations ne donnent naturellement plus *-J., mais seulement^, 

lequel figure dans les deux dernières et, par conséquent, peut se tirer de six 
équations différentes (en comptant celles qui correspondent à y et z). 

De plus, le départ entre les conditions identiques et les conditions de 
compatibilité est différent de ce qu'il était dans le cas précédent. La condi- 
tion (74) est, en effet, donnée, et fournit par conséquent, des conditions 
identiques, au lieu de faire partie des conditions de compatibilité. 



CHAPITRE II ï 



LA MISE EN EQUATION DU PROBLEME DE L'HYDRODYNAMIQUE 



§ 1. LES ÉQUATIONS INTERNES ET LA CONDITION SUPPLÉMENTAIRE 



124. — On sait que les équations de l'Hydrodynamique se déduisent 
de celles de l'Hydrostatique par application du principe de d'Alembert. 
Cette déduction, sur laquelle nous n'avons pas à insister ici, conduitcomme 
il est bien connu aux équations suivantes 



(i) 



où les symboles b, 8 ont la même signification qu'au chapitre II. Les quan- 
tités u = £t-, v = Jf , w = g- désignent les composantes de la vitesse, 

g 2/p g w 

de sorte que g^-, par exemple, est égal à ,>- î l' éc t ual ion (18) du chapitre II 
permet encore d'écrire 

o 2 œ bu , bu , ôtz bu XT 1 ôm 

1? = M + "Si + ° 5^ + W ■» = X - p £• 

1 ot 2 d£ ôa? ôy ôjar p ôy' 

&z ÔÎ0 5M) ôto ÔM) „ lôw 

T/i = T7 + w r + "r+ M) - = Z — - ^ . 
ô^ ô£ ôic ôy ô^r p te 



x = 


8 2 # 1 î»jo 

W + p bx 


Y = 


o 2 y 1 bp 
S/ 2 ~^pby 


Z = 


8V. 1 ôj> 

8* 2 p te 



I 



430 CHAPITRE 111 

La quantité p^qui est la densité, s'exprime par les équations (3) et (3') 
du n° 47, soit ici 

0X 

8c 



(3) 



ox 


OX 


Ta 


ïb 


Sa 


ùy 

tb 


oz 


oz 


0(1 


86 



oc 

oc 



Les équations (1) et (3) (après que l'on aura exprimé — -*> -"* ^- à l'aide 

des dérivées partielles de p, x, y, z par rapport à a, b, c), jointes à une 
équation supplémentaire qui resle à former, sont celles qui définissent les 
quantités inconnues x, y, z, p, p en fonction de a, b, c, t. Mais on sait qu'il 
est le plus souvent avantageux de substituer à ce mode de mise en équation, 
qui est celui de Lagrange, la mise en équation d'Euler dans laquelle a, b, c 
ne figurent pas, les variables indépendantes étants?, y, z, t les fonctions 
inconnues p, p, et les composantes u, v, w de la vitesse. 

Dans cette manière d'opérer, les équalions (1) seront remplacées par les 
équations (2), et quant à l'équation (3) qui définit p, elle sera remplacée 
par l'équation 

bp &(ptp b_(pu) î>( pM )) __ 

formée au n J 6£. Cette dernière, qui est dite équation de continuité, 
n'est donc autre que celle qui exprime la conservation de la masse. 

125. — Les équalions (1) et (3), s'il s'agit de la forme de Lagrange, 
(2) et (4) s'il s'agit de la forme d'Euler, sont en nombre insuffisant pour 
déterminer les fonctions inconnues, puisque celles-ci sont au nombre de 
cinq, et il est en effet nécessaire de leur adjoindre une cinquième équation 
dite condition supplémentaire. Cette dernière condition est celle par 
laquelle intervient la nature physique du fluide, sur laquelle il n'est rien 
supposé dans la formation des équations écrites jusqu'ici. 

Pour les liquides (supposés parfaitement incompressibles) cette équation 
est 

p = constante. 

En ce qui concerne les fluides compressibles, la formation de la condi- 
tion supplémentaire comporte plus de difficulté. On sait que l'on considère 



— 



LA MISE EN EQUATION DU PROBLEME DE L HYDRODYNAMIQUE 131 

alors le fluide comme caractérisé, au point de vue physique, par une rela- 
tion de la forme 

(5) F (p, P , T) = 

entre la densité p d'une portion de fluide, la pression p et la température T. 
Par exemple, pour les gaz parfaits, cette relation est 

(5') ^p = constante. 

Celte relation fournit la condition supplémentaire cherchée si l'on connaît, 
d'autre part, la loi suivant laquelle varie la température. Lorsqu'on 
suppose celle-ci constante, ainsi qu'on- t'avait fait jusqu'à Laplace, la con- 
dition supplémentaire est donnée par la loi de Mariotte 

(6) £-== constante, 

Si au contraire — et les recherches sur la vitesse du son ont prouvé que 
cette hypothèse était bien plus près de la réalité que la première — on 
admet que le gaz a une conductibilité nulle, de sorte que les dégagements 
ou absorptions de chaleur produits par la contraction ou la dilatation de 
ses différentes parties servent uniquement à échauffer ou à refroidir les 
molécules même qui en sont le siège (contraction ou dilatation adiabalique), 
on constate que la relation (6) doit être remplacée par la suivante 

(7) -^r = constante 

m étant un coefficient constant (le rapport des deux chaleurs spécifiques 
du gaz). 

1£6. — On doit noter une différence essentielle qui sépare l'équation 
(7) des équations (5') et (6). La constante qui figure au second membre 
de (5') est une constante absolue, connue a priori pour un gaz de nature 
donnée. C'est, à un facteur constant près, ce que l'on nomme souvent la 
densité de ce gaz, c'est-à-dire le rapport du poids d'un volume quelconque 
de fluide au même volume d'air dans les mêmes conditions de température 
et de pression. Il en est de même pour celle que renferme l'équation (6), 
si l'on donne la température. Au contraire, la constante qui s'introduit 
dans l'équation (7) est une constante d'intégration, qui dépend de l'état 
primitif à partir duquel le fluide a varié adiabaliquement. Si cet état était 
unique pour toute la masse, il en est de même pour la constante en question. 



132 CHAPITRE III 

Mais il n'est nullement nécessaire qu'il en soit ainsi : dans le cas contraire, 
le second membre de l'équation (7), indépendant de t, est une fonction de 
a, b, c. 

127. — Mais l'une et l'autre des formules (6) et (7) présupposent la 
relation (5). Or l'existence même de celle-ci n'est pas sans soulever quel- 
ques objections en Hydrodynamique. Elle est, il est vrai, indubitable (du 
moins dans les conditions où se place l'Hydromécanique rationnelle) toutes 
les fois qu'il y a équilibre, et, par exemple pour les gaz parfaits, la relation 
(5) a été établie par une série d'expériences dans lesquelles on a comparé 
entre eux divers états d'équilibre d'un même gaz. Mais aucune expérience 
analogue n'a pu être instituée pour vérifier cette même relation dans des 
gaz en mouvement plus ou moins rapide. 

Il n'est donc pas établi, dans ce dernier cas, que l'équation (5 ) conserve 
sa forme. M. Bjerknes (') a même étudié l'hypothèse où cette relation serait 
modifiée par des termes correspondant au mouvement, c'est-à-dire conte- 
nant les vitesses ou les accélérations. 

Un raisonnement ayant pour but d'établir, au contraire, que la relation 
(5 ) subsiste dans tous les cas a été présenté par M. Duhem ( 2 ) : il consiste 
à ramener ce fait à une hypothèse relative à la forme de la quantité 
nommée potentiel thermodynamique. On nomme ainsi une grandeur |F 
permettant l'application du principe des vitesses virtuelles lorsqu'on tient 
compte des changements de température et de pression, de même que la 
fonction des forces permet d'écrire d'une manière simple ce même principe 
lorsqu'on reste dans le domaine de la Mécanique classique. 

Ce potentiel thermodynamique se compose du potentiel des forces exté- 
rieures augmenté d'une partie complémentaire nommée potentiel' thermo- 
dynamique interne. 
"M. Duhem admet que ce dernier a une expression de la forme 



/// 



p«ï> dx dy dz 

où * dépend de la densité et de la température : que ce potentiel est, par 
conséquent, fonction de la position du milieu, mais non des vitesses ou des 
accélérations de ses points. 

(*) Acta Mathematica, tome IV, p. 121-170. 

(2) Cours de Physique mathématique, Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique, 
tome I ,• Paris, Hermann, 1891. 



LA MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME DE L'HYDRODYNAMIQUE 133 

On obtient les équations d'équilibre du fluide en écrivant que la varia- 
tion du potentiel thermodynamique total est nulle ou positive pour toule 
modification infiniment petite, compatible avec les liaisons. 

En prenant, pour la modification en question, successivement chacune 
de celles qui ne font varier la densité en aucun point et qui n'interrompent 
pas la continuité, on démontre l'existence d'une fonction p, continue en 
chaque point, par l'introduction de laquelle les équations classiques de 
l'Hydrostatique sont vérifiées. 

En introduisant une modification qui creuse une cavité, on obtient la 
condition p >> 0. 

En considérant, enfin, une modification qui fait varier la densité, on 
arrive à la relation 

P = P t- 

ô p 

et cette relation est bien de la forme (5 ). 

IS8. — Si maintenant, au lieu des équations de l'équilibre, on veut 
écrire celles du mouvement, le principe à appliquer, en vertu des lois gé- 
nérales do la Thermodynamique, est celui de Hamillon (le potentiel ther- 
modynamique remplaçant la fonction des forces). 

Or l'application de ce principe conduit au môme résultat que celle du 
principe de d'Alembert, savoir aux équations (1), la formule (5') subsistant 
dans le cas du mouvement comme dans celui de l'équilibre. 

1!29. — L'équation (5) étant ainsi admise en vertu de ce qui précède, 
l'équation (7) en résulte-t-elle forcément dans le cas de la compression ou 
de la détente adiabatique? 

Une objection toule semblable à la précédente se pose à cet égard. Les 
raisonnements qui permettent de passer de l'une de ces relations à l'autre 
reposent, en effet, sur l'étude de la chaleur spécifique des gaz, à savoir sur 
la formule 

(8) dQ = C - dv + c 5 dp 

qui représente la quantité de chaleur dégagée dans une modification infi- 
niment petite, en fonction de la variation dv du volume et de la variation dp 
de la pression. Or, les valeurs des chaleurs spécifiques C et c ont été établies, 
comme celles des coefficients de dilatation, par des expériences sensible- 
ment statiques, c'est-à-dire oùlès m ouvements de la masse gazeuse à élu- 



134 CHAPITRE III 

dier étaient extrêmement peu rapides, ou par des expériences dans lesquelles 
les vitesses de ces mouvements étaients mal connues (expérience de 
Clément et Desormes). La môme formule restera-t-elle valable dans le cas 
général de l'Hydrodynamique? 

La Thermodynamique permet de répondre à cettequestion.il suffit, à cet 
effet, départir de l'équation fondamentale qui exprime le principe de l'équi- 
valence 

(9) d% — | dïmV 2 = EdQ -+- d\] 

où d% représente le travail des forces extérieures appliquées au système, 
SmV 2 la force Vive, E l'équivalent mécanique de la calorie, dQ la quantité 
de chaleur dégagée, U l'énergie interne, c'est-à-dire une certaine fonction 
de l'état interne du système. 

Les forces extérieures appliquées à une masse gazeuse seront de deux 
sortes : 1° les forces appliquées aux éléments de masse, telles que pesanteur, 
électricité, etc. ; 2° les pressions extérieures, appliquées à la surface. 

Le travail élémentaire de ces dernières sera 



,fj pLu 



(10) dt. J I p[ucos {rv i x)-\-o cos (n>z) -h w cos (»,#)] dS, 

dS étant l'élément de surface limite, n la normale à cet élément ; u, v, iv, 
comme précédemment, les composantes de la vitesse. Le premier membre 
de l'équation (9) s'écrira donc en désignant par d% le travail de la pesan- 
teur et autres forces de la première catégorie 



t JJ&. 



\ d% -+- dt j j p\u cos (w, x) -+- v cos (n.z) H- w cos (n,z)~\ d'à 
(11) 

f — i ctemV 2 = EdQ + dU. 

Dans les conditions où l'on s'est placé pour mesurer expérimentalement 
les chaleurs spécifiques des gaz, le travail d% est négligeable. 11 en est 
de même de la force vive, les vitesses étant insensibles. Comme l'intégrale 
double (10) représente, pour p constant, la quantité pdV, oùd^ est la 
variation de volume, la formule précédente s'écrit 

(12) dQ = I (pdV - d\J). 



LA MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME DE L HYDRODYNAMIQUE 135 

Il est clair que c'est cette formule qui fait connaître la chaleur dégagée 
dans un changement de volume ou de pression quelconque et que, par 
conséquent, son second membre coïncide avec la quantité (8). 

Plaçons-nous maintenant dans le cas général et partons des équations (1) 
du mouvement. Multiplions respectivement ces équations par udt, vdt,wdt 
et ajoutons : multiplions encore par p dxdydz et intégrons dans le volume 
occupé par notre fluide. Au premier membre, nous obtiendrons le travail d% Q . 

Quant à la quantité 



dt 




P (u y| -h v ^ -h w ^ \ dxdydz, 



elle est (en vertu des relations ^r — -*-? *-% = $-r' k-s == -— la diffe- 

v oi 8 et ot 2 ùt ot- ot J 

rentielle de la demi-force vive. Le dernier terme obtenu au second mem- 
bre peut s'écrire 



dt< 



Jf p[u 

-m 



cos (n, x) -+- v cos (n, y) -+- w cos (n, z)~\ dS 



eu Ï)V bw\ 



en vertu du théorème de Green. La formule (11) devient donc finalement 



EdQ + dU = dt 
La quantité 



lit / ÔW &» *W\ 7 7 7 

J J J P\™ + ïy + ^) dxdydz - 






dz 



représente, comme on sait, le changement de volume d 6 ^ subi pendant 
l'instant dt par l'élément de masse odx dy dz. Donc la quantité de chaleur 
dégagée par cet élément sera 



dQ = g (pdV - dV), 
dU étant l'énergie interne de cet élément. 



13<3 CHAPITRE III 

Nous retombons donc, même dans le cas du mouvement, sur la formule 
(12). Celle-ci est bien, dès lors, indépendante des vitesses imprimées au 
fluide, ainsi que nous l'avions annoncé. 

130. — On doit toutefois remarquer que notre raisonnement exclut la 
possibilité de variations brusques dans la vitesse, autrement dit de percus- 
sions s'exerçant dans l'intérieur de la masse. Cette supposition est en effet 
nécessaire pour écrire la relation 



dt. I I I P^ + t'Jf + ^l)^ 



d^ ZmV 2 = dt. I I I p ( u ^ -h v "ïS -+- w . i£ ) dm dy dz 



qui exprime la variation de la demi-force vive. 

La relation en question est manifestement analogue au théorème des 
des forces vives et l'on sait que, dans la théorie des percussions, on est 
amené à remplacer le théorème des forces vives par une relation de forme 
différente, le théorème de Carnol. 

Il est clair, d'ailleurs, que toutes les considérations précédentes sont rela- 
tives au cas où de telles percussions n'existent point. En particulier, lors- 
qu'elles se produisent, il n'est plus vrai, ainsi que nous aurons l'occasion 
de le remarquer plus loin, que la pression reste continue. 

131. — Lorsque le fluide considéré ne sera ni un liquide incompres- 
sible ni un gaz parfait, la relation (5) continuera néanmoins à exister si 
l'on adopte l'hypothèse de M. Duheni ; mais elle aura une forme différente 
de (5'). Elle achèvera de déterminer les équations internes du mouvement 
si l'on se donne en outre a priori, comme on doit toujours le faire, la ma- 
nière dont varie la température. Dans le cas où celle-ci restera constante, 
la relation (5) prend évidemment la forme 

(13) F (p, p) = 0. 

Il en sera de même, ainsi qu'il résulterait de raisonnements tout sem- 
blables aux précédents, pour le cas de la détente ou compression adiaba- 
tique, si la vitesse reste continue. 

Nous n'avons rien à dire dégénérai sur la forme analytique des relations 
ainsi obtenues. Mais elles satisfont toutes à une condition d'inégalité 
commune : La pression est une fonction croissante de la densité. Autre- 
ment dit, en augmentant la pression subie par le fluide, on diminue son 



LA MISE EN EQUATION DU PROBLEME DE L HYDRODYNAMIQUE 137 

volume. Cette condition exprime la stabilité de l'équilibre interne du 
milieu ( 1 ). 



§ 2. — INTERVENTION DES CONDITIONS AUX LIMITES 



132. — Le mouvement d'un fluide quelconque est déterminé, d'une 
part par les équations internes telles que nous les avons écrites dans ce qui 
précède, d'autre part par les conditions initiales, enfin par les conditions 
aux limites. 

Les conditions initiales consisteront à se donner, à un instant t à partir 
duquel on étudie le mouvement, les positions des différentes particules et 
leurs vitesses. 

Les conditions aux limites seront de deux sortes. Le fluide sera, sur tout 
ou partie de sa surface, en contact avec des parois solides dont nous suppo- 
serons le mouvement donné. Nous aurons donc à écrire qu'à chaque 
instant une partie de celle surface (laquelle est, ainsi qu'il a été dit au 
n° 48, constamment formée par les mêmes molécules) coïncidera avec la 
paroi. 

S'il existe une surface libre, nous supposerons donnée sur celte surface 
la valeur de la pression, c'est-à-dire de la quantité p qui figure dans les 
équations du mouvement. 

133. — Lorsqu'on écrit, en Mécanique rationnelle, les équations diffé- 
rentielles du mouvement d'un système assujetti à des liaisons données 
quelconques, ces équations permettent en premier lieu de calculer les 
accélérations des différents points à un instant quelconque, lorsqu'on se 
donne à cet instant les positions de ces points et leurs vitesses à la seule 
condition, 1° que la position donnée du syslème satisfasse aux liaisons; 
2° que les vitesses données des différents points soient de celles que ces 
points puissent recevoir, à l'instant en question, dans un mouvement 
compatible avec ces liaisons. 

Occupons-nous donc de résoudre cette question dans le cas actuel, autre- 
ment dit de calculer les accélérations des différents points à l'instant t 0J 
connaissant à cet instant 1° les forces qui sollicitent le fluide, 2° les positions 



(ij Duhem, loc. cit., p. 80 83.— Voir plus loin, ch. Vl r n° 272. 



138 



CHAPITRE III 



des points el leurs vitesses, 3° le mouvement de la paroi et la pression à la 
surface libre ainsi que ses dérivées par rapport au temps. 

La question se présente de façon très différente, suivant qu'il s'agit d'un 
liquide ou d'un gaz. 

1° Cas des liquides. — Employons le système de variables indépendantes 
indiqué au n° 01 bis (ch. Il) et composé, outre le temps c, de coordonnées 
initiales coïncidant avec les coordonnées actuelles à l'instant considéré. 

Le fluide étant supposé incompressible, la relation (13) se réduit à 

p = constante 

et ne fait pas connaître la valeur de p. Quant à la relation (4), elle se 
réduit à 

(14) *5 h- ô _? + *£ = o 

foc ï*y az 

Les autres équations du mouvement, savoir les équations (1), font 
font connaître les sommes 

%u 1 dp ov 1 dp <>w 1 dp 

ci o i\x ' oj p dy' dt p 02" * 

Si Ton différencie la première de ces équations par rapport à x, la 
seconde par rapport à ?/, la troisième par rapport à #, qu'on ajoute membre 
à membre, on aura un résultat de la forme 

, 4C . 1 . ô (cu\ d fov\ ô (lw\ „ 

F étant une fonction connue de x, y, z à l'intérieur du volume liquide. 
Mais l'équation (14) a lieu à tout instant [x, y, z étant les coordonnées 

actuelles à cet instant). On peut donc lui faire subir la différentiation - et 
écrire 

^ ' ïxû + bybi ~*~ îizlit d~z \ M/~*~ M/ \ôT/ + te \"&F/ 

„ . ïiU bV bW , , r .. , SM OV OW .. , 

Remplaçons —* — r» -r? par leurs valeurs en fonction de -^ » --> ^—tirées 

1 df i>t i)t * ot où oc 

des relations (2) : nous aurons ainsi la valeur de --- ( -s.-.- ) H- --- Ut -+— Ut) 
v J bx\ot/ ùy\ot/ ùs\ot/ 



(16) 



( Ô /OlA & /ow 

\ ïw \ où ) + ïy \ oï 

) a / od jm? ma d / Mu d?u îniA 

\ ôy \ d,r d^/ d.sy ô^- \ ùx by az ) 



5 fow\ & / m« ftw &w\ 

àz \ot ùx \ àx by *z 



LA MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME DE L HYDRODYNAMIQUE t 39 

et, en la reportant dans (15), il viendra 
(17) Ap=F 2 , 

F 2 étant également connu en chaque point. 

134. — D'autre part, les coordonnées des molécules qui sont en contact 
avec la paroi ne doivent pas cesser de vérifier l'équation de la surface de 
cette dernière. Cette équation 

f{œ, y, z, tj — 

dépendra ou non du temps, mais nous la supposerons connue à tout ins- 
tant. Si nous la différencions deux fois par rapport à t, il viendra 

1 j te 8j 2 ty o/ 2 ^ d* o/ 2 ^ \te n* ^ ty 8 * ** °t ùtl ' 

o 2 x o 2 w 0"^r 
Dans cette relation, tout est connu sauf *—> s'J'-Krr. Les quantités 

ô£ 2 ô£- ot 2 l 

— » — » — étant proportionnelles aux cosinus directeurs a, (3, y de la nor- 

ÙOC Oïl 02> 

maie n à la paroi, on obtient ainsi la composante normale ;'„ de l'accéléra- 
tion en chaque point de celle-ci. 

Q 2 X 8 2 W § 2 Z 

Si, enfin, on remplace -k— > -st,> srrr P ar leurs valeurs lirées des équations 

Ùt" 01 ùt~ 

(1), on voit que V équation précédente fait connaître, en chaque point de 

la paroi, la valeur de la dérivée normale -.- • 

r dn 

Si le contact avec la paroi a lieu tout le long de la surface limite du 
fluide, la recherche de la quantité p en fonction de œ, y, z est, par consé- 
quent, ramenée au problème qui a fait l'objet du chapitre 1. Le problème, 
comme on l'a vu, suppose une condition de possibilité, savoir 

f f d £ dS =f f j *.*»<*»**• 

Il est aisé d'interpréter cette condition. Elle s'obtient, en effet, en inté- 
grant, dans tout le volume occupé par le fluide, l'équation (16') ou, ce qui 
revient au même, l'équation (16), qui lui est équivalente moyennant les 
relations (2). Or cette dernière, dérivée par rapport au temps de (14), 
exprime que la dérivée seconde par rapport à /du volume élémentaire occupé 
par une portion infiniment petite de fluide est nulle. Après intégration, elle 



140 CHAPITRE 111 

exprimera que le volume total limité par la paroi donnée a sa dérivée 
seconde nulle : condition dont la nécessité était évidente a priori ( 1 ). 

Celle condition étant supposée remplie, les considérations développées 
au chapitre I démontrent la possibilité du problème pour toutes les formes 
de récipient auxquelles la méthode de Neumann est applicable. Nous savons 
d'ailleurs que la solution est unique, à une constante arbitraire près qui 
peut être ajoutée à la valeur de p et qui n'a pas d'influence sur les valeurs 
des accélérations cherchées. 

Ces accélérations sont donc déterminées. 

13«>. On obtiendra de même les accélérations d'ordre supérieur (pourvu 
que les expressions des forces X, Y, Z soient données à tout instant) : il 
suffira de différentier par rapport au temps les équations (1), (16'), (18) 
et de déterminer, à l'aide des équations ainsi différentiées, les dérivées 
successives de la pression, comme nous avons déterminé celle-ci par les 
équalions primitives. 

136. — Toutefois, le raisonnement précédent semble supposer que les 
accélérations cherchées sont distribuées d'une manière continue. On peut 
se demander (et les chapitres qui vont suivre montreront qu'un pareil 
doute est justifié) si l'on n'arriverait pas à une conclusion différente en 
abandonnant cette hypothèse. 

Il est aisé de constater qu'il n'en est rien. Si, en effet, nous supposons 
les vitesses continues par rapport au temps, la pression p devra êlre con- 
tinue. D'autre part, il en sera de même delà composante normale de l'accé- 
lération. Supposons, en effet, qu'une discontinuité se produise suivant une 
certaine surface. Ou bien cetle discontinuité sera slalionnaire, et, dans ce 
cas, les vitesses étant supposées continues, le fait en question résultera du 
n° 94 ; ou bien elle se propagera ( 2 ), et alors, sinon à l'instant considéré 
lui môme, du moins aux inslanls infiniment voisins, il y aura compati- 
bilité. S'il en est ainsi, la densité ne variant pas, la composante normale de 
la discontinuité sera nulle, et, par conséquent, la composante normale de 
l'accélération continue. 

Or, dans la valeur précédemment trouvée de l'accélération, les seuls 
éléments inconnus sont les dérivées de la pression. Si donc la composante 

( j ) Il est aisé de voir que, sous l'une ou l'autre cie ses formes, la condition de 
possibilité fait connaître, en fonction des positions et des vitesses, l'intégrale ffjndS 
étendue à la surface de la paroi. 

( 2 ) En réalité, dans le cas des liquides, aucune discontinuité ne peut se propager. 



LA MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME DE L'HYDRODYNAMIQUE 141 

normale de l'accélération est continue (et que les données de la question le 
soient aussi), c'est que -~- est continue. 

Soit, d'autre part, p 1 la fonction continue ainsi que ses dérivées qui 
vérifie l'équation (17) et les conditions aux limites par lesquelles nous 
avons, tout à l'heure, déterminé p. La différence p — p t est une fonction 
harmonique en dehors des discontinuités et qui, au passage de celles-ci, est 
continue ainsi que sa dérivée normale. Elle est donc, d'après une remarque 
rappelée au h° 1, harmonique dans tout le volume occupé par le liquide 
et, comme elle est, en outre, déterminée par des données à la frontière 
nulles, on voit bien que p est identiquement égal à p t . 

Bien entendu, ainsi que nous l'avons dit plus haut, ce qui précède 
suppose qu'il n'y ait pas de discontinuité dans les données de la question, 
à savoir dans les composantes des vitesses et dans leurs dérivées par rapport 
à x, y, z. L'hypothèse contraire sera examinée plus loin (ch. V). 

137. — Supposons maintenant que le liquide ait une surface libre. 

Sur celle-ci, on ne connaît plus —~ ; mais nous supposons qu'on donne en 
chaque point la valeur de p. 

Nous sommes donc ramenés, cette fois, au problème mixte posé aux 

n os 38-41 b " : p est donné sur la surface libre, -~ le long de la paroi. 

Il est donc certain que la solution du problème est unique ; mais il res- 
terait à démontrer qu'il en existe assurément une. 

Les remarques qui viennent d'être faites aux deux numéros précédents 
continuent d'ailleurs à s'appliquer. 

I 38. — Par contre, les conditions précédentes perdent leur valeur si la 
pression, déterminée comme nous venons de le dire, devient négative. La 
solution correspondante devient, dès lors, inadmissible. 

Gomme la condition p >> est (n° 15M) destinée à assurer l'équilibre 
(et par conséquent, dans le cas du mouvement, l'équilibre après introduc- 
tion des forces d'inertie) contre une modification virtuelle dans laquelle des 
cavités se creusent, c'est une telle modification qui se produira dans l'hypo- 
thèse actuelle. 

Nous n'entreprendrons pas la discussion générale des cas de cette espèce. 
Elle serait fort difficile si l'on voulait tenir compte de toutes les circons- 
tances possibles, au lieu que, dans celles qui se présentent pratiquement, 
la solution est, en général, simple. 



142 CHAPITRE III 

139. 2° Cas des gaz. — Si maintenant nous passons au cas des fluides 
compressibles, la relation (13) sera résolue par rapport à p. Gomme la 
valeur de la densité en chaque point est une des données du problème, 
puisqu'on connaît les positions des diverses molécules à l'instant donné en 
fonction de leurs positions initiales, on voit que, contrairement à ce qui se 
passait dans le cas précédent, p est directement connu en tous les points. 

Dès lors, les équations du mouvement fon t connaître toutes les accélérations. 

Mais aux points situés sur la surface limite, ces accélérations doivent 

vérifier la condition (18). Il faudrait donc que la valeur (donnée en tous 

dxt 
les points) de -r- fût précisément celle qui vérifie cette relation, les compo- 
santes de l'accélération élant calculées comme il vient d'être expliqué. 

Or il n'y a aucune espèce de raison pour qu'il en soit ainsi. Lors même 
que cette concordance se serait présentée dans les instants qui précèdent 
celui que nous considérons, elle pourrait disparaître dans les instants 
suivants par un changement apporté à l'accélération normale de la paroi. 

Il ij a donc contradiction. 

140. — Celte contradiction se retrouve d'ailleurs dans le calcul des 
accélérations d'ordre supérieur. Il est clair qu'en différentiant les équations 
(1) par rapport au temps, comme il a été indiqué pour les liquides, on 
connaîtra les accélérations en queslion en tout point du fluide et qu'il sem- 
blera a priori n'y avoir aucune raison pour qu'à la surface ces accéléra- 
tions coïncident avec celles de la paroi. 

Nous pourrions d'ailleurs aller encore plus loin si nous raisonnions par 
analogie avec ce qui se passe dans la Mécanique classique. Dans les pro- 
blèmes que pose celle-ci, du moment qu'on peut, à tout instant, calculer 
les accélérations en fonction de la position et des vitesses du système, il en 
résulte que le mouvement de celui-ci entièrement déterminé dès qu'on 
donne celte position et ces vitesses à un inslant donné. Or nous venons de 
voir qu'on peut ici, sans tenir compte du mouvement de la paroi, calculer 
les accélérations de toutes les molécules en fonction de leurs positions et de 
leurs vitesses. Donc tout le mouvement ultérieur devrait être également 
déterminé indépendamment du mouvement de la paroi. 

Plus généralement, le mouvement d'une portion quelconque du fluide 
serait déterminé sans qu'on ait à tenir compte du mouvement des régions 
voisines : ce qui est évidemment absurde. 

Nous allons, dans les chapitres qui vont suivre, apprendre à lever cette 
contradiction apparente. 



CHAPITRE IV 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 



§ 1. — CAS DE LA VITESSE- DE PROPAGATION CONSTANTE 

141. — Pour élucider la difficulté qui a fait l'objet du chapitre précé- 
dent, nous allons d'abord nous placer dans un cas particulièrement simple 
et où les équations du problème peuvent êlre intégrées : celui du mouve- 
ment rectiligne ou mouvement par tranches. 

C'est l'étude de ce mouvement qui fait l'objet de l'important Mémoire 
de Riemann (') auquel nous avons fait allusion au n° 69. C'est à elle éga- 
lement que sont consacrés deux des Mémoires publiés en 1887 par Hugo- 
niot ( 2 ), lequel retrouva sans les connaître, une grande partie des résultats 
de Riemann. 

On suppose que le récipient dans lequel est renfermé le gaz a la forme 
d'un cylindre droit dont la surface latérale est fixe, les bases seules étant 
formées par des pistons mobiles. De plus, à un instant quelconque il est 
supposé que, dans toute section parallèle aux bases, la densité est à un ins- 
tant quelconque, constante, ainsi que la vitesse, laquelle est parallèle aux 
génératrices. Dans ces conditions, l'état d'un point quelconque du milieu 
et sa vitesse ne dépendront que de l'abscisse de ce point, comptée 
parallèlement aux génératrices. Le problème se réduira à exprimer, en 
fonction de l'abscisse primitive a et du temps t, l'abscisse actuelle x, 



(!) Vber die Fortpflanzung ebener Luftioellen von endlicher Schwingungsweite 
(Mémoires de l'Ac. des Se. de Gôttingne, tome VIII; 1860). La traduction française, 
due à M. Stouff, occupe les pages 177-203 de l'édition des Œuvres de Riemann tra- 
duites par M. L. Laugel (Paris, Gauthier- Villars, 1898). 

( 2 ) Journal de l'Ecole Polytechnique, tome XXXI11 ; 1887. 



144 CHAPITRE IV 



ainsi que la densité p et la pression p. Au lieu de p, il nous sera commode 



ici d'introduire la quantité inverse L °=wou dilatation, laquelle aura pour 
expression 

(1) » = & = **. 

v p ûa 

w est partout inversement proportionnel à p, si la densité p de l'état 
initial est constante. Nous supposerons toujours, sauf indication contraire, 
l'état jnitial choisi de façon qu'il en soit ainsi, 

D'après les conclusions auxquelles nous sommes parvenus au chapitre 
précédent, la pression sera une fonction de o> : Si on adopte la loi de 
Mariotle, c'est-à-dire si on suppose la température constante, on aura 

(2) p = K P = ^ (* = K Po ); 

si au contraire, comme il y a lieu de le faire, on choisit la loi adiabatique 
de Poisson, on écrira 

(2') p = Kp' n = ku- m (k = Kp wl ) 

dans laquelle, comme nous l'avons vu (n° 126), k est une fonction de 
l'abscisse initiale a, mais se réduit à une constante si, à un instant quel- 
conque du mouvement, le fluide a été à une pression et à une température 
uniformes dans toute la masse. 

On remarquera que la formule (2) peut-être considérée comme un cas 
particulier de (Z) : elle se déduit de celle-ci en faisant m = i. 

Nous n'allons pas quant à présent, préciser la forme de la relation qui 
existe entre la pression et la densité, et nous l'écrirons sous la forme géné- 
rale du (n° 131), soit ici 

(3) p = o (w) 
où la fonction © (w) peut dépendre de a. 

142. — Toutefois, nous devons nous rappeler que la fonction © ne 
peut pas, même à priori, être absolument quelconque. Nous savons, en 
effet (n° 131), qu'en augmentant la pression, la densité doit augmenter 
et le volume spécifique diminuer : on doit donc avoir, en tout cas, 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 145 

143. — Nous prendrons les variables de Lagrange, soit ici a eU. Il sera 
d'ailleurs inutile, celte fois, d'employer la notation o pour désigner les 
dérivées prises dans cette hypothèse, aucune confusion n'étant à craindre. 

Les équations (1) du chapitre précédent (n° 124) se réduiront à la pre- 
mière d'entre elles : dans celle-ci, la quantité -- devra être remplacée par 

bOO 





bp 




ba _ 1 bp 
ùx to f>a * 




ba 


L'équation devient alors 




(5) 


1 bp „ b 2 x 

p ba bt 2 ' 



Dans le cas général, p pourra être une fonction de w = — et de a. Si, 

par exemple, la loi de détente est celle de Poisson, la quantité k qui figure 
dans la formule (2') pourra être une fonction de a. L'équation (5) s'écrira 
alors 

bt* 



, fiN i Ydk /bx\~ m , /bx\ m ~ ï &x~\ Y 

( 6 > p~ [dû [b-a) - mk [ta) <] = X ~ 



Nous nous attacherons toutefois principalement au cas où la relation (3) 
est la même pour toutes les valeurs de a et où, en même temps, il n'y a 
pas de forces extérieures agissantes, de sorte que X est nul dans l'équa- 
tion (5). Posant alors 

(7) -^ ¥'(«>) = *(<■>)> 

Po 

cette équation deviendra 

v ' bt 2 T v J ba 2 Y \ ba/ 



b*&_ 
ba 2 



équation aux dérivées partielles du deuxième ordre qui détermine l'in- 
connue x comme fonction des variables indépendantes a, /. 

144. — Nous allons, pour commencer, simplifier encore la question 
en remplaçant la fonction (positive d'après l'inégalité (4)) <\> (w), par une cons- 
tante 2 . C'est à quoi l'on est conduit lorsqu'on étudie les petits mouve- 
ments du fluide. Si, en effet, on suppose infiniment petits les écarts des 
molécules par rapport à leurs positions initiales et leurs vitesses, <V ( w ) 
différera très peu de la valeur ^ (i) qu'il prend dans l'état initial. 



146 CHAPITRE IV 

L'hypothèse ty (w) = 8 2 — constante s'appliquerait d'ailleurs aux mou- 
vements d'amplitude finie si l'on prenait pour la fonction © l'expression 

(3') © (co) = C - p o 0*u> 

G étant une constante. 

Mais il est clair qu'une telle expression pour la pression ne serait pas 
admissible, du moins pour un gaz, puisqu'elle deviendrait négative pourw 
suffisamment grand. 

Une loi de cette espèce pourrait tout au plus convenir théoriquement à 
un liquide légèrement compressible. Dans un tel fluide, en effet, p varie- 
rait entre des limites très étendues pour de très faibles variations de w et 
s'annulerait pour une certaine valeur finie de celte quantité. Mais dans la 
réalité, bien entendu, le phénomène serait limité, pour une certaine valeur 
positive et non nulle de p, par la vaporisation du liquide. 

145. — Moyennant la simplification précédente, l'équation (8) s'écrit 

Cette équation est celle des cordes vibrantes ; son inlégrale générale est 
bien connue : elle s'écrit 

(9) * = g-I/i (« r^.00 -f-/;(« — OjO]. 

Toute la question se réduit donc à choisir les fonctions /i et f. 2 de manière 
satisfaire : 1° aux conditions initiales; 2° aux conditions aux limites 
Prenons pour origine des coordonnées l'une des exlrémilés du tuyau ; et 
soit l la longueur de celui-ci. a variera donc entre et l. 

Pour t = nous supposons données les valeurs de x et celles de —, soit 

x et ( — - ) : on aura donc pour << a <C l 

( ft {a) + /&"(«) =2x 

(10) j.iy.f.)-r.M] = »(*).• 

La seconde de ces deux équations s'intègre immédiatement et donne 
(11) 6 [/; (a) — f, (a)] = F (a) — F (o) -h constante, 

F (a) étant la primitive de 2 ( — ) . Quant à la constante, on peut la sup- 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 147 

poser nulle : car la valeur (9) de x ne change pas si on ajoute une cons- 
tante à la fonction /i, en retranchant cette même constante de la fonc- 
tion f 2 . Or cette opération ajoute au premier membre de l'équation (10) 
une constante arbitraire. 

Les équations (10), (11) nous font connaître les fonctions f i et f 2 pour 
toutes les valeurs de l'argument comprises entre et /. 

146. — Faisons maintenant intervenir les conditions aux limites. Nous 
supposons connues à chaque instant les positions des pistons qui ferment 
le tuyau à ses deux extrémités. Nous aurons donc pour chaque valeur 
positive de t les valeurs de x correspondant à a = et à a = l. 
Il est aisé ( J ) de montrer directement que ces conditions achèvent de déter- 
miner les fonctions inconnues. Il nous sera commode, ici, d'employer une 
représentation géométrique. 

Nous considérerons a, t et x comme des coordonnées dans l'espace, le 
plan des a t étant pris comme plan horizontal de projection. La solution 
cherchée sera alors représentée par une portion de surface, a étant par défi- 
nition compris entre et /, et t positif, celte portion de surface sera forcé- 
ment limitée à trois plans : l'un T, qui est le plan des a x, le second qui 
est le plan des tx, le troisième L qui est le plan a = /. 

Dans la figure 10, nous employons comme plans de projection, outre le 
plan horizontal, les plans auxiliaires T, 0, L. 

On peut poser 

Xi -+- x* 

00 ,== "S> — 

où #! représente la fonction /J (a-\-U) et x 2 , la fonction f 2 (a — 8z). Les 
équations 

x, = fr (a + Ot), 

œ i = fi ( a — °0 

représenteront deux cylindres K t et K 2 , dont l'un aura ses génératrices 
parallèles à la droite d i représentée par les équations 

(12) x = , a+Qt=l; 

l'autre à la droite d 2 représentée par les équations 

(12') x = , a — 6^ = 0; 

0) Voir, par exemple, Jordan, Cours d'Analyse, tome III. 



■■I 



148 



CHAPITRE IV 



et la valeur cherchée de x sera la moyenne entre les ordonnées de ces deux 
cylindres. 

D'après les équations (10) et (11), nous connaissons les courbes yi, Ta 
[fiff. 10), suivant lesquelles nos deux cylindres coupent le plan T. 

Nous connaîtrons donc une portion du cylindre K lt celle qui est projetée 
horizontalement suivant le triangle formé par l'axé des a, celui des t et la 
droite rf 4 . De même nous connaîtrons une portion du cylindre K 2 projetée 
suivant le triangle limité par l'axe des t, la trace de L et la droite d 2 . Si 

L 




nous appelons r, et r 2 les sections de nos cylindres par le plan 0; V' t et r' 2 , 
les sections de nos cylindres par le plan L, nous aurons ainsi immédia- 
tement une portion A 4 B, de la courbe T 4 et une portion A'jB', de la 
courbe r' 2 . 



147. — Gela posé, l'effet des conditions aux limites est de nous faire con- 
naître les sections a p, a'p' (fig. 10) de la surface cherchée par les plans 
et L. Nous pourrons donc de l'arc AjBj, une fois obtenu, déduire l'arc 
correspondant A 2 B 2 de T 2 pendant que la même construction nous donnera 
l'arc A', B\ de r' t qui correspond à A' 2 B' 2 . 

Nous aurons ainsi deux nouvelles nappes de nos cylindres. Du premier. 



MOUVEMENT RECT1LIGNE DES GAZ 149 

nous connaîtrons maintenant tout ce qui se projette entre les traces des 
plans 0, T, L et la droite d\ représentée par l'équation a -+- 0£ = 21 ; du 
second, la partie projetée entre les mêmes traces et la droite d' 2 , qui a pour 
équation Qt — a = l. 

Ces deux nouvelles nappes détermineront un nouvel arc B t C 4 de r 4 et 
un nouvel arc B' a C 2 de r' 2 , d'où l'on déduira par le moyen des courbes 
a p, a' p', un arc B\ C\ de V\ et un arc B' 2 C' a ; etc, etc. 

La résolution du problème n'offre donc aucune difficulté. 

148. — Il nous reste à nous demander sous quelle forme se présente la 
contradiction rencontrée au chapitre précédent. Celte contradiction est en 
évidence sur l'équation (8'). En effet, à l'instant initial, aux extrémités du 

tuyau, la quantité — 2 ne dépend que du mouvement de la paroi. Or elle 
doit être égale à la quantité 8 2 —4, laquelle ne dépend que de l'état initial; 

et ces deux données sont indépendantes l'une de l'autre, puisque en ce qui 

concerne leurs positions initiales, les molécules fluides ne sont assujetties 

qu'à être en contact avec la paroi à l'instant t = 0. 

Sur la figure 10, nous nous rendrons compte aisément de ce qui se passe 

si les deux données dout nous venons de parler, savoir l'accélération ini- 

b 2 a?- 
tiale du piston, et la quantité ô 2 — ^ relative aux particules fluides en contact 

avec ce piston ne sont pas égales entre elles. 

Nous avons vu en effet, que la seule connaissance de l'état initial, abs- 
traction faite du mouvement des pistons, nous fait connaître une partie du 
cylindre Ki et par conséquent la valeur de œ i pour toutes les valeurs de a 
et de t (positives) suffisamment voisines de 0. Au contraire, le cylindre K 2 
n'est pas entièrement connu dans ces conditions au voisinage de l'ordonnée 
a = 0, t — 0, puisque la portion connue est limitée à la génératrice pro- 
jetée suivant d 2 . La courbure de cette portion connue du cylindre K 2 

dépend évidemment de la valeur de — 2 « 

La construction de la nappe suivante du cylindre K 2 dépend, elle, de 
l'arc A 2 B 2 , et par conséquent du mouvement du piston : la courbure de 
cette nappe dépend donc de l'accélération initiale de celui-ci. 

Il est évident, d'après ce qui précède, et d'ailleurs bien aisé à constater 
directement que la condition pour que les courbures des deux régions voi- 
sines du cylindre K 2 soient les mêmes est précisément l'égalité des deux 

ô OR ?> T* 

quantités —^ et 6 2 — - 2 dont il vient d'être question. 



ISO CHAPITRE IV 

149- — Lorsque cette égalité n'a pas lieu, la courbure du cylindre K 2 
étant discontinue tout le long de la génératrice projetée suivant d%, il en 

.j , , j , • , h 2 X ti 2 X d 2 a? 

est de même des dérivées — ~, , — r . 

Si, par conséquent, nous considérons une valeur de t positive, mais 
petite, ce qui revient à couper la figure par un plan parallèle à celui desaor, 

nous voyons que la dérivée — = de la dilatation, continue en général (du 

moins pour les points voisins de l'extrémité du cylindre), éprouvera une 
discontinuité au point dont la projection est sur la droite d. 2 . A mesure 
que t augmentera, les particules entre lesquelles se produira celte discon- 
tinuité iront en s'éloignant de l'extrémité. 

De même, si nous considérons une molécule déterminée, voisine de l'ex- 
trémité, ce qui revient à couper la figure par un plan perpendiculaire à 
l'axe des a, nous constaterons que l'accélération de cette molécule éprou- 
vera une discontinuité à un instant très voisin de l'instant initial si la mo- 
lécule en question est très près de l'extrémité, la valeur t qui correspond 
à la discontinuité allant en augmentant à mesure que l'on considère des 
points plus éloignés du piston. 

En un mot, nous reconnaissons là une onde du second ordre telle que 
nous l'avons étudiée au chapitre II. Cette onde se propage dans le sens 
positif avec une vitesse qui (rapportée à l'état initial tel que nous l'avons 
choisi), n'est autre que 6, puisque l'équation de la droite d 2 est a = Qt. 

Grâce à la présence de cette discontinuité, la contradiction relevée au 
chapitre précédent disparaît. Pour Qt — a très petit et négatif, les deux 

quantités —7 et G 2 — ^ ont une même valeur, celle qui est déduite de l'état 

initial à l'extrémité a = 0. Si Qt — a est très petit et positif, elles ont en- 
core une même valeur, l'accélération initiale du piston. 

150. — Si un phénomène analogue se passait à l'extrémité opposée du 
cylindre, il donnerait lieu à une discontinuité affectant évidemment le 
cylindre K, et non plus le cylindre K 2 . Celle-ci se produirait en tous les 
points de la génératrice projetée suivant d x . Elle se propagerait donc 
encore avec la vitesse 6, mais dans le sens négatif celte fois. 

151. — En particulier, ceci aura lieu (sauf dans des cas exceptionnels), 
lorsque l'onde née, en l'instant initial, à l'extrémité a = 0, et dont la pro- 
pagation est représentée par la droite d 2 , atteindra l'extrémité a = l. Le 
cylindre K 2 ayant, en effet, sa courbure discontinue suivant la génératrice 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 151 

correspondant à cette onde, il en sera de même de la courbe 1%. Si la cour- 
bure de la ligne a'P'y' ... n'offre pas, précédemment au même point, une 
variation de grandeur convenable, la ligne r t et par conséquent, le cylindre 
Kj auront leurs courbures discontinues. 

En un mot, l'onde primitive née à l'extrémité a = 0, et qui se propa- 
geait avec la vitesse 6, se réfléchira sur le piston a = l> c'est-à-dire qu'elle 
engendrera, lors de sa rencontre avec celui-ci, une onde analogue se propa^ 
géant avec la vitesse — 8. 

152. — Si les deux quantités — 2 et 8 2 — j sont égales entre elles pour 

l'extrémité à l'origine des temps, la courbure du cylindre K 2 sera con- 
tinue. Mais la singularité étudiée au chapitre précédent pourra se produire 
pour les dérivées du troisième ordre de ce. L'équation (8') donne, effecti- 
vement,* 



(13) 



M 2 M U' à 



égalité dont le premier membre nous est fourni par l'état initial du gaz, et 
le second par le mouvement du piston. Lorsque cette égalité n'aura point 
lieu, il se produira une discontinuité du troisième ordre qui affectera suc- 
cessivement les différents points de la figure 10 projetés suivant d 2 et qui, 
par conséquent, se propagera encore avec la vitesse 0. 

Comme précédemment, de telles discontinuités du troisième ordre pour- 
ront être de deux espèces, se propageant avec la même vitesse 8, mais dans 
des sens différents ; les unes naîtront à l'extrémité a = du tuyau, les 
autres à l'extrémité a = l. 

Si l'équation (13) était, à son tour, vérifiée, il pourrait cependant naître 
une discontinuité du quatrième ordre; et ainsi de suite. 

153. — On voit même clairement ici comment pourrait se produire une 
discontinuité d'ordre infini. C'est ce qui arriverait si, la première nappe du 
cylindre K 2 (celle qui est fournie par l'état initial) étant analytique, la 
seconde nappe n'était point le prolongement analytique de la première, 
mais avait avec elle un contact d'ordre infini. 

1 54. — On pourrait enfin se placer au point de vue adopté au n° 1 40, en 
considérant successivement deux mouvements M lt M 2 qui coïncident 
jusqu'à l'instant initial, mais pour lesquels les mouvements du piston 
a = soient différents à partir de cet instant. Le cylindre K 2 serait alors 



152 CHAPITRE IV 

modifié à partir de la génératrice projetée suivante^, ligne qui marquerait 
la loi suivant laquelle se propagerait la modification. 

Lors même que le mouvement du piston a = l resterait inaltéré, le 
cylindre K t changerait (par suite du changement de la courbe r' 2 ) à partir 
du moment où celte propagation atteindrait l'extrémité du tube : là encore, 
il y aurait réflexion. 

155. — Revenons au cas d'une discontinuité née à l'instant initial et à 
l'extrémité a = 0. 

En un point projeté sur d 2 , mais dans une région où la courbure du 
cylindre K 4 est continue ainsi que ses dérivées, il y aura compatibilité : la 
discontinuité restera unique non seulement à l'instant qui correspond à ce 
point, mais aux instants précédents et suivants. 

11 en sera de même pour un point projeté sur d t seul, si du moins, à 
l'origine des temps, une discontinuité s'est produite pour a — L 

Considérons, au contraire le point de rencontre des droites d it d 2 . Ce 
point correspond à une valeur t x de t pour laquelle existe une disconti- 
nuité unique. Seulement cette discontinuité affecte à la fois les deux 
cylindres K t et K 2 . Il n'y a point compatibilité : toute valeur de t diffé- 
rente de t l correspondra à une perpendiculaire à l'axe des t qui coupera d i 
et d 2 en deux points distincts. On voit bien ici, conformément à nos consi- 
dérations générales du n° 105, qu'une discontinuité sans compatibilité 
n'est autre chose que la superposition, à un instant isolé, de deux discon- 
tinuités qui se rencontrent. 

Dans le problème actuel, la condition de compatibilité se présente sous 
une forme particulière et très simple : elle est évidemment qu'une seule 
des deux fonctions /i et / 2 , ait ses dérivées discontinues. Par exemple, si 0, 
est positif, il faudra que la dérivée seconde de la fonction f x n'éprouve 
aucune variation. Or, on a 

(14) [g] =[/!'] H- .[/•/} 

En éliminant [ff] qui, lui, est en général différent de zéro, il vient 

(15) »M-0-[g] + S[£]. 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 153 

On aurait une troisième condition analogue à (14), (14') en envisageant 
l'accélération. Mais, dans le problème actuel, celle-ci n'est pas une quantité 
distincte : elle doit être considérée comme déterminée par l'équation (8), à 
l'aide des autres dérivées du second ordre. La condition que l'on obtient en 
l'introduisant n'est évidemment autre que (14). 

Si la discontinuité était d'ordre quelconque n, on n'aurait de même à 
considérer que les dérivées d'indice zéro ou un, toutes les autres se calcu- 
lant en fonction des premières par le moyen de l'équation aux dérivées 
partielles. La condition de compatibilité correspondante sera donc 

150. — Maison n'aura pas seulement une seule condition de cette 
espèce, celle qui correspond à l'ordre même de la discontinuité. Quel que 
soit cet ordre n , on devra en outre écrire toutes les conditions (16), en 
nombre infini, correspondant aux différentes valeurs de n supérieures à n , 
et qui seront les conditions de compatibilité d'ordre supérieur, dont nous 
avons obtenu la partie cinématique aux n os 119-1S3. 

Par exemple, pour une discontinuité du second ordre se propageant 
dans le sens positif, on devra avoir les conditions (15) mais aussi les con- 
ditions qui expriment que la fonctionna sa dérivée troisième, quatrième, etc., 
continues. 

Si, à un instant quelconque t i} ces conditions n'étaient pas vérifiées, la dis- 
continuité du second ordre marchant dans le sens positif se doublerait d'une 
discontinuité du troisième, du quatrième, .... ordre qui se séparerait de la 
première aux instants voisins de t t et se propagerait dans le sens négatif. 

Ici, comme on le voit, ces conditions de compatibilité des différents 
ordres sont indépendantes les unes des autres. 

157. — La considération des deux fonctions f i et / 2 permettra d'expri- 
mer la compatibilité, dans le problème actuel, même pour une disconti- 
nuité d'ordre infini (n° 76). 

Supposons en effet, que, dans une partie du tube, ce et — soient, à 

l'instant initial, des fonctions analytiques de a pour a << a i ; et que, 
pour a >> a it ces mêmes fonctions cessent d'être le prolongement analy- 
tique des premières, leurs dérivées de tous ordres par rapport à a étant 
cependant continues pour a = a r La condition pour que, dans cette dis- 



Voi CHAPITRE IV 

continuité d'ordre infini, il y ait compatibilité avec propagation dans le 
sens positif est que la fonction /j soit analytique et régulière. Or, cette 
fonction peut se calculer à l'aide des données précédentes par l'intermé- 
diaire des équations (10) et (11). 

Si, en même temps que le mouvement M 1} on en considérait un autre M 2 
qui, à l'instant initial, coïnciderait avec M { dans une région R du tube et 
en serait distinct dans une autre région R' contigiie à la première, les deux 
mouvements M, et M 2 seraient identiques, à un instant quelconque t, dans 
une certaine région R, et distincts dans une autre région R' t . Le point de 
séparation de ces deux régions irait en se déplaçant, avec la vitesse 8, en 
général vers la région R. On peut dire encore qu'il y aurait compatibilité 
si, au contraire, le déplacement de ce point avait lieu vers la région R'. Tl 
faudrait pour cela que Tune des deux fonctions f t et /* 2 , calculées comme 
nous venons de le dire, fût la même pour M l et pour M 2 . 

158. — L'étude de la propagation des discontinuités, telle que nous 
venons de la rencontrer, est en rapport direct avec la théorie des caracté- 
ristiques des équations aux dérivées partielles du second ordre, dont nous 
allons rappeler sommairement les principes, en renvoyant pour les détails 
aux traités bien connus de M. Darboux et de M. Goursat ( 1 ). Nous retrou- 
verons d'ailleurs cette théorie sous une forme plus générale dans les cha- 
pitres suivants (chap. VII). 

Soit l'équation dé Monge- Ampère, c'est-à-dire l'équation 

(17) A (r* — s 2 ) + Bf -h 2Cs -h B't -+- D == 

dans laquelle r, s et t désignent les dérivées partielles du second ordre 
d'une fonction inconnue z de x et de y\ pendant que A, B, B', C, D sont 
des fonctions données de x, y, z, ainsi que des dérivées partielles du pre- 
mier ordre p et q. Si x, y, z sont considérées comme les coordonnées d'un 
point de l'espace, toute fonction z de x et de y satisfaisant à celte équation 
représentera une surface intégrale. 

Une telle surface est, en général, déterminée par les conditions de 
Cauchy, lesquelles consistent à se donner, en tous les points d'une courbe y 



(!) Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, tome III, p. 263 et suiv. — Gour- 
sat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, 
tome I. 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 155 

du plan des x y, les valeurs de s et de ses dérivées premières p, q. Celles- 
ci devront évidemment être telles que la relation 

(18) dz = pdx -f- qdy 

soit vérifiée pour un déplacement effectué suivant y. 

Géométriquement, cela revient à se donner une courbe gauche V (pro- 
jetée suivant y) par laquelle doit passer la surface cherchée, ainsi que le 
plan tangent à cette surface en chaque point de la courbe. 

Pour résoudre le problème de Cauchy, c'est-à-dire pour déterminer la 
solution d'après ces données, on cherche d'abord les valeurs de r, s et t en 
chaque point de y : ces quantités doivent évidemment vérifier les con- 
dilions 

dp = rdx -h sdy, 



(19) 

1 dq = sdx -+- tdy 

(les différentielles correspondant toujours à un déplacement effectué sui- 
vant y) et, d'aulre part, l'équation (17). Cette dernière est du second degré, 
du moins si A ;zf 0. Cependant, si l'on tire des équations (19) les valeurs 
de deux des quantités r, s et t en fonction de la troisième, le premier 
membre de (17) deviendra, par rapport à celle-ci, du premier degré. 

(Cela tient à ce que, si l'on considère, non plus x, y et z, mais r, s et t 
comme des coordonnées cartésiennes, la droite représentée par les équa- 
tions (19) est parallèle à une génératrice du cône asymptote de laquadrique 
qui correspond à (17) ). 

On trouve, en prenant s comme inconnue : 

C s [A (dp dx -h dq dy) -+- Bdy- - 2 Gdœ dy -h B'dx 2 ] 
( = Adp dq -+- Bdp dy -h B'dq dx + Bdx dy. 

Dans les équations que nous aurons à étudier, le coefficient A est 
d'ailleurs nul et le caractère linéaire des équations (17), (19) apparaît à 
première vue. 

Un calcul tout semblable fera connaître les dérivées du troisième ordre 

b^r tfz tfz 
ï># 3 àx 2 ôî/ ï>x by 



2 et d'une manière générale les dérivées de tous ordres de 



la fonction cherchée en chaque point de T. 

Si donc on sait que cette fonction est holomorphe, elle est parfaitement 
déterminée, puisqu'on a tous les coefficients de son développement. 

Inversement, d'ailleurs, lorsque les données sont analytiques et régu- 
lières, on démontre, à l'aide du théorème de M me Kowalewsky ( i ), que la 

(») Comparer ch. VII, n° 281. 



156 CHAPITRE IV 

solution ainsi déterminée existe : il résulte de ce qui précède qu'elle est 
unique. 

159. — Mais il en est autrement si l'équation du premier degré (20) 
est impossible ou indéterminée, ce qui arrive pour 

(21) A {dpdx -h dqdy) H- Bdy* - 2Cdxdy -h B'dcc 2 = 0. 

Si cette condition est seule vérifiée, le problème qui consiste à cher- 
cher r, set t est en général, impossible. Ecartant cette hypothèse sur 
laquelle nous aurons à revenir plus loin, nous admettrons que les équa- 
tions (17) et (19) sont compatibles. La condition pour cela est que Ton 
ait, outre l'équation (21), la suivante 

(22) Adpdq -h Bdp dy -h B'dq dx -+- Bdx dy = 0. 
Si A est nul, l'équation (21) se réduit à 

(21') Bdy* — 2Cdx dy 4- B'dx* = 0. 

Elle définit, pour chaque système de valeurs de x, y, z, p, q, deux va- 
leurs X 4 et X 2 du coefficient angulaire X = -£ de la tangente à y. 

Si l'on a, par exemple M- = à 1§ la relation (22) devient 

(22') X â (Bdp -h Bdx) -h B'dq = 0. 

Lorsque les conditions (21) et (22) sont vérifiées, nos équations ne déter- 
minent plus r, s et t, et il semble que l'une de ces trois quantités puisse 
être choisie d'une façon entièrement arbitraire en chaque point de y. 

Ce n'est point toutefois ce qui a lieu : Si, en effet, on considère les déri- 

ô 3 ^ o 3 Z b 9 Z 

vées suivantes ~ » — 2 — » - 2 , on voit que les équations qui doivent les 

oX ox ou ox oy 

fournir ont également pour déterminant le premier membre de (21) (ce qui 
est évident pour A = 0, les coefficients de ces équations étant alors les 
mêmes que ceux des équations (17), (19)) : il y aura donc une condition 
de possibilité, laquelle consiste en une équation différentielle linéaire du 
premier ordre à laquelle' doivent satisfaire r, s et t. Le choix de ces der- 
nières ne comporte donc qu'une constante arbitraire. Quant aux dérivées 
du troisième ordre, une fois vérifiée l'équation différentielle dont nous 
venons de parler, elles deviendront à leur tour indéterminées ou plutôt, 
comme le montre la considération des dérivées quatrièmes, elles dépen- 
dront d'une nouvelle constante arbitraire. 



MOUVEMENT RECT1LTGNE DES GAZ 157 

Chaque ordre de dérivation introduira ainsi une nouvelle constante. 
Il y a donc lieu de penser que le problème posé admet, cette fois, une 
infinité de solutions. On démontre (*) que c'est ce qui a lieu en effet. 

160. — Supposons maintenant que l'on parted'une surface intégrale 2 
donnée. Sur cette surface, l'équation différentielle (21) définira deux 
familles (une courbe de chaque famille passant par un point quelconque 
de la surface) et sur chacune d'elles on aura d'ailleurs la condition (22) 
puisque le contraire serait en contradiction avec l'existence même de la 
surface S. 

Les courbes ainsi définies sont dites les caractéristiques situées sur la 
surface. 

161. — Demandons-nous maintenant s'il peut exister une autre surface 
intégrale tangente à la première tout le long d'une courbe r. D'après ce 
qui précède la condition nécessaire et suffisante à cet effet sera que Y soit 
une caractéristique, du moins si l'on suppose les deux surfaces analy- 
tiques. 

Nos raisonnements n'excluraient pas, à la rigueur, l'existence de deux 
surfaces intégrales (non analytiques) ayant entre elles, suivant une 
courbe r, caractéristique ou non, un contact d'ordre infini ( 2 ). 

162. — De la propriété fondamentale des caractéristiques résulte évi- 
demment que ces courbes seront conservées dans tout changement de va- 
riables. 

Plus généralement, les caractéristiques sont conservées dans toute trans- 
formation de contact ( 3 ). 

Considérons, par exemple, la transformation de Legendre qui, aux 
variables x, y, z et aux dérivées partielles p, q fait correspondre des quan- 
tités analogues x v y lt z if p„ g t définies par les formules 

a?i = P, 2/i == ît z i = pœ -h qy — z, 
Pi =#,$!= y. 



(i) Voir plus loin, ch. VII, n° 319. 

( 2 ) Voir la note I à la fin de l'ouvrage. 

( 3 ) Pour la définition et les propriétés fondamentales des transformations de con- 
tact, voir Goursat, Leçons sur V intégration aux dérivées par délies du premier 
ordre, ch. xi, Paris, Hermann. 



158 CHAPITRE IV 

Dans cette transformation, les nouvelles valeurs des dérivées secondes 
sont 

r * ~ rt — s 2 ' Sl = "" ri — s 2 ' tf ~ rf^J 2 ' 

Appliquée à l'équation (17), celte transformation donne une équation 
analogue dans laquelle A, B, B', C, D sont changés en D, B', B,-C, A. 

D'ailleurs, deux surfaces tangentes quelconques sont changées en deux 
surfaces tangentes. Donc les caractéristiques de la nouvelle équation corres- 
pondent à celles de la primitive. 

Ce que nous venons de dire pour la transformation de Legendre peut 
d'ailleurs se répéter pour toutes les transformations de contact : celles-ci 
changent une équation quelconque de la forme (17) en une équation de 
même forme et les caractéristiques en caractéristiques. 

163. — On doit toutefois se rappeler qu'à une intégrale de l'une des 
équations ne correspond pas toujours une intégrale proprement dite de 
l'autre, parce qu'à une surface, la transformation considérée peut faire 
correspondre une courbe (ou même un point unique). C'est ainsi que, dans 
la transformation de Legendre (qui équivaut, comme on sait, à une trans- 
formation par polaires réciproques) toute surface développable est changée 
en une. courbe. Lie ( l ) a indiqué une définition générale de l'intégrale 
d'une équation telle que (17), d'après laquelle une telle courbe peut être 
considérée comme une intégrale de cette équation, au même titre qu'une 
surface. Sans reprendre les considérations d'où on tire cette définition, on 
peut dire qu'une courbe est une intégrale dégénérée de l'équation (17), si 
la surface développable en laquelle elle est changée par la transformation 
de Legendre est une intégrale de l'équation transformée. 

164. — Enfin, si A étant nul, les coefficients B, B', C sont fonctions 
de oc, y seuls, l'équation (21') pourra être considérée comme une équation 
différentielle ordinaire entre ces deux quantités. Si le discriminant BB' — C 2 
est différent de 0, celte équation aura deux séries de courbes intégrales 
distinctes que nous pourrons désigner par X = const., Y = const. En 
prenant comme, nouvelles variables indépendantes X et Y, on fera dis- 
paraître r et t de l'équation. 



(*) Voir Goursat, Leçons sur l 'intégration, des équations aux dérivées partielles 
du second ordre, tome I, pages 49-51. 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 159 

165. — L'application de ces résultais à la théorie de la propagation du 
mouvement est immédiate. 

Si, en effet, deux mouvements de notre masse fluide sont en disconti- 
nuité du second ordre, ils correspondront, dans le mode de représentation 
géométrique qui vient de nous servir, à deux surfaces intégrales tangentes 
entre elles tout le long d'une ligne, puisque, en tout point où il y a dis- 
continuité, les dérivées premières ne changent pas de valeur. Une telle ligne 
est nécessairement, d'après les résultats précédents, une caractéristique. 

Si la discontinuité était d'un ordre supérieur au second, celte conclusion 
ne serait pas modifiée. Nous avons vu, en effet, que si les dérivées pre- 
mières et secondes de l'intégrale cherchée sont données le long de la 
courbe r, les dérivées troisièmes auront des valeurs parfaitement déter- 
minées (de sorte qu'il ne pourra pas se produire de discontinuité du troi- 
sième ordre) si la courbe T n'est pas une caractéristique, au lieu qu'elles 
pourront changer dans le cas contraire. 

Les mouvements compatibles seront évidemment ceux dont les surfaces 
représentatives se raccorderont ainsi suivant une ligne r. 

Pour l'équation (8'), les coefficients sont respectivement 1, et 6 2 . La 

caractéristique correspondra donc à -r- = ± 0. Cette quantité ± 6 repré- 
sente évidemment la vitesse de propagation, les deux familles de carac- 
téristiques correspondant aux deux sens dans lesquelles cette propagation 
peut s'effectuer. 



§ 2. — CAS GÉNÉRAL 



166. — Occupons nous maintenant d'étudier la propagation de ces dis- 
continuités sur l'équation du mouvement telle que nous l'avons primiti- 
vement obtenue, et non sur l'équation ($') que nous lui avons arbitraire- 
ment substituée. 

Cette étude n'offre d'ailleurs aucune difficulté, soit qu'on emploie les 
considérations développées au chapitre n, soit qu'on ait directement recours 
à la théorie des caractéristiques. 

Partons, à cet effet, de l'équation du mouvement sous sa forme la plus 
générale (5) telle que nous l'avons obtenue au n° 143, savoir 

(5) S £ = £ Us £* + â«) = x ~ 5? * = ? K a)) 



160 CHAPITRE IV 

Supposons que, pour une valeur déterminée de a et un instant déter- 
miné t, le mouvement présente une discontinuité du second ordre. Sup- 
posons d'ailleurs qu'il y ait compatibilité et soit 6 la vitesse de propagation. 
En désignant respectivement par les indices 1 et 2, ce qui se rapporte aux 
deux régions séparées par la discontinuité, on devra avoir 

[i>aï>t/ 2 \aau) i L\ ôa2 / 2 VôavJ 



(23) 



(?). -©), -"M-(S)J : 



Mais les quantités g^, g?^; (g)^ g) ^ doivent satisfaire 

séparément à l'équation (5) dans laquelle les dérivées premières ont les 
mêmes valeurs de part et d'autre. En retranchant membre à membre les 
deux relations ainsi écrites, il vient. 

M»J — Po Sw |_bo s J 

(24) 62 = 



ou 

61= —1*2. 

p ôto 
ou 



(24') 6 2 = «V W 

4>(w) étant la quantité définie par la formule (7). 

Nous avons ainsi la valeur de la vitesse de propagation 6. La théorie des 
caractéristiques nous aurait conduit au même résultat, 8 n'étant autre que 

le coefficient angulaire -v- de la tangente à la caractéristique, lequel est 

fourni par l'équation (21'). 

La quantité est la vitesse du son dans le gaz, sous la pression et à la 
température considérées. C'est en eftet la vitesse avec laquelle un mouvement 
quelconque (tel qu'une vibration sonore), se propage dans ces conditions. 

167. — Les relations (23) nous font, en outre, connaître les conditions 
de compatibilité. Si l'on considère le mouvement du fluide comme déter- 

b 2 £C 

miné par les positions et les vitesses des molécules à l'instant t, — - 2 sera 
une inconnue que Ton devra tirer de l'équation (5). 



MOUVEMENT RECT1LIGNK DES GAZ 161 

Au contraire, — j et — -— sont des données de la question, lesquelles 

sont discontinues pour la valeur considérée de a. Entre ces données on 
devra avoir, pour qu'il y ait compatibilité, la première relation (23), dé- 
signant la racine carrée de l'expression (24), prise avec un signe qui dé- 
pendra du sens de la propagation ('). 

Dans le cas contraire, !a discontinuité se divisera ( 2 ) en deux dont l'une se 

... A Ô9 „ , •* /l Ô'f 

propagera avec la vitesse ■+-.%■/ -, l autre avec la vitesse — \ / - —-. 

F l 6 V Po ôw V Po ôw 

Si la discontinuité était d'ordre supérieur au second, nous savons, d'après 
la théorie des caractéristiques, que la vitesse de propagation ne changerait 
pas de valeur. Pour obtenir le môme résultat en partant de nos considé- 
rations cinématiques, il suffirait évidemment de remarquer que les varia- 
tions dérivées p ièmes (p étant l'ordre de la discontinuité) formeraient alors 
une progression géométrique de raison 6 et de substituer d'autre part ces 
variations dans l'une quelconque des équations obtenues en différenciant 
p — 2 fois (5). 

Il est clair, également, que l'expression de la vitesse de propagation ne 
serait pas changée si, parmi les forces accélératrices, en figurait une qui 
soit fonction de la vitesse, ou si, d'une manière générale, la force X dépen- 
dait d'une manière quelconque, non seulement de œ, a et t, mais des 
dérivées premières de x par rapport à a et à t. 

168. — D'après ce qui précède, il est impossible de traiter de ta dyna- 
mique des gaz sans tenir compte des discontinuités qui s'y propagent : leur 
absence suppose un accord tout exceptionnel entre les données initiales el- 
les mouvements des parois. 

Cette circonstance ne se présente pas dans la dynamique des liquides, où 
l'on n'a jamais à étudier que des mouvements continus ou tout au plus des 
discontinuités stationnaires ( 3 ). 

Elle constitue une difficulté toute spéciale de l'étude des gaz. On voit, en 
effet, qu'avant d'essayer de former les équations du mouvement, il est 
nécessaire de déterminer dans quel domaine ces équations seront valables : 
ce domaine étant limité par des ondes dont il faut étudier la propagation. 



(i) Comparer ch. v, n° 243. 

( 2 ) Nous reviendrons sur ce dédoublement, dans le cas général de l'espace au 
ch. v, n° 251. 

( 3 ) Voir ch. v, n°* 244-246. 



162 CHAPITRE IV 

Aussi possède-t-on très peu de résultais généraux sur les mouvements 
des gaz. Presque tous sont relatifs au mouvement recliligne traité par 
Riemann et Hugoniot dans les Mémoires cités, et dont nous allons nous 
occuper maintenant. 

169. — Nous nous bornerons au cas où le gaz est primitivement (ou, 
du moins, peut avoir été à un instant quelconque), à une pression etàune 
température uniformes, de sorte que Péqualion du mouvement se réduit à 

W § = ♦<•>» 

où <\>(im) représente, comme nous l'avons vu la fonction «/ (w) et où 

Po 

co est la dérivée partielle — . Quant à l'autre dérivée partielle , elle n'est 

autre que la vitesse u. 

\m vitesse du son est égale à ± y <\> (co), et c'est ce qu'exprime l'équa- 
tion (21'). Ecrivons, d'autre par£, l'équation (22') : celle-ci nous donnera 
(p devant être ici remplacé par u et q par w) 

du ■=== 6 doi = ± y 4> (to) doi. 

Cette équation est intégrablè. En posant 



(25) V 7 * M = y! (»), 

où il est entendu que le radical du premier membre est pris avec le signe 
-h) elle donne 

(26) u =b x M = constante. 

170. — Ainsi chacune des familles de caractéristiques admet une com- 
binaison intégrablè. Cette remarque a conduit Riemann à prendre comme 
variables indépendantes les quantités 



(27) 

qui donnent 

(28) 

(28') 



u -+- 


xWfL 


u — 


x (co)==ti. 


U : 


£ + *) 

- 2 ' 


ffOÏ : 


-S-i 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 



163 



Four effectuer ce changement de variables, nous commencerons par 
opérer la transformation de Legendre, c'est-à-dire par prendre pour varia- 
bles indépendantes u et w, et pour fonction inconnue la combinaison 



(30) 



z = co a 



ut 



dont les dérivées partielles par rapport à u et w ne sont autre que t et a ; 
les nouvelles valeurs des dérivées secondes se calculent par les formules 
du n° 162 et l'équation (8) devient 



(31) 



tfz 



ô a)2 == ^( W ).— 2 ' 



ftw s 



Il est maintenant aisé de passer aux variables £, tq : il vient 

4 &z_ _ x'» /*£ _ ô£\ 

b£dT) X /2 ( W )\^ Ô*)/ 

ou, en tirant w de l'équation (28') 

w s*-*- -•>(?■- s =* 

/"étant une fonction définie par la relation 

i 

(33) , [2x(w)] = *£M. 

L'équation est ainsi rapportée à ses caractéristiques : elle a la forme de 
Laplace 



(34) 



b 2 xr bz , bz n 

ÔÇ Ô7) ÔÇ 07) 



171. — C'est précisément à propos de l'exemple qui nous occupe que 
Riemann (') a été conduit à imaginer sa méthode d'intégration, étendue, 
comme on sait, par M. Darboux à l'équation générale (34). 



(*) L'inconnue considérée par Riemann n'est pas z, mais une quantité w définie 
comme une intégrale de différentielle totale exacte, par la formule 

dw = — | {d% + efy) + u>x» (â| d\ — ~ dr^j 

laquelle équivaut à la formule (3) (§ II) du Mémoire de Riemann (page 183 de la 
traduction française), les relations qui servent à passer des notations de Riemann 
aux nôtres étant 



vV (p) = *>x' ( w )> /(?)=» — X ( w )' 



164 CHAPITRE IV 

Rappelons que celle mélhodc( 1 ) esta beaucoup d'égards analogue à celles 
dont nous avons parlé au chapitre I. Elle repose sur une identité toute 
semblable à celle de Green, savoir 

(35) / / [j#-(,j - z<§ (Ç)] d% rfr, ==- / Wr> - N^, 

dans laquelle 

# et £ désignent deux fonctions régulières quelconques ; 
if(z ), le premier membre de l'équation (34) ; 
g (s), le premier membre de l'équation 

(36) (Ç) - £5. - .« îf - 6 5 + (c - ? - **) ç = 0, 

V ' W b^ÔTî û£ 07) \ ÔÇ 07)/ 

dite lT 'adjointe de la proposée ; 
M, N, les expressions 

/m y 1 (y *>Z Ï>Ç\ 

(»*=-< tï(<"5-*t)= 

l'intégrale double étant étendue à une aire quelconque du plan des \ r\, et 
l'intégrale simple du second membre, au contour de cette aire. 

Cette identité étant posée, la résolution du problème de Cauchy pour 
l'équation (34), la courbe y étant un arc quelconque du plan des fa assu- 
jetti à la condition de n'être coupé qu'en un seul point par une parallèle 
quelconque à l'axe des £ et un seul point par une parallèle quelconque à 
l'axe des 7) : - — autrement dit, le calcul en un point quelconque A (£', V) 
(fig. 11) d'une intégrale z de l'équation (34), donnée par ses valeurs et 



L'équation aux dérivées partielles de Rieirann esl donc une transformée de l'équa- 
tion (32). 

Les transformations de cette espèce, applicables à une équation de Laplace et où 
intervient l'intégration d'une différentielle totale exacte, ont été déterminées par 
M. Darboux (Leçons sur la théorie des Surfaces, liv. IV, ch. vin, n° 40!8). Celle 
qui conduit à l'inconnue w correspond, dans la notation de M. Darboux, à 

|x == — 2u>x'(o>), 

la fonction p de M. Darboux étant égale à wy' (w) et la solution z' de l'équation (32) 
qui conduit à cette valeur de p n'étant autre que z' =■ w. 
i l ) Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, liv. IV, ch. iv (tome II). 



MOUVEMENT RECT1 LIGNE DES GAZ 



163 



ses dérivées premières en chaque point de y, — se ramène à la formation 
d'une fonction g (ç, r, ; £', V) qu'on peut regarder comme correspondant à 
la fonction de Green. Cette fonction g est définie parla triple condition : 

1° De satisfaire à l'équation g = 0, lorsqu'on la considère comme fonc- 
tion de £, r\ (£' et V étant constants) ; 



De se réduire, pour tj = o a <r s et, 



r^p 



pour £ = $•', 

Elle présente une propriété de réciprocité analogue à celle de la fonction 
de Green, et qui se démontre d'une manière toute semblable (*) : l'expres- 
sion g (%, 7) ; £' V) ne change pas lorsqu'on permute entre eux les points 
£> ~n î \' i V> en même temps que les polynômes différentiels &, eT (fait qui 
est immédiatement évident pour les con- 
ditions 2°, mais non pour la condition 1°). 
Cette fonction g étant formée, on la 
substituera pour Ç dans l'identité (35), 
moyennant quoi le premier membre dis- 
paraîtra, z étant la fonction inconnue 
cherchée. Quant à Taire d'intégration, on 
la limitera d'une part par la courbe y, de 
l'autre par les parallèles A B, A C (fîg. 11) 
menées respectivement aux axes des £ et 
des tj par le point A. 

En vertu des propriétés supposées à la fonction g, l'intégrale 1 Mc?t) — Nd£ 

1 1 

se réduira, sur ABà„ [(*£) B — # A ], sur A C à 5 [(zg) c — z\ et l'on 

aura 




-6 



Fig.U 



(38) 



2 [(^)b + faOc] 



£ 



Mdv — NdS, 



formule qui résout la question, puisque, dans le second membre tout est 
directement exprimable à l'aide des données. 

Inversement, si la courbe y satisfait à la condition géométrique indi- 
quée plus haut, et si, bien entendu, les valeurs de z et de ses dérivées 
données vérifient, sur y, la relation 



(39) 



, dZ ,, bZ 7 

dz = -=• dt, -+- -~ dr\, 
ôç bnrj 



(i) Darboux, Loc. cit., n° 359. 



166 CHAPITRE IV 

la formule précédente définit bien une fonction remplissant les conditions 
du problème. 

Si, au lieu de l'équation <gF= 0, on avait à intégrer l'équation 

/"étant une fonction donnée de £, ï), la même méthode réussirait encore, la 

formule (38) étant simplement complétéepar l'intégrale double / / fgA\ a\ 

étendue à notre triangle curviligne : c'est ce qui résulte immédiatement de 
la formule générale (35). 

172. — Enfin, la même méthode s'applique également au cas où la 
courbe 7 est remplacée par un système de deux caractéristiques, les valeurs 
de z seul étant données sur chacune de ces deux lignes. La formule (38) 
est alors remplacée (pour l'équation sans second membre) par 

173. — On ne dispose pas d'une méthode générale pour calculer (a 
fonction de Riemann g (£, ^ ; \\ 7)'). Mais on est assuré de l'existence de 
cette fonction dès que les coefficients de l'équation sont analytiques et ré- 
guliers ( £ ) ou même plus généralement dès qu'ils sont continus et déri- 
vables ( 2 ). 

Dans ces conditions, il résulte évidemment de ce qui précède que si la 
courbe y n'est coupée qu'en un seul point par une parallèle à l'axe des \ et 
en un seul point par une parallèle à l'axe des tq (ainsi que nous l'avons 
supposé) le problème de Gauchy admet une solution et une seule. 

D'une manière plus précise, si la fonction z et ses dérivées sont données 
tout le long d'un arc PQ satisfaisant à la condition précédente, celte fonc- 
tion est déterminée dans tout le rectangle qui a pour sommets opposés P Q 
et dont les côtés sont parallèles aux axes. 

174. — Ceci nous permet de combler pour les équations dont nous nous 
occupons en ce moment, une lacune dont nous avons signalé l'existence 



(!) Darboux, Loc. cit., tome II, pages 91-94. 

( 2 ) Darboux, Loc. cit., tome IV, pages 355-359 (Note de M. Picard). 



MOUVEMENT RECT1L1GNE DES GAZ 167 

un peu plus haut (n° 161). Supposons en effet que l'équation (17) ait la 
forme de Laplace : alors nous pourrons affirmer que deux surfaces inté- 
grales, analytiques ou non, ne peuvent avoir entre elles un contact même 
d'ordre infini tout le long d'une ligne sans que cette ligne soit une carac- 
téristique, puisqu'on pourrait alors considérer en particulier, sur la ligne en 
question, un arc le long duquel £ et ^ soient chacun constamment croissants 
de manière que la donnée de z et de ses dérivées premières le long de cet 
arc détermine complètement cette fonction dans le voisinage. 

Cette conclusion s'étend à l'équation (8). Considérons en effet le pro- 
blème de Cauchy pour celte équation, c'est-à-dire supposons qu'on se 
donne une série de valeurs de a, t, w, u, x, dépendant d'un paramètre. Ce 
problème peut être immédiatement ramené au problème analogue relatif à 

l'équation (31), puisqu'on connaîlra z et ses dérivées — =aet -- = 2 pour 
une série de valeurs de w et de u. 

La condition nécessaire et suffisante pour que ce problème cesse d'être dé- 
terminé est donc que la série de valeurs ainsi considérée soit caractéristique. 

Physiquement parlant, si l'on imagine successivement deux mouvements 
M et M' de notre masse fluide, lesquels coïncident pour t << t , a <: a , ces 
mouvements coïncideront encore, pour une valeur de t supérieure à t 0f jus- 
qu'à la valeur de a atteinte par l'onde partie de a et se propageant avec la 

vitesse négative — Vy (») i autrement dit, jusqu'à la valeur. 




Ce résultat n'avait été, jusqu'ici, établi en toute rigueur qu'en supposant 
les mouvements en question analytiques de part et d'autre de l'onde. 

175. — Dans le cas des gaz parfaits, nous avons trouvé 
(2') ç (w) = ktù~ m 

et, par suite, 

(41) 4» («) ==#»-»■- i, k' = —. 



Po 



X' (w) est donc égal à y k 1 w 2 . 



4(38 CHAPITRE IV 



Gomme celle quantité représente la vitesse du son, la constante \ k' n'est 
autre que la vitesse X du son dans l'étal initial : on a 



(42) l = V/c' = 



mk 



Si, comme cela a lieu dans la loi de détente de Poisson, m est différent 
de l'unité, il vient (en négligeant la constante additive) 



(43) 



2\/k' -^ 


2X - ftp* 

m — 1 


X»' _ ^+ 1 t0 ^ _ 
x"H 2l/A'' 


m -h 1 'V- 1 
~ 2X w 



et, par conséquent, la fonction / définie plus haut (formule 33) a la 
valeur 



(44) /(5-i) 

(45) p = „ 



lm+l 



On est ainsi amené à l'équation d'Euler 

Lorsque (3 est un entier, l'intégrale générale de cette équation s'exprime 
en termes finis : elle est (*) 

(47) -- = ^-1^-1 (-prr) 

où X et Y sont des fonctions arbitraires l'une de £, l'autre de y. 

Il se trouve que ce cas est approximativement celui de la loi de Poisson. 
La valeur généralement admise pour le coefficient m (rapport des deux cha- 
leurs spécifiques) est, en effet 1,41 ; et l'hypothèse m = 1,40 donne- 
nerait (3 = 3. 

176. — Mais quel que soit (3, la méthode de Riemann permet de 



(•) Darboux, loc. cit., n° 353 (tome II, p. 65). 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 



169 



iesoudre le problème de Cauchy. On peut, en effet, former la quantité g 
on trouve ( 4 ) 

(48) f(6 , ; f, V) = (V - - ? (1 - ?) - ? (i - S)* F (P, P. I, ») 
a désignant le quotient 

(j ~ S') (ri - V) 

a - (Ç - V) h - o 

et F la série hypergéométrique 



(49) 



+ r p(p-t-i) — (p-t-^ — in a a „ + _ 



177. _ Nous avons exclu tout à l'heure le cas de m = 1, c'est-à-dire 
celui de la loi de Mariotte où cp (u#) est donné par la formule (2). Dans ce 
cas, on a 



(50) 
(50) 



x \ fa 
X («) = /À' log « 



i .X>) 



et la quantité • / ;./ / ,. donne simplement la constante — 4? = 
L'équation (32) est donc 



•# 



(51) 



II _4- * /*£ _ ô _£\ - o 



laquelle peut d'ailleurs, par le changement de variable z =e ^ *" -s'u 
se transformer en 



(52) 



5; ÔT) 



Enfin l'on peut même réduire £ à l'unité, en prenant pour nouvelles 
variables indépendantes l\ et h\. 

L'équation ainsi obtenue, ou plutôt une équation aisément réductible à 
celle-là, est connue sous le nom Adéquation des télégraphistes. La fonc- 



(i) Ibid., n» S60. 



170 CHAPITRE IV 



tion de Riemann g (£, yj ; jj', V) est également connue pour l'équation des 
télégraphistes et par suite, pour l'équation (51) ; on a 



(53) g^vï^^e^-^-K-Wiffi-^^-ri)) 
où J désigne la fonction de Bessel 

j ( X) = i - i + A ? + ...+(- 1)» ^ ? + ... 



1 ï$. — La loi de Mariotte étant un cas limite de celle qui est représentée 
par la formule (2'), les résultats que nous venons d'obtenir doivent pouvoir 
se déduire de ceux qui ont fait l'objet des n° s 1 75-1 7G. Il semble au pre- 
mier abord, qu'il n'en puisse être ainsi et que, par exemple, l'équation (51) 
ne puisse dériver de (46). 

Pour cette déduction, il est, en effet, nécessaire de tenir compte de la 
constante additive h qui aurait dû être ajoutée au second membre de (43). 
C'est, comme on sait, en faisant croître indéfiniment cette constante 

lh= * ) que l'on passe de la formule (43) à la formule (50') pour m — 1 

infiniment petit. 

Augmentons donc 2yju>), ou son égal fj — rj, de la constante h, et rempla- 
çons en même temps, fi par Ih. L'équation (46; deviendra 



ô 2 * Ih 



ô| ôr, \ — 7] 






et si, maintenant, on fait croître h indéfiniment on retombera sur (51). 

Le même calcul peut évidemment s'opérer sur la fonction de Riemann 
donnée par la formule (48), et qui peut s'écrire 

,(^-.5'.V) = (^|f(^) P F(M,^). 

Si nous remplaçons ?) — g, y — \ par »j — ,\ + h, r/ — Ç -+■ h et (3 par Z/i le 
premier facteur deviendra 

_ W \lh 






et tendra vers e l ft - " 7 *') pour h infini. Le second facteur aura de même pour 

limite e l Œ — $. 
Quant à la série hypergéométrique F(jJ, (3, 1, <t), elle a bien pour limite la 



MOUVEMENT RECT1LIGNE DES GAZ 



171 



fonction de Bessel qui figure dans la formule (53) : le terme général de la 
série F, est, en effet, 

w [ft(P-t-l)...(P + tt-l)] 2 

== [a-^h- y /)f [lh{lh + i) ....(lk+n- i)] x ^ 



ce qui fait bien 



, K . [ _ p b - h (, -^r 



(ni)' 



pour /«, = oo 



179. — Le problème de Caucby, résolu, comme nous venons de le 
voir, par la méthode de Riemann, est-il la traduction mathématique du 
problème physique qui nous est posé? 

Pour répondre à cette question, considérons d'abord le cas d'un tuyau 
indéfini, en supposant qu'on se donne les positions des molécules et leurs 
vitesses à l'instant initial, en tous les points. Dans ces conditions, x et ses 
deux dérivées premières w et u seront connues, quelque soit a, pour t = 0. 

Nous sommes donc conduits au problème de Cauchy relatif à l'équa- 
tion (8). 

Or nous avons vu que ce problème revient au problème analogue relatif 
à l'équation (32). 

Toutefois une objection se présente à l'esprit. Nous avons remarqué que 
la possibilité du problème de Cauchy est subordonnée à ce fait que sur la 
courbe y, £ et t; sont toujours croissants ou toujours décroissants. Or il n'y 
a aucune raison pour qu'il en soit ainsi lorsque £ et n sont déduits de la 
distribution donnée des molécules etde leurs vitesses. \, par exemple, peut 
fort bien avoir un maximum lorsque a varie, t restant nul. Seulement, il 
n'en résultera pas nécessairement l'impossibilité du problème posé primi- 
tivement, z pourra, en effet, avoir plusieurs valeurs différentes pour un 
même système de valeurs de u et de to, si à ce couple de valeurs de u, w 
correspondent plusieurs systèmes de valeurs des variables indépendantes 
données a, t. Non seulement il peut en être ainsi, mais u et w peuvent 
être constants, z prenant toutes les valeurs possibles : c'est ce qui arrive 
pour le cas le plus simple, celui du fluide en repos (x = a ; u = 0, w -== i). 
En un mot, — et ce fait, que nous retrouverons dès les numéros suivants, 
est évident d'après ce que nous avons vu au n° 163, — une singularité 
de z considéré comme fonction de u, w ne donne pas nécessairement, après 
la transformation de Legendre, une singularité de x considérée comme 
fonction de a, t. 



172 CHAPITRE IV 

Malheureusement, l'inverse peut évidemment se produire. Ayant obtenu 
une valeur de z en fonction de u et de w, il faudra, pour la considérer 

b 2T bZ 

comme acceptable, calculer les dérivées — = a, — = t et s'assurer, 1° que 

Dco bu 

ces quantités peuvent être prises comme variables indépendantes ; 2° qu'el les 
prennent bien tous les systèmes de valeurs possibles pour lesquels t >> 0. 
L'examen des conditions moyennant lesquelles il en est ainsi présenterait 
sans doute quelques difficultés. 

180. — Considérons maintenant le cas du cylindre limité par des pis- 
tons. Alors x et, ses dérivées ne seront connus que pour << a <J l, et l'on 
aura ainsi seulement, dans le plan des £ tq, un arc de courbe le long de z 
et de ses dérivées par rapport à u et to seront connus. Ces données permet- 
tront de calculer z dans un rectangle du plan des \ t\ {fig. 11). Dans le 
plan des at, ce rectangle correspondra évidemment à la série des portions 
du tube qui, à chaque instant, ne sont pas encore atteintes par les ondes 
issues des extrémités. 

En dehors de la région du plan des at ainsi obtenue, il faudra tenir 
compte des conditions fournies par le mouvement du piston. Or il est aisé 
de voir que celles-ci ne peuvent pas être transformées comme les précé- 
dentes. Elles nous font connaître, en effet, pour chaque valeur de t, la va- 
leur de X-, et par conséquent, celle de u, a étant égal à ou à l. Mais la 
valeur de w ne nous est pas donnée. Il est donc impossible de tracer à priori 
la courbe correspondante du plan des £ r t . 

La transformation de Legendre et la méthode de Riemann ne peuvent 
donc conduire à la détermination du mouvement dans ces nouvelles con- 
ditions. C'est par une étude directe qu'il y aurait lieu de tenter cette déter- 
mination, et il est aisé de voir à quelle sorte de problème analytique on 
serait ainsi conduit. 

Le mouvement cherché doit, en effet, être compatible avec le mouvement 
primitif, dans lequel il se propagera suivant suivant une onde dont la 
marche est connue. Nous connaîtrons donc la valeur de x le long d'une 
ligne du plan des at, à savoir celle qui représente cette onde et qui est 
une caractéristique ('). x est, d'autre part, également donné, (par le mou- 



(i) Il doit y avoir concordance (suivant cette ligne) non seulement des valeurs de #, 
mais aussi de celles des dérivées u et o>. Mais, comme plus loin (note de la 
page 174) cette concordance des dérivées résultera de la première, pourvu qu'elle ait 
lieu initialement, c'est-à-dire pourvu que la vitesse initiale du piston soit égale à 
celle des molécules qui l'avo'isinent. 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 173 

vement du piston) le long d'une autre ligne sécante ù la première, savoir 
la ligne a = (ou a = l). C'est par cetle double condition qu'il faudrait 
déterminer une solution de l'équation (8). 

Le problème ainsi posé est beaucoup plus difficile que celui de Cauchy, 
même dans le cas d'une équation linéaire. On sait ('), lorsque les données 
sont analytiques, établir l'existence d'une solution holomorphe, mais non 
mettre celte solution sous une forme suffisamment simple et utilisable. 

Hugoniot a, au contraire, montré que ce résultat peut être atteint dans 
un cas important, celui où le gaz est primitivement en repos. 

181. Les mouvements compatibles avec le repos. — Supposons pour 
t — 0, le gaz en repos, à une pression et à une température uniforme dans 
une portion que nous prendrons pour état initial. Communiquons à l'un 
des deux pistons, celui qui correspond à a = 0, un mouvement quelconque, 
sans toutefois qu'il y ait jamais de changement brusque de vitesse. 

Un mouvement prendra naissance au contact de ce piston, mouvement 
qui se propagera dans le sens positif avec la vitesse X = y{ (1) du son. Ce 
mouvement et l'état primitif du gaz, à savoir le repos, seront compatibles. 

Il cessera d'en être ainsi à partir du moment où le mouvement ainsi créé 
est rencontré par le mouvement analogue produit par le piston situé à 
l'extrémité l, si ce piston est mobile. A ce moment naîtra un troisième 
mouvement compatible avec les deux premiers mais non avec le repos. A 
ce troisième mouvement, la théorie d'Hugoniot, telle que nous allons la 
présenter, n'est plus applicable. 

Nous saurons néanmoins écrire son équation, une fois connues les deux 
premières. 

En effet, la surface intégrale qui le représente se raccorde avec chacune 
des deux premières suivant deux caractéristiques de systèmes différents : 
savoir, une caractéristique \ = const. pour le premier des deux mouve- 
ments dont nous avons parlé plus haut (puisque la propagation du troisième 
mouvement s'y fait dans le sens négatif), une caractéristique v\ = const. 
pour le second. Sur chacune de ces caractéristiques on connaîtra la série 
des valeurs de a, t, x, u, w et par conséquent celle de z et de ses dérivées 
premières. Toutes ces quantités sont en effet supposées connues dans les 
deux premiers mouvements, et ne sont pas altérées par la discontinuité 



(*) Picard, in Darboux, Loc. cit., tome IV, p. 361-362 ; Gou rsat, Leçons sur l'inté* 
graiion des équations aux dérivées partielles du second ordre, tome II, p. 303. — ■ 
Voir plus loin ch. VII. 



174 CHAPITRE IV 

puisque celle-ci est au moins du second ordre, z étant connu sur les deux 
caractéristiques ('), on est ramené au problème du n° YH*Z. 

Mais que le second piston reste en repos ou non, il arrivera toujours un 
moment ou un nouveau mouvement prendra naissance ; c'est celui où 
l'onde partie de l'extrémité a = atteindra l'extrémité opposée. 

A ce moment, comme nous l'avons vu au n° 151 il y aura réflexion, et 
la discontinuité reviendra en arrière. Le nouveau mouvement ainsi produit 
n'est plus compatible avec le repos. Son étude ne peut pas se faire par la 
méthode que nous venons d'indiquer. Elle dépend des considérations déve- 
loppées au n° 180 et on ne possède pas, quant à présent de méthodes 
permettant de le calculer explicitement. 

182. — Dans le cas précédemment étudié, où la vitesse de propagation 8 
est constante, l'état d'équilibre est celui où les fonctions f i et /! 2 introduites 
au n° 145 ont les expressions /i [a + 6f) = a -+- Qt ; f 2 (a — Qt) = a — Ot. 

Les mouvements compatibles avec le repos sont donc caractérisés par ce 
fait que l'une de ces deux fonctions se réduit à la variable même dont elle 
dépend. La surface représentative correspondante est évidemment un 
eylindre. 

Proposons nous de déterminer ces mêmes mouvements dans le cas où la 
fonction <p est quelconque, et soit à trouver une surface intégrale 2 qui se 
raccorde avec le plan x = a suivant une caractéristique r correspondant à 



(*) Tl semble que le problème soit impossible par suite du trop grand nombre des 
conditions, puisque l'on donne, sur chacune des deux caractéristiques de raccorde- 
ment z et ses dérivées, alors que la seule donnée de z suffirait à déterminer la 
solution. Mais si ces valeurs d'une fonction z satisfaisant à l'équation de Laplace 

~&Z 

(34) sont données sur une caractéristique % — const., les valeurs de —■ satisfont, sur 
cette ligne, à la relation. 

d (î)z\ , ô* / dz , \ 

(cas particulier de (22)), qui détermine cette quantité -=• dès qu'elle est donnée en 

un point. Or cette relation est vérifiée par le premier mouvement donné. Si donc 
on détermine le troisième mouvement par la formule (40), il y aura bien coïnci- 
dence des valeurs de-=-. Cette coïncidence a, en effet, lieu en un point, le point 

commun aux deux caractéristiques, les surfaces intégrales qui correspondent aux 
trois mouvements primitifs étant alors tangentes entre elles. 



MOUVEMENT RECT1 LIGNE DES GAZ 175 

Menons, par un point quelconque P de celte surface, la caractéristique r' 
du système opposé à r. Sur r', la quantité u -h x (w) est constante. Or la 
ligne r' rencontre nécessairement V et, sur r, la quantité u -+- x(°0 est 
partout égale à x(l)« 

Donc la surface cherchée S satisfait à l'équation aux dérivées partielles 
du premier ordre : 

(54) « + xW = y.ffl 

Ainsi, dans un mouvement compatible avec le repos, la vitesse et la 
densité s,ont fonctions tune de Vautre. Ces deux quantités croissent en 
même temps (la vitesse étant prise avec sa valeur algébrique) puisque // (w) 
est positif et que p augmente quand to diminue. 

183. — On démontre aisément .( l ) que si une surface est telle que, 
entre les coefficients angulaires de son plan tangent, existe une relation 
indépendante des coordonnées du point de contact, cette surface est déve- 
loppable. 

Tel est donc le cas de la surface cherchée, puisque u et w sont les déri- 
vées de x, considéré comme fonction de a et de t. Si par l'origine des coor- 
données nous menons les différents plans dont les directions satisfont à 
l'équation (54), plans dont l'équation générale est 

(55) oc = wa -h [x (1 ) — X ( »)]. *> 

ces plans enveloppent un certain cône C dont l'équation s'obtient en élimi- 
nant to entre l'équation précédente et sa dérivée 

(55') a — *x'M = (K 

Les génératrices de la développable 2' sont parallèles aux génératrices 
de C. Ces génératrices étant les tangentes de l'arête de rebrousssement, on 
voit que l'indicatrice sphérique de celle-ci est connue. 

184. — En prenant pour ordonnées, non plus les valeurs de x, mais 
les vitesses ou les dilatations, (lès coordonnées horizontales étant toujours 
a et t), on aurait pour représenter le mouvement non plus une dévelop- 
pable, mais une surface réglée avec génératrices horizontales, puisque, sur 
chaque onde, la vitesse et la dilatation sont constantes. 



(•) Jordan, Cours d'Analyse, 2 e édition, tome I, p. 476 ; Goursat, Cours d'Analyse 
tome I, p. 524. 



H6 CHAPITRE IV 

185. — Les conclusions précédentes subsisteront pour tout mouvement 
compatible avec le premier, si la caractéristique de raccordement est de 
même système que T. 

Elles subsisteront donc s'il se produit des discontinuités quelconques 
(du second ordre au moins) dans le mouvement du piston a = 0. Elles ne 
seront modifiées, comme nous l'avons dit plus haut, qu'à partir du moment 
où on rencontrera un onde se propageant en sens inverse. 

On arriverait encore à des résultats analogues si, dans l'état primitif du 
fluide, les molécules, au lieu d'être en repos, élaient animées de mouvements 
uniformes donnés par l'équation 

(56) œ = *a H- $t, 

a et p étant des constantes (mouvement qui satisfait évidemment à l'équa- 
tion (8)). 

Plus généralement le mode de raisonnement que nous venons d'employer 
s'appliquera à toute équation de la forme (17) dans laquelle une des familles 
de caractéristiques admet une combinaison intégrable dF, lorsqu'on cher- 
chera les surfaces intégrales se raccordant, suivant une caractéristique de 
Vautre système, avec une surface satisfaisant à l'équation F = const. 

186. — Si on essayait d'appliquer aux développables 2 que nous venons 
d'obtenir la transformation de Legendre utilisée précédemment, on n'abou- 
tirait pas à des surfaces. Une surface développable a, en effet, pourpolaire 
réciproque non pas une surface, mais une ligne, chaque point de cette ligne 
correspondant à une infinité de points de la développable, savoir tous ceux 
qui sont sur la même génératrice. L'équation (54) montre que celle ligne 
correspond dans le plan des \ *) à la droite \ = x0)« Nous avons là un 
exemple évident des intégrales dégénérées auxquelles nous avons fait allu- 
sion précédemment (n° 163). 

187. — Les développables 2 sont les seules surfaces développables qui 
satisfassent à l'équation (8). Si, en effet, on suppose que l'on ait 



*-'(=)-'(«* 



on en déduira, en différentiant successivement par rapport à t et à a t 

tfx î> 2 a> „, , . tfœ tfx ,, , . 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 177 

et l'équation (8) ne pourra être vérifiée (sauf pour -- et -7 constants) que 
si *(*) = /"*(*>). 

188. — Il nous reste maintenant à déterminer complètement le mou- 
vement dont nous venons de trouver les propriétés générales, en supposant 
donné le mouvement du piston. 

Il suffit à cet effet de reprendre le mode de représentation employé aux 
n os |4(j e t suivants {fig. 10). Le mouvement du piston nous fera con- 
naître la section a p (fig. 10) de 1a surface cherchée, par le plan nommé 
plus haut 0. En chaque point de cette section, la développante admettra un 
plan tangent qui devra : 1° Contenir la tangente à celte courbe ; 2° Satis- 
faire à l'équation (54) ou, si l'on préfère, être parallèle à un plan tangent 
du cône C. Ce plan tangent sera donc connu. Quant à la génératrice de 
contact, elle sera parallèle à la génératrice correspondante du cône C. Le 
lieu de ces génératrices sera la surface cherchée. 

Chacune des génératrices représente, comme on le voit, la propagation 
du mouvement donné au piston à l'instant correspondant à son point 
d'origine. 

1 89# — Analytiquement parlant, soit 

(57) x = f(t ) 

l'équation qui fait connaître l'abscisse cc du piston en fonction du temps tç. 
On aura pour la vitesse de ce même piston, la valeur u == f'(t ). La rela- 
tion (54) donne dès lors la valeur u> de w au voisinage immédiat de ce 
piston. Par exemple, si la loi de détente est la loi de Poisson, w aura, 
d'après la formule (43), l'expression 

g 
(08) u> = (J + 2X j 

X étant toujours la vitesse du son dans l'état initial. 

Le mouvement communiqué au piston à cet instant t se propage avec la 
vitessse ^' (f> ). Au temps t >» t 0i il est parvenu au point dont l'abscisse 
initiale est 

(59) a ^ x > )( ( _g = (v_og 

et auquel il convmunique'à cet instant la vitesse u . 



178 CHAPITRE TV 

Nous supposons ici que ce point a élé successivement atteint par les 
ides nées aux difï 
donc évidemment 



ondes nées aux différents instants antérieurs à t ; son abscisse actuelle sera 



= (1+1 u (t' 
Jt\ = 



t — t Q 

)dl 



où, sous le signe j , t désigne une fonction de t' définie par 1 equati 
(59), soit 



t = t a — a , 
du 



Remplaçant t par cette expression, et, par conséquent dl par 

il vient 

x = a -+- I u (t' ) dt' — a / u Q d (j^A 

u dt — au ^-{-a{u — 1) 
° 

u dt = x Q et en tenant compte de (59)) 

(60) x = x - (/ - «,) (u> ^ - „ # ) = * -h (* - Q («o oX ' (co ) -h «J 

#o> w o> w o étant les fonctions de t dont nous venons d'indiquer le calcul. 
L'élimination de t entre les équations (59), (60) donne le résultat cherché. 

190. — On peut encore imaginer qu'au lieu du mouvement du piston, 
on donne, pour chaque valeur du temps, la pression extérieure que ce 
piston supporte. Il est clair que les calculs qui précèdent ne seront pas 
essentiellement modifiés. Au lieu de u Q , c'est w qu'on calculera tou 
d'abord par la résolution de l'équation (2'). On aura alors t/ = /(l) -^-/(w ), 
puis x par une quadrature : après quoi, il ne restera plus qu'à écrire les 
formules (59), (60). * 



MOUVEMENT RECT1LIGNE DES GAZ i79 

191. • — Grâce à l'intervention des ondes de discontinuité, nous avons 
pu, le gaz étant animé d'un mouvement donné à un instant donné, cons- 
tater l'existence, aux instants immédiatement suivants, d'un mouvement 
satisfaisant tant aux équations internes qu'aux conditions aux limites. 
Avons-nous le droit d'en conclure que les discontinuités étudiées jusqu'ici 
permettent, à elles seules, d'assurer l'existence du mouvement pour toute 
valeur ultérieure du temps 1 ? Une telle affirmation ne serait nullement 
légitime. 

Il suffit, pour s'en rendre compte, de se placer de nouveau dans le cas 
simple de la vitesse de propagation constante. Le gaz étant en repos 
pour t = 0, mettons en marche, à cet instant, le piston d'abscisse 0, dans 
le sens positif," c'est-à-dire de manière à comprimer le fluide. Dans nos 
hypothèses à un instant quelconque t, le mouvement ainsi créé s'étendra 
aux points dont les abscisses initiales sont comprises entre zéro et Qt, le 
reste de la masse restant en repos. 

Or, on peut évidemment, en accélérant convenablement le mouvement 
du piston, faire que son abscisse, à un certain instant t, soit supérieure 
à 6*. 

Il y a évidemment contradiction, les molécules voisines du piston 
devraient, à cet instant, coïncider avec certaines molécules encore en repos. 
Si nous voulons conserver nos hypothèses fondamentales d'impénétrabilité 
et de continuité (n os 44-45), nous allons être obligés de faire intervenir 
des phénomènes distincts de ceux que nous avons décrits dans ce qui pré- 
cède. 

Il convient de remarquer que cette hypothèse d'une paroi se déplaçant 
avec une vitesse supérieure à celle des ondes n'est nullement théorique : 
elle se présente dans l'application la plus importante que l'on ait jusqu'ici 
songé à faire de la Dynamique des gaz, à savoir l'étude du mouvement des 
projectiles. On sait, en effet, que la vitesse de ceux-ci est plus grande que 
celle du son. 

192. — Toutefois, avant d'étudier les singularités qui doivent ainsi se 
produire lorsqu'on donne au piston un mouvement comprimant, nous 
devons en mentionner une qui se produit au contraire, dans le cas d'un 
mouvement décomprimant. 

Pour calculer la valeur de <o, nous avons résolu, par rapport à celte 
quantité; l'équation (54). 

Nous devons nous demander si cette résolution est possible.. La dérivée 
du premier membre par rapport à to est toujours différente de zéro (elle est 



180 CHAPITRE IV 



égale à x'( w ) = V ^ ( w )j- u peut donc prendre toutes les valeurs négatives 
possibles, s'il tend vers — oo pour w = -}- oo , c'est-à-dire si l'inlégrale 

est infinie. 

C'est ce qui a lieu pour la loi de Mariolte, la fonction x( w ) étant alors 
logarithmique. 

Mais il en est autrement dans le cas de la loi de Poisson. Pour celle-ci, la 
formule (43) donne 

x(i)-z(») = - 5 ^ r 

Lorsque le piston arrivera à prendre une vitesse négative et qui (en va- 
leur absolue) soit, avec la vitesse du son correspondant à l'état initial, dans 

2 
le rapport — —j- le fluide cessera de le suivre : entre eux un vide se pro- 

duira, tout comme si on avait affaire à un liquide. La seule différence est 

que l'es dernières couches de gaz seront infiniment dilatées (puisque w sera 

devenu infini ( 1 )), au lieu que, pour un liquide même un peu compressible, 

la séparation aurait lieu à partir d'une certaine valeur finie de w. 

2X 
Tant que la vitesse du piston n'atteindra pas la valeur négative - — -. 

son mouvement produira, au contraire, à chaque instant, dans les couches 
voisines, un état déterminé, qui se propagera comme nous l'avons dit, au 
moins pendant un certain temps, jusqu'à ce que se produisent les singu- 
larités dont il nous reste à parler. 



| 3. — LE PHÉNOMÈNE DE RIEMANN-HUGOiNIOT 



193. — Si, comme nous l'avions supposé un instant tout à l'heure, le 
mouvement obéit à l'équation (8') il est aisé de voir que la singularité dont 



(!) Nous nous plaçons, bien entendu, dans l'hypothèse toute théorique où le fluide 
garderait ses propriétés jusqu'au zéro absolu, que celte détente indéfinie permettrait 
d'atteindre. 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 181 

l'existence nous est apparue comme nécessaire au n° 191 apparaîtra (et cela 
pour la première fois) au moment où une compression inQniment grande 
se produira, w devenant nul. 

En effet, le fluide étant supposé primitivement en repos, un mouvement 
qui s'y propagera dans le sens positif (à partir de l'instant t = 0) aura 
pour équation. 

(61) x — a-^r fQiï — a) (a < Qt) 

avec f(0) = f (0) = 0. La fonction /"sera donnée par la relation 

m) == œ v 

x représentant encore l'espace parcouru par le piston. Si cette quantité x Q 

est une fonction dérivable du temps, x sera une fonction dérivable de a et 

de t. Dans tous les cas, d'ailleurs, à chaque système de valeurs de a et de t 

correspond une seule valeur de x. Pour qu'inversement, à un système de 

valeurs de x et de t corresponde une seule valeur de a, il faut et il suffit 

bx 
que la dérivée w = — ne change pas de signe. Si cette condition cesse d'être 

remplie, ce sera à partir du moment où t» s'annulera. 

Comme les valeurs de w se propagent à partir de l'extrémitéVa = 0, ce 
phénomène se produit tout d'abord au contact du piston. 



194. — Nous allons voir avec Riemann et Hugoniot qu'il en est tout 
autrement lorsque la fonction ty (u>) ne se réduit plus à une constante et, 
en particulier, dans le cas de la loi de Poisson. 

Dans ce cas, en effet, u> ne peut devenir nul que lorsque la vitesse devient 
infinie. Mais, d'autre part, au lieu du cylindre défini par l'équation (61), 
nous aurons une surface développable dont l'arête de rebroussement sera 
située à distance finie, (du moins tant que la vitesse du piston ne sera pas 
constante). 

Dès lors x, considéré comme fonction de a (t étant regardé comme cons- 

tant) peut présenter deux sortes de singularités : 1° celles pour lesquelles — 

est nul, analogues par conséquent à celles dont nous venons de parler ; 
2° celles qui correspondent à l'arêle de rebroussement de la surface. 

C'est ce que l'on peut vérifier directement par l'étude de la dérivée — • 



(62) 



182 CHAPITRE IV 

Si, en effet, on différencie les formules (59), (60) pour t constant, on 
trouve 

da = [(* - x > ) ** - X 'K)] A, 

L x'K) tf.^ 1 "".] * 

*» = »o [(* - g x" (•».) ^° - x'K)] * 

= _„> r ('-Ox'KW «. . ,. l(u {] dt 
"L x'K) *„ +xK, _T v 

Eliminant cfa , on aura la valeur de — par le quotient des dérivées 
-TT- » TT , du moins tant que la première de ces quantités ne s'annulera pas. 

Par conséquent, sauf le cas de w = 0, de w = ce lequel, comme nous le 
savons, ne peut se produire qu'au contact du piston, il ne peut y avoir 

d'autres singularités que celles pour lesquelles -jr s'annule et par consé- 
quent aussi -t— . Comme on sait, ceci caractérise un point de rebrousse- 

at Q 

ment de la courbe décrite par le point (a, x) lorsque t varie. Les dérivées 
premières de x par rapport h a et h t restent alors continues, mais les dé- 
rivées secondes deviennent infinies. 

Ici, d'après les formules (62), ce point de rebroussement est donné par 
l'équation 
(63) (( _yX'K^, + x>o) = ( , 

195. — L'interprétation physique de cette circonstance est d'ailleurs 
simple. Il suffit de nous rappeler que chaque génératrice de notre déve- 
loppable représente la propagation, avec la vitesse x'( w )» d'un mouvement 
déterminé, caractérisé par un système de valeurs déterminé de u et de w. 
Un point de l'arête de rebroussement de notre surface correspond à la ren- 
contre de deux génératrices extrêmement voisines, par conséquent, à la 
rencontre de deux ondes consécutives, la seconde rattrapant la première. 

190. — Si, au lieu de la surface représentative des déplacements, on 
considérait celle qui figure, en fonction de a et de t, les dilatations, ou celle 
qui figure les vitesses, les deux ondes consécutives dont nous venons de 



MOUVEMENT REGTIL1GNE DES GAZ 



183 



parler correspondraient, sur l'une quelconque de ces deux surfaces, à deux 
génératrices ayant mômes projections horizontales que celles de ladéveïop- 
pable. Ces nouvelles génératrices ne se rencontreraient d'ailleurs plus dans 
l'espace, et le point de rencontre de leurs projections horizontales serait 
simplement le pied de leur perpendiculaire commune, de sorte que l'arête 
de rebroussement de notre développable correspond à la ligne de striction 
de la surface des dilatations ou db celle des vitesses, ces surfaces ayant, en 
chaque point de cette ligne, un plan tangent vertical. 

197. — Les surfaces ainsi construites permettent de se figurer d'une 
manière simple le phénomène qui nous occupe, en considérant leurs sec- 
tions par les plans t — const. Cha- 
que point p. (fig. 12, 13) d'une 
telle section appartient en effet, à 
une certaine génératrice, corres- 
pondant à une onde déterminée, 
et nous savons que ces différentes 
ondes se déplacent avec des vitesses 
inégales, suivant qu'elles sont plus 
ou moins comprimées. Par con- *'&• "- 1 

séquent, pendant un temps donné t' — t, elles auront décrit des chemins 
inégaux, et la courbe de section, lieu du point jx, se sera déformée. Si les 
ondes d'avant sont celles qui se propagent le plus rapidement, les distances 

horizontales auront augmenté 
et la courbe se sera étalée dans 
le sens horizontal {fig. 12). 
Mais, dans le cas opposé, 
{fig. 13) la courbe tend au 
contraire à se redresser et rien 
n'empêche qu'à un certain ins- 
tant T, une de ses tangentes ne 
devienne verticale. Si l'on sui- 
vait la même déformation aux 
instants suivants t", on verrait 
l'inclinaison de cette tangente sur la verticale changer de sens et les diffé- 
rentes parties de la courbe se dépasser les unes les autres, absolument 
comme il arrive dans une vague qui déferle. 





Fig. 13 



198. — Dans le cas de la loi de Poisson ou de celle de Mariotte, les 



184 CHAPITRE IV 

ondes les plus comprimées sont celles qui se propagent le plus vite : autre- 
ment dit, la vitesse i' (tu) est une fonction décroissante de w. Nous nous 
placerons donc dans l'hypothèse où cette condition est vérifiée ('). Alors 

1 

comme — est croissant avec u , il faudra que celte dernière quantité soit 

croissante avec le temps ; — autrement dit, que le piston art une accéléra- 
tion positive — pour qu'une onde puisse en rattraper une autre née anté- 
rieurement à elle. 

Si donc on donne au piston un mouvement à accélération -rf négative 

(autrement dit. dirigée dans le sens de la décompression), les ondes ainsi 
engendrées ne se rattraperont point. De fait, la formule (63) où l'on a 
X."( w ) <. montre que le point de contact de la génératrice de notre dé- 
veloppable avec l'arête de rebrousseraient correspond à une valeur négative 
de t — t Q et, par conséquent, aussi de a. La surface représentative du 
mouvement n'offrira aucune singularité, et donnera bien l'équation d'un 
mouvement physiquement possible (du moins tant que n'interviendra pas 
le phénomène signalé au n° 192). 

199. — Supposons, au contraire, que l'accélération ->-.° soit, à un ins- 

at 

tant quelconque, positive. Alors, l'onde née à cet instant rattrapera l'onde 

immédiatement antérieure, à un instant t donné par l'équation (63), soit 

t==t dt * * /( "° )2 - 
du x"(u>o) 

Le temps nécessaire pour que la rencontre des ondes consécutives se 
produise est, comme on le voit, pour une même valeur de la vitesse, d'au- 
tant plus considérable que l'accélération du piston est plus petite. Dans le 
cas, précédemment examiné, où l'on aurait affaire à des mouvements infi- 
niment petits, cette rencontre serait indéfiniment éloignée. 

Si l'accélération était celle qui est due à la pesanteur, le gaz étant primi- 
tivement à la température 0° et à la pression atmosphérique normale, la 
quantité /'(w ) serait initialement, c'est-à-dire pour(w = 1) égale à la vi- 



.( 1 ) On peut remarquer que l'hypothèse opposée X ( w ) > " ne pourrait être véri- 
fiée, ou du moins ne pourrait l'être constamment, sans quoi p serait, à partir d'un 
certain moment, inférieur à une expression de la forme (3'), ce dont nous avons 
montré l'impossibilité au n° 144. 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 18$ 

fesse du son soit, pour l'air, 330 mètres environ par seconde. h(~\ aurait la 

valeur — ^Jli I = - VUl^A .. En prenant ~°- = - , on trouverait que 

la première onde ne serait rattrapée par les suivantes qu'au bout d'environ 
28 secondes, temps pendant lequel elle aurait parcouru un peu plus de 
9 kilomètres. 

Au contraire, dans le cas où le gaz serait comprimé par une explosion, 
comme dans les expériences de M. Vieille dont nous parlerons tout à 
l'heure, les ondes se rattraperaient dans l'intervalle de quelques centi- 
mètres. 

En tout cas, ce qui est certain, c'est que, cette fois, la singularité ne 
saurait, comme dans l'hypothèse traitée au n° 193, se produire au contact 
du piston. La valeur de t — t est toujours différente de : c'est dans la 
masse môme du gaz que les ondes se rencontreront. 

200. — Nous avons vu que la compression ne pouvait, dans l'hypo- 
thèse actuelle, devenir indéfinie. 11 est, par contre, aisé de voir qu'on peut 
lui faire atteindre une valeur aussi élevée qu'on veut avant que le phéno- 
mène dont il s'agit se présente. 

Cherchons, en effet, la condition pour que ce phénomène n'ait pas lieu 
avant l'époque T. Le temps t donné par la formule (63) devra être infé- 
rieur à T, soit 

Or, cette inégalité exprime que le produit A = (T — O X.'( w o) e8 ' dé- 
croissant (*) On peut toujours faire croître la compression assez lentement 
pour qu'il en soit ainsi. Cette condition est même compatible avec celle-ci 
que o) ait, à l'instant T, une valeur donnée arbitrairement petite. En effet, 
^'(w ) est égal à la dérivée changée de signe du produit dont nous venons 
de parler par rapport à t, pour t = T, dérivée à laquelle on peut assigner, 
sans que A cesse d'être décroissant, une valeur (négative) arbitraire. 

Celle valeur peut même être nulle, de sorte que l'on pourrait arriver à 
une compression indéfinie, si l'on pouvait augmenter indéfiniment la 
vitesse du piston suivant une loi convenable. 



(i) Ceci est, au reste, évident a priori d'après l'équation (59), puisque nous 
avons à exprimer qu'une onde quelconque est, à l'instant T, en arrière de celles qui 
sont nées immédiatement avant elle 



186 CHAPITRE IV 

201. — Nous venons de supposer le produit A toujours décroissant. 
Qu'arriverait-il si l'on réglait, au contraire, le mouvement du piston de 
manière à ce que ce produit conserve une valeur constante? 

Dans ces conditions, toutes les ondes se rattraperaient à l'époque T. Au- 
trement dit, toutes les génératrices de notre développable se rencontreraient 
en un même point. 

Celte développable se réduirait donc à un cône, cône évidemment égal 
au cône G considéré au n° 183. La trace d'un tel cône sur le plan a = 
fournirait ainsi le mouvement qu'il conviendrait de donner au piston pour 
que A soit constant. 

L'équation (59) montre que la valeur constante de A n'est autre que 
Pabcisse du sommet du cône, c'est-à-dire du point de rencontre commun 
des ondes. 

202. — On ne peut d'ailleurs continuer ce mouvement du piston jus- 
qu'au temps t = T, puisqu'alors la densité et, par suite, la vitesse devien- 
draient infinies. 

Supposons qu'on le continue jusqu'à un instant t lt — pour lequel u 
aura une certaine valeur u l et u> une certaine valeur Wj — , et qu'ensuite 
on diminue l'accélération de manière que l'onde née à l'instant t i ne soit 
plus rattrapée par les suivantes avant l'époque T (par exemple, qu'on rende 
le mouvement uniforme pour t > ti). Alors, pour a infiniment voisin de 
(t — ^"/.'(^j) ma ' s inférieur à cette quantité, la vitesse u serait sensible- 
ment égale à^j et la dilatation àtOj.En particulier, pour t = T, ces valeurs 
de u et de to conviendraient au point a = A — e, e étant un nombre posi- 
tif infiniment petit. 

Or, pour t = T, a = A -+■ e, on a u = 0, w = 1. 

Donc, pour t = T, a = A, la vitesse et la densité changeraient brusque- 
ment : on serait en présence oV une discontinuité du premier ordre et non 
plus du second. 

203. — A partir de la rencontre des ondes consécutives, les équations 
(59) et (60) cessent de donner un mouvement physiquement acceptable. 

C'est ce que mettent déjà en évidence la surface des vitesses et celle des 
dilatations puisque la section d'une de ces surfaces par le plan t = T a une 
tangente verticale (flg. 13) et que, pour t == T -+- e, le signe du coefficient 
angulaire de la tangente change en certains points, de sorte que cette 
courbe est coupée en plusieurs points par une ordonnée convenablement 
choisie. On serait dès lors conduit, pour une même particule et un même 
instant, à plusieurs valeurs de la vitesse. 



MOUVEMENT RELTILIGNE DES GAZ 



187 




204. — Pour reconnaître le même fait à l'aide de la développable repré- 
sentative du mouvement, rappelons-nous qu'une développable est partagée 
par son arête de rebroussement en deux nappes et qu'une génératrice quel- 
conque passe d'une nappe à l'autre au moment où elle touche cette arête 
de rebroussement. 

Dans la développable considérée actuellement, si T est l'instant où la 
génératrice G correspondant à l'onde initiale touche l'arête de rebrousse- 
ment (en admettant, pour fixer les idées, qu'elle attei- 
gne cette arête pour t positif et soit, d'autre part> la 
première à l'atteindre), toute la portion correspondant 
à i < T appartiendra à une première nappe. La 
section par le plan t = T — s sera une certaine courbe 
venant se raccorder, en un point de G , avec la ligne 
droite, section du plan x = a [fig. 14), ° * 

Pour t = T -H- e, d'après ce que nous venons de dire, la génératrice G 
sera passée sur la seconde nappe de la surface. Donc, la section de cette 
dernière par le plan t = T -t- e ne viendra se raccorder avec la droite x = a 
qu'après avoir franchi l'arête de rebroussement. 

Pour une telle valeur de t tt x serait représenté en 
fonction de a par une ligne ayant, non plus la forme 
représentée (fig. 14), mais celle qui est représentée 
dans la figure 14 bis et qui détermine avec la droites = a 
un petit triangle mixtiligne. Ceci est physiquement 
®* s absurde, puisque toutes les ordonnées qui traverse- 
raient ce triangle donneraient trois valeurs de x pour une valeur de a. 




205. — Un nouveau problème se pose donc à nous, la recherche de la 
singularité qui prendra naissance à partir de l'instant T. Dans le cas par- 
ticulier considéré tout à l'heure (n° 202), cette singularité était une dis- 
continuité du premier ordre. Nous sommes donc conduits à nous demander 
s'il n'en serait pas de même dans le cas général. 

A cet effet, il faut d'abord étudier les conditions de propagation d'une 
telle discontinuité. 

Cetta étude ne saurait se faire, comme celle des discontinuités du second 
ordre, à l'aide de l'équation (8) du mouvement : car les raisonnements qui 
conduisent à celle équation supposent la vitesse continue. ïl semble même, 
au premier abord, que les principes généraux de la Dynamique impliquent 
une telle continuité, et même l'existence de l'accélération, puisque c'est 
celle-ci qui fait connaître la force. Nous allons voir cependant que, conve- 



188 CHAPITRE IV 

nablement appliqués, ces principes permettent de rendre compte du phéno- 
mène dont il nous reste à traiter. 

Le fluide étant toujours rapporté à un état initial homogène, soient u iy u. 2 
les deux valeurs de u de part et d'autre de la discontinuité; w 1 , u> 2 , celles de 
la dilatation ; p it p 2 , celles de la pression ; 8, la vitesse de propagation 
(comptée sur noire état initial). Nous aurons d'abord la condition cinéma- 
tique 

(64) w, —- w a -t- 6 (wj — w 2 ) — 0. 

Pour écrire maintenant la relation dynamique qui existe entre les forces 
agissantes et le mouvement, considérons deux positions consécutives 
A A', B B' occupées aux instants t et t H- dt par la tranche de discontinuité 
et dont la distance est, par conséquent, sur l'état initial, mesurée par Qdt. 
Nous allons appliquer au petit volume fluide A A', B B' dont la masse est 
p SQdt 7 en désignant par S la section du tube, et qui (en supposant pour 
fixer les idées G positif) passe de l'état (u 2 , p 2 , o> s ) à l'état [u v p^ wj, l'équa- 
tion fondamentale de la dynamique, en écrivant que la variation de sa 
quantité de mouvement, pendant le temps dt, est égale à l'impulsion totale, 
pendant le même temps, des forces qui agissent sur lui. Celles-ci sont, 
d'une part (s'il y a lieu) les forces appliquées aux éléments de masse et 
dont l'impulsion sera de l'ordre de dt 2 (puisque la force elle-même et la 
durée de son action contiendront toutes deux dt en facteur) ; d'autre part, 
les pressions sur les deux surfaces A A', BB', dont les impulsions respec- 
tives seront p i Sdt, — p 2 Sdt. 

La vitesse de la portion de fluide envisagée, passant, pendant le temps 
dt, de u. 2 ku i , il vient (en divisant par Sdt) 

(65) p t — p 2 = p o 0K — u 2 ). 

Comme on le voit, le fait qu'une force finie (la différence de pression de 
part et d'autre de la discontinuité) produit, non une accélération, mais un 
changement brusque de vitesse, s'explique d'une façon toute naturelle; il 
tient à ce que, grâce à la propagation de la discontinuité, la force en ques- 
tion n'est pas appliquée, comme il arrive d'ordinaire, à une masse de gran- 
deur déterminée, mais à une masse infiniment petite avec le temps pendant 
lequel on la considère. 

206. — - Après avoir écrit les deux équations (64), (65), Riemann en 
obtient une troisième en exprimant que le changement de densité dans une 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 18& 

tranche traversée par la discontinuité se fait sans dégagement ni absorption 
de chaleur et est gouverné par la loi de Poisson, soit 

(66) Pi o>™ = p 2 o>%, 

égalité qui, au reste, est vérifiée d'elle-même si le gaz, parti d'un état par- 
faitement homogène, est arrivé à son état actuel par dès transformations 
satisfaisant toutes à la loi de Poisson. 

Par conséquent, si deux régions contiguës du fluide sont en discontinuité 
du premier ordre, il faut, pour qu'il y ait compatibilité, l'équation (66) et 
l'équation 

(67) (u t - u-f = I (p t - p 2 ) (u> 2 _ Wl ) 

obtenue en éliminant entre (64) et (65). 

207. — Si ces conditions sont remplies, la discontinuité se propagera 
avec une vitesse 6, solution commune des équations (64) et (65). On peu t 
exprimer cette vitesse en fonction des pressions et des densités, de manière 
à obtenir une expression analogue à (24). L'élimination de u x — u 2 donne 



(68) 0= v /-£± £l- 



On voit que, contrairement à ce qui arrivait pour l'expression (24); la 
vitesse dépend ici des deux pressions et des deux densités. Si l'on considère p 
comme l'ordonnée d'un point dont l'abscisse est <o, les couples de valeurs 
i^uPi) e * ( w n P2) correspondront à deux points situés, d'après (66), sur 
une même courbe de la forme 

(2') pt» m == h. 

La quantité sous le radical, dans la formule (68), est, au facteur 

Po 
près, le coefficient angulaire de la droite qui joint ces deux points. 

La quantité analogue qui intervenait dans la formule (24) correspond de 
même au coefficient angulaire de la tangente à la courbe (2'). Lorsque la 
discontinuité est infiniment petite (p x très voisin de p 2 ) la vitesse est, 
comme il était naturel de s'y attendre, sensiblement égale à celle qui cor- 
respond à une discontinuité du second ordre. Mais il en est autrement sip 2 
est notablement différent de^ t et, en particulier, pour un système de va- 
leurs déterminé de^> A et w t , peut prendre des valeurs aussi grandes qu'on 



190 CHAPITRE IV 

veut pour p 2 suffisamment grand. Ainsi la marche de Tonde n'est plus 
figurée par une caractéristique, mais par une ligne de direction quelconque. 

S08. — L'influence ainsi exercée par une discontinuité du premier 
ordre sur la vitesse de propagation apparaît clairemeftt.dans les expériences 
de M. Vieille ( 1 ). 

Ces expériences ont consisté à provoquer, soit par la délonalion d'une 
petite quantité d'explosif, soit par la rupture (sous l'influence d'une forte 
pression d'air) d'ampoules de verre ou de diaphragmes de collodion, un 
ébranlement assez énergique dont on enregistre la marche dans un tube 
bien cylindrique et parfaitement clos. 

Si l'onde ainsi produite était du second ordre, il résulte des considéra- 
tions précédentes que sa vitesse de propagation serait rigoureusement indé- 
pendante de la nature du mouvement propagé, et égale à la vitesse du son 
dans le milieu primitif (330 mètres par seconde, environ). 

Or, en élevant suffisamment la pression, M. Vieille a pu obtenir des 
vitesses de propagation supérieures à 1200 mètres. 

On voit que ce seul fait suffit à mettre en évidence l'existence d'une 
discontinuité du premier ordre et à montrer qu'elle modifie la vitesse de 
propagation. 

D'autre part, si l'on inscrit, à l'aide d'appareils appropriés, la loi de 
variation des pressions en un point, on constate qu'à une certaine distance 
du lieu de l'explosion, la pression atteint immédiatement sa valeur rnaxima, 
tandis que, dans certaines expériences au moins, le même fait ne se met 
pas en évidence au voisinage immédiat du point de départ. Les tracés obte- 
nus montrent donc alors la discontinuité comme étant initialement du 
second et changeant de nature au cours de sa propagation. C'est le phéno- 
mène même que nous avons considéré dans ce qui précède. 

209. L'objection d'Hugoniot. — Les conclusions que nous venons 
d'obtenir ont été établies dans l'hypothèse où la loi de Poisson était appli- 
cable. 

Hugoniot a montré que celte hypothèse n'était plus légitime dans le cas 
des condensations ou dilatations brusques. 

Reportons-nous, en effet, à ce qui a été dit au n° l£9 (ch. 111). En cet 
endroit, nous avons établi que l'expression de la quantité de chaleur déga- 



(*) C.-R. Ac. Se. 1898-1809; Mémorial des Poudres et Salpêtres, lome 10, p. 177- 
260 ; 1900. 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 



191 



gée dans une condensation est la même, quel que soit l'état de repos ou de 
mouvement du fluide. Mais le raisonnement que nous avons employé 
suppose essentiellement les vitesses continues : il repose sur une combinai- 
son des équations du mouvement, analogue à celle qui conduit au théorème 
des forces vives dans la dynamique des corps solides, et qui change de 
forme lorsque la vitesse varie brusquement. 

Pour voir quelle sera la véritable condition d'adiabaticilé, nous repren- 
drons l'équalion qui exprime la conservation de l'énergie et que nous 
regarderons comme tout à fait générale, que les changements de vitesse 
soient continus ou instantanés. Nous appliquerons celle équation, comme 
plus haut, au petit volume fluide compris enlre les positions A A', B B' du 
plan de discontinuité aux deux instants consécutifs t el t -\- dt. 

Le travail des forces agissant sur les éléments de masse est, comme pré- 
cédemment, négligeable. Celui des pressions sera (p t u^ — _p 2 w 2 ) dtS. Nous 
écrirons donc que cette quantité est celle dont a varié, pendant l'intervalle 
de temps dt, la somme de la demi-force vive et de l'énergie interne.. Le 
premier ternie est facile à évaluer puisque la masse fluide, égale à So o dt, 
a passé de la vitesse u 2 à la vitesse u x . 

Quand à l'énergie interne d'un gaz parfait, son expression est connue. 
En remarquant : 1° Qu'elle ne dépend que de la température seule ou, ce 
qui revient au même, du produit du volume par la pression ; 2* Que, si le 
gaz subit une détente adiabatique lente, la variation d'énergie est unique- 
ment mesurée par le travail de la pression extérieure, c'est-à-dire par pd 6 ^, 
°^ étant le volume, on trouve que celte énergie a pour valeur 



U = 



m — 1 
L'équation cherchée est donc 



= esd*. -£%• 



Pïu t 



P2^ = ^ ZIJ (P 



2>2 W 2 



Po* 



u\ — ui 
2 



Il est toutefois nécessaire de lui donner une forme un peu différente, car 
elle semble au premier abord contenir les deux vitesses u i et u 2 et non 
point leur différence, laquelle doit seule intervenir pour que le résultat 
obtenu soit indépendant d'un mouvement de translation commun du 

système. C'est à quoi l'on arrive en multipliant l'équation (65) par - J -^ — ? 
et retranchant de l'équation précédente. Celle-ci devient 

(Pi ± ft 8 ) (u t — O , 



(69) 



— — { (PiWj— p 2 w 9 ). 



192 CHAPITRE IV 

La relation entre les deux pressions et les deux densités s'obtient en 
éliminant Ui — u 2 . entre (64) et (69), soit 

(70) fa+P,)K— ,) = _J_ (p) M( _ p ^ 

SIO. — Telle est la relation qu'Hugoniot a substituée à (66) pour 
exprimer que la condensation ou dilatation brusque se fait sans absorption 
ni dégagement de chaleur. On lui donne actuellement le nom de loi adia- 
batique dynamique, la relation. (66), qui convient aux changements lents, 
étant désignée sous le nom de loi adiabatique statique. 

Lorsque p 2 est très voisin de p t et to 2 de w,, toutes deux donnent 

— -+- m =~ — 0. 

P CD 

Dans le cas contraire, il est aisé de voir dans quel sens ces deux relations 
diffèrent entre elles. Celle de Poisson donne 



Pi w 

tandis que la yaleur déduite de la formule (70) est 

(m-M)^-(m-l) 
(70') ^= ^ ■ • 

Pi M • ,.W ( 

fi m -h 1 — (m — 1) —* 

Soit r = — 4 . Les deux fonctions r m et r-^ — -, — r^ , ont respec- 
ts m h- 1 — m — 1) r 7 l 



tivement pour dérivées logarithmiques — et 

m H- 1 m 



(m H- 1) r — (m — 1) m H- i — (w — 1) r 

4m 

~~ 2r (m 2 -h 1) — (1 -h r 2 ) (m 2 — 1) 

pour r voisin de 1, la seconde de ces deux fractions est plus grande que la 
première (*). Si donc, regardant p t et to, comme connus, on considère w 2 



( J ) En leur donnant le numérateur commun 4m, la différence des dénominateurs 
est 

Zr (m2 + 1) — (1 + *-2) ( m 2 — 1) — 4r = — (1 — r)« (rn* — 1). 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 103 

comme une abscisse et~p 2 comme une ordonnée, les équations (66) et (70) 
représenteront deux courbes osculatrices en leur point commun et dont la 
seconde monte plus vite que la première : autrement dit, pour une même 
variation de la densité, la pression éprouve un plus grand changement 
d'après la loi d'Hugoniot que d'après celle de Poisson. 

Il y a plus : le rapport des pressions est nul ou infini dans la manière 
de voir d'Hugoniot sans qu'il en soit de même du rapport des densités, 
savoir, pour la valeur 

Uj m -4- 1 

w 2 m — 1 

Le second membre de cette égalité est, nous l'avons vu, à peu près égal 
à six pour la valeur admise du coefficient m. Ainsi, dans une discontinuité 
où la densité varie du simple au sextuple, la pression devient nécessaire- 
ment nulle ou infinie. 

Quant à la vitesse de propagation, il est clair que si (outre p l et Wj) on 
donne oj 2 , elle sera plus grande d'après (70) que d'après (66), et que l'in- 
verse aura lieu si c'est p qui est donné. 

£11. — 4près le passage de la discontinuité du premier ordre, le pro- 
duit pbi m redeviendra constant en fonction du temps. Mais il est clair qu'en 
général ce produit aura une valeur différente pour chaque molécule : de 
sorte qu'ensuite l'équation aux dérivées partielles du mouvement n'aura 
plus la forme (8), mais bien la forme (6) (avec X = 0) et cela, même si 
le gaz était parfaitement homogène avant le passage de la discontinuité. 
k sera une fonction de a dont on obtiendra l'expression en calculant ce 
qu'est la discontinuité au moment où elle atteint la molécule d'abscisse a. 

La forme de cette fonction dépend donc de toutes les circonstances anté- 
rieures du mouvement et, par conséquent, si l'on tient compte de l'objection 
d'Hugoniot, on voit qu'il n'existe aucune équation de la forme (8), ni 
même de la forme (6), qui soit vérifiée par tous les mouvements d'un gaz 
donné. Comme le remarque Hugoniot, pour obtenir une telle équation, il 
faut considérer k, dans l'équation (6), comme une fonction inconnue de a, 
et l'éliminer en difîéren liant par rapport à t. Ceci donne, comme il est aisé 
de le voir, deux équations aux dérivées partielles du quatrième ordre (*). 



(!) Hugoniot, dans son Mémoire, obtient, comme résultat de cette élimination, une 
seule équation du troisième ordre. Il y a là une erreur, tenant à ce que l'auteur 
suppose préalablement effectué un certain changement d'état initial, lequel suppose 
la connaissance de la fonction k. 



194 CHAPITRE IV 

212. -»- Les expériences de M. Vieille paraissent confirmer les vues 
d'Hugoniot que nous venons d'exposer. Dans le seul cas où l'on ait pu 
enregistrer à la fois les différences de pression et les vitesses de propagation, 
les premières étaient d'environ 3 atmosphères, les secondes de 601 à 609 
mètres par seconde, valeur à peine différente de celle de 600 mètres qui 
correspond à la loi d'Hugoniot. La loi de Poisson donnerait une vitesse un 
peu plus faible (environ 14 mètres de moins). 

La divergence entre les deux hypothèses devient plus accusée lorsqu'on 
passe à des discontinuités plus intenses, comme celle que produit le mou- 
vement des projectiles d'artillerie. Ceux-ci sont lancés avec des vitesses 
telles que 800 à 1200 mètres. Ils sont précédés d'une onde aérienne qui, 
du moins dans sa partie frontale, est du premier ordre, sensiblement 
plane et se propage avec la même vitesse qu'eux. Or, quoique le 
mouvement de l'air soit évidemment assez différent, de ceux que nous 
étudions dans le précédent Chapitre ('), il existe une remarquable concor- 
dance entre les résistances éprouvées par le projectile et les différences de 
pression correspondant aux valeurs observées de la vitesse. Ainsi on trouve, 
par exemple, une résistance mesurée de 15 kilogrammes par centimètre 
carré pour une vitesse de 1200 mètres, laquelle correspondrait, dans la 
théorie d'Hugoniot, à p 2 — p x = 15 kg ,64. La loi de Poisson exigerait, au 
contraire, une surpression de 17 kg ,24 ( 2 ). 

213. — Considérons maintenant une discontinuité du premier ordre 
quelconque, l'état du gaz étant caractérisé à gauche de cette discontinuité 
par les quantités p i} tn if u i et à droite par les quantités p 2 , u> 2 , w 2 . 

En général, il n'y aura pas compatibilité : un nouveau mouvement 
prendra donc naissance et il y a lieu de rechercher les valeurs de p, u et to 
correspondantes. C'est ce que nous allons faire en nous plaçant successive- 
ment dans l'hypothèse de Riemann (celle où la loi de Poisson reste exacte) 
et dans celle d'Hugoniot. 

Nous supposerons d'ailleurs, dans le premier cas, que l'état considéré 
provienne d'un état antérieur parfaitement homogène, et que, par consé- 
quent, on ait, pour tous les états envisagés, l'équation (2'). 

En considérant encore une fois w et p comme des coordonnées, cette 



(!) Il est clair, d'une part, qu'il y a écoulement latéral, d'autre part, que la résis- 
tance n'est pas la différence entre la pression à la tête du projectile et la pression 
atmosphérique ordinaire, mais entre la pression de tête et la pression à l'arrière, 
laquelle esb plus petite que la pression atmosphérique. Comparer plus loin, n° ***. 

( 2 ) Vieille, Mêm. Poud. Salp., loc. cit., p. 255. 



MOUVEMENT RECT1L1GNE DES GAZ 



195 



équation représente une courbe dont font partie les deux points (cu n p±), 
(w 2 , p 2 ) et sur laquelle devra également se trouver le point (w,p) corres- 
pondant à l'état inconnu qui s'établira dans la tranche intermédiaire. De 
plus, si u désigne la vitesse dans cette tranche, on devra avoir 



(71) 



u—u i = %/ 
u — u % — yj 



(p- 


- Pi) (w.i — 


0>) 


?0 


(p- 


- Pi) K — 


») 



et, par conséquent, en éliminant u 

(72) a = u ± - u 2 = S/F, - \/P t 

Pj et P 2 désignant respectivement les quantités qui figurent sous les radi- 
caux des deux formules (71). 

Mise sous forme entière, l'équation précédente peut s'écrire sous l'une 
des formes équivalentes 



) 4a 2 P 2 = (P. 



a 2 ) 2 



Dans le système de coordonnées adopté elle repré- 



(73) 

où a désigne w t - 

sente une conique inscrite au rectangle A 4 A 2 B 4 B 2 (fig. 15) qui a pour 

sommets opposés les deux points A 4 , A 2 

et dont les côtés sont parallèles aux 

axes. La corde C 4 D 4 qui joint les points 

de contact avec les côtés A 4 B 2 , A, B 2 

a pour équation P 4 — P 2 -h a 2 = 0, 

et la corde analogue C 2 D 2 {fig. 15), 

Pi — P 2 — a 2 = 0, pendant que 

P 4 — P 2 =0 représente la diagonale 

B t B 2 . Fig. 15 

II est aisé de voir que, pour a 2 compris entre et — (p i — pj (to 2 — w 4 ), 

Po 

la conique (73) est une ellipse et que, lorsque a 2 dépasse cette limite 

1 

- (Pi — PzTfai — w i), elle est une hyperbole ayant ses deux branches 

Po 

respectivement comprises dans les opposés par le sommet des angles A 4 et 
A 2 du rectangle. 

Dans les deux cas, cette conique coupera notre courbe (2') en deux 
points A', A" situés, l'un sur l'arc C 4 D 4 , l'autre sur l'arc C 2 D 2 . 




196 CHAPITRE IV 

Mais pour que la solution correspondant à l'un des poinls A' ou A" soit 
acceptable, elle doit satisfaire à une condition d'inégalité que nous n'avons 
pas encore écrite. La tranche intermédiaire devant être contiguë à gauche 
avec le mouvement (p if w 1} u^) et à droite avec le mouvement (p 2i w 2 , u 2 ), 
on doit évidemment avoir 

(74) h < 2 . 

Les quantités Q l et 6 2 seront donn'es par l'application de la formule (64) 

en fonction de u — u i et de u — w 2 , c'est à-dire de y P, et de y P 2 , les radi- 
caux ayant la même détermination que dans l'équation (72). 

On voit alors aisément que, des deux poinls A' et A", il en est toujours 
un et un seul qui satisfait à l'inégalité (74) et qui, par conséquent fournit 
la solution du problème posé, solution dans laquelle le mouvement inter- 
médiaire se propage en sens contraires à l'intérieur des deux mouvements 
primitifs. Il est clair, d'après ce qui précède, que la pression et la densité 
du nouvel état ainsi créé seront on non comprises respectivement entre les 
pressions et les densités primitives, suivant que la différence des vitesses 
données u\ et u 2 sera inférieure ou supérieure à la moyenne géométrique 

1 11 

entre p t — p 2 et - (<o 2 — u h ) = - — - ■ 

Po p2 Pi 

2 14. — Mais on peut présenter celte même discussion sous une forme 
à certains égards plus simple en donnant un nom aux seconds membres 
des équations (71). 

p it Wj étant toujours censés représenter les coordonnées du point A,, 
et jp 2 , w 2 représentant de même les coordonnées d'un second point A 2 , con- 
venons de donner à l'expression \/~ (p t — P%) ( w 2 — ^i) G e radical étant 

y Po 

pris avec le signe -h) le nom de distance hyperbolique des deux points 
A{, A^ et de la désigner par la notation k i A 2 . 

Cette distance hyperbolique ne sera d'ailleurs réelle, bien entendu que si 
les quantités w 1( w 2 ont un ordre de grandeur inverse de celui de p l et de 
p 2 . Mais c'est ce qui aura toujours lieu si les deux points considérés appar- 
tiennent à la courbe (2'). 

Gela posé, lorsque nous donnons deux états du fluide entre lesquels 
existe une discontinuité du premier ordre, ces deux états sont représentés 
par deux points A t , A 2 de la courbe (2') ; et l'état cherché, par un troisième 
point A de la même courbe. Les différences u — u it u — u 2 auront alors 
pour valeurs absolues les distances hyperboliques ÀA t , AA 2 . Si nous sup- 



MOUVEMENT RECT1L1GNE DES GAZ 197 

posons toujours 8, ■< 0, 6 2 >> 0,u sera extérieur à u y et à u 2 ou compris 
entre ces deux quantités suivant que p sera compris entre p t et p 2 - ou leur 
sera extérieur. Dans, le premier cas, la différence des deux vitesses données 
u i et u 2 seraégaleàla différence de AA, et de AA 2 , lesquels sonttous deux 
inférieurs à Aj,A 2 . Dans le second, \u i — u 2 \ sera la somme des dis- 
tances AA 4 et AA 2 , dont Tune au moins est supérieure à A t A 2 . 
Donc la première hypothèse correspond nécessairement à 

I W l — W 2 I < A t A 2 

et la seconde à 

I «i — «2 | >Â7Â" 2 . 

Inversement, d'ailleurs, sur le segment A t A 2 de la courbe (2'), la diffé- 
rence AA t — A A 2 prend évidemment une fois, et une seule, toute valeur, 
positive ou négative, intérieure en valeur absolue à Ai A 2 et, sur les arcs 
restants de cette courbe, la somme AA t -h ÂA 2 prend une fois, et une 
seule, toute valeur supérieure àA,A 2 . 

La conique (73) est le lieu des points tels que la somme ou la différence 
de leurs distances hyperboliques à Aj et à A 2 ait une valeur donnée : on 
peut dire qu'elle a A t et A 2 pour foyers hyperboliques. Elle se réduit aune 
droite double lorsque cette valeur donnée est nulle, ou lorsqu'elle est égale 
à la distance A 1 A 2 , absolument comme il arriverait si, au lieu de distances 
hyperboliques, on avait affaire à des distances ordinaires. 

Si la pression p est extérieure à p i et à jo 2 , nous savons par le n° 118 
qu'elle leur est nécessairement supérieure lorsque la discontinuité donnée 
est comprimante et qu'elle leur est inférieure lorsque cette discontinuité est 
dilatante. 

Dans le cas contraire, celui où p doit être compris entre p { et p 2 , le choix 
entre les deux points d'intersection de la courbe (2') avec la conique (73) 
se fera très simplement si l'on remarque que, pour u t — u 2 > 0, c'est-à- 
dire (n° 116) si la discontinuité est comprimante, le point A est plus près 
de celui des deux points A,, A 2 qui correspond à la pTus~~grànde pression 
que de l'autre, c'est-à-dire que, pour p i > p 2 , la distance hyperbolique 
AA X est plus petite que la distance hyperbolique A A 2 (car on aalorsp^p,, 
Pi <C.P î u — Mi = AA n u — u 2 = AA 2 ). Le contraire a lieu pour une 
discontinuité dilalante. 

Inversement, le point ainsi choisi satisfera bien à la condition 

u i — m 2 = ± AAj ± AA 2 , 
les signes étant précisément ceux qui correspondent à § t < 0, 2 >> 0. 



198 CHAPITRE IV 

91 5, — Mais il faut noter que les points A' et A" peuvent fort bien ne pas 
être les seuls points d'intersection de la courbe (2') et de la conique (73). 
A' est bien le seul point de (2') situé sur l'arc C t D t ; et, de même, le point A" 
est unique sur l'arc C 2 D 2 . Mais rien ne prouve qu'il ne puisse exister sur les 
arcs restants de la conique d'autres points d'intersection correspondant à des 
vitesses d et 2 de même sens. Il est même clair que de tels points exis- 
teront si, par exemple, la conique (73) est très voisine de la droite Ai A2. 

Au reste, il est évident a priori que des mouvements de cette espèce doi- 
vent se produire ; c'est ce qui arrivera lorsque deux discontinuités du pre- 
mier ordre marchant avec des vitesses différentes dans le même sens se 
rattrapent. 

Si, pour fixer les idées, on suppose que la conique (73) est une ellipse, il 
est clair que les points d'intersection ne pourront être que sur l'arc infé- 
rieur Ci D 2 (fig. 15) situé au-dessous de la droite A' A", et non sur l'arc supé- 
rieur Di C 2 . 

Ces nouveaux points, s'ils existent, seront en nombre au moins égal à deux; 
on voit aisément, qu'ils correspondent à deux mouvements intermédiaires 
pour lesquels le sens commun des deux vitesses de propagation Q t et G 2 est 
le même, ainsi que l'ordre de grandeur de ces deux vitesses (ceci tient à ce 
que les deux points représentatifs sont du même côté de la droite C t Ç 2 ). 
C'est donc, dans les deux cas, le même sommet de notre rectangle qui devra 
être considéré comme représentant l'état de la région de gauche. 

Les mêmes considérations s'appliqueraient si, au lieu de rechercher les 
états qui suivent immédiatement une discontinuité du premier ordre (sans 
compatibilité) donnée, on se proposait de déterminer les états immédiate- 
ment antérieurs. Seulement il est évident que ce serait alors la région de 
gauche qui devrait correspondre à la plus grande valeur algébrique de la 
vitesse de propagation. 

En particulier, si, comme nous supposions tout à l'heure, deux disconti- 
nuités marchant dans le même sens avec des vitesses différentes se rattra- 
pent, les deux discontinuités nouvelles qui naîtront à ce moment se propa- 
geront nécessairement en sens contraires. 

21G. — Nous venons de trouver un cas dans lequel, à un état donné 
^position et vitesses) du fluide à un certain instant correspondaient plusieurs 
mouvements possibles — au moins théoriquement — à partir de cet instant. 
Il est à observer que ce cas n'est pas le seul. 

Reprenons, en effet, le mouvement envisagé au n° 901. Nous avons vu 
que si le piston, après avoir atteint, suivant la loi considérée en cet endroit, 
une certaine vitesse u, conserve ensuite cette vitesse et se meut d'un mou- 
vement uniforme, la surface représentative du mouvement se compose de 
deux portions de plans raccordées par une nappe conique, de sorte que jus- 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 199 

qu'à un certain instant T, il existe deux discontinuités du second ordre seu- 
lement, lesquelles se réunissent à l'instant T en une discontinuité du premier 
ordre. 

Or, les équations générales de la dynamique (en l'absence de frottement), 
possèdent, comme on sait, cette propriété de ne pas changer par le change- 
ment de t en — t ; et il est d'ailleurs aisé de vérifier ce fait sur toutes les 
équations précédemment écrites. 

Si donc, inversement, nous nous donnions, à l'instant T une discontinuité 
du premier ordre définie précisément par les mêmes éléments que celle qui 
s'établit à cet instant dans le mouvement dont nous venons de parler, nous 
pourrions supposer que le mouvement ultérieur se déduit de celui du n° £©! 
par le changement de i en — t. La discontinuité du premier ordre se résou- 
drait donc en discontinuité du second ordre comme il a été indiqué au n° 1©8. 

£17. — Il faut toutefois observer que les discontinuités susceptibles de 
se résoudre ainsi doivent satisfaire à des conditions assez particulières. Sur 
le cône représentatif du mouvement étudié au n° 201 , on a 

u ~+~ X. 0°) = constante 
et, par conséquent, cette quantité u -f i (tu) doit avoir la même valeur de 
part et d'autre de la discontinuité. Il est clair qu'il en devra être de même 
chaque fois que dans le voisinage du point conique existera un système de 
caractéristiques rencontrant toute ligne régulière issue de ce point sur la 
surface. Or, c'est ce qui se produira nécessairement. Si, en effet, on prend 
l'équation aux dérivées partielles sous la forme (31) ; on voit qu'elle admet l'in- 
tégrale — = constante, — = constante, c'est-à-dire le plan qui, après la 

transformation de Legendre, correspond à un point quelconque de l'espace 
où a, t, a? jouent le rôle de coordonnées. Si l'on effectue cette même trans- 
formation de Legendre sur une surface intégrale à point conique, on aura 
évidemment une transformée tangente au plan correspondant à ce point 
conique tout le long d'une ligne (puisque u et tu prennent en ce point une 
infinité de valeurs). Cette ligne sera donc une caractéristique et sera, par 
conséquent, environnée de caractéristiques infiniment voisines remplissant 
la condition dont il vient d'être parlé. 

Il résulte de là, en particulier, que dans une telle discontinuité, la diffé- 
rence des vitesses est toujours inférieure à la moyenne géométrique entre 
celle des dilatations, divisée par p , et celle des pressions. Cette moyenne a 
eu en effet pour expression d'après les formules (7), (25) 



wv=^i [ t K) _ ¥ („,)] = *y k - *>„) / *»* 



200 CHAPITRE IV 

tandis que la différence des vitesses est 

u i — ^2 = X. ( w 2 ) — / K) = / y! M d <»- 



*S M. 



L'ordre de grandeur des deux quantités u x — u=> et t /— (u^ — w.,) [p.-, — pi) 

V Po 
est donc donné par l'inégalité de Schwartz (chap. i, n° 18). 
La relation 

(75) u t — w 2 = 3cK) — 5C( w i) 

doit, d'autre part, être complétée par une condition d'inégalité. Dans le 
mouvement étudié au n° 201, les deux discontinuités du second ordre exis- 
tant avant l'instant T viennent se rejoindre à cet instant en une disconti- 
nuité du premier ordre comprimante. Si, au contraire, on suivait le mouve- 
ment en sens inverse, comme nous venons de l'indiquer, la discontinuité du 
premier ordre qui existe à l'instant T et se dédouble après cet instant en deux 
discontinuités du second ordre serait dilatante. Il est aisé de voir qu'il en est 
forcément ainsi dans tout dédoublement analogue. Il suffit de remarquer 
encore que le signe de la discontinuité dépend (n 0s 1 MO et 91' 8) de celui 
du produit (m — u 2 ) (0i — G 2 ). Or, le signe de u t — w 2 ou, d'après l'équa- 
tion (75), celui de x («2) — 7, K), est celui de 9j — 2 , puisque nous supposons 
que les ondes les plus comprimées sont celles qui se propagent le plus vite. 
On voit par là qu'une discontinuité d'ordre un, née par la rencontre de 
deux discontinuités du second ordre, ne peut pas se dédoubler ensuite en 
deux discontinuités du second ordre, puisqu'elle devrait, pour cela, être dila- 
tante et non pas comprimante. 

H\ 8. — Nous avons supposé qu'entre les pressions et les densités de 
part et d'autre de la discontinuité existait la relation 



(66) pi < = p 2 w». 

S'il n'en était pas ainsi, comme (dans l'hypothèse où nous nous plaçons 
actuellement) le produit pm™ ne peut changer ni d'un côté ni de l'autre, il 
est impossible qu'aux instants suivants, cette discontinuité soit tout entière 
reportée à l'abscisse a -+- Qdt, en désignant par a l'abscisse de cette dis- 
continuité à l'instant t (mesurée sur l'état initial) et en supposant diffé- 
rent de zéro. Nécessairement, il restera sur place quelque chose de la 
discontinuité primitive et comme une variation brusque de pression ne 
peut exister, comme nous l'avons vu, que dans une discontinuité qui se 
propage, ce sont les densités qui devront rester différentes. Toutefois, il ne 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 201 

faut évidemment pas oublier que ce raisonnement est tout théorique ; dans 
la réalité, il serait impossible d'admettre qu'il ne se fait aucun échange de 
chaleur entre les tranches en contact : les températures et, par suite, les 
densités de celles-ci tendraient donc à s'égaliser. 

219. — Cette discontinuité stationnaire qui vient ainsi se joindre aux 
deux autres, nous la retrouverons même lorsque la relation (66) sera véri- 
fiée, si nous tenons compte de l'objection d'Hugoniot. Dans celte manière 
de voir, en effet, il est clair que la relation (66) n'entraîne plus aucune- 
ment l'existence d'un état intermédiaire unique : nous devons admettre 
qu'entre les mouvements donnés se créent deux états intermédiaires, situés 
de part et d'autre de la discontinuité primitive, caractérisés par une pression 
et une vitesse uniques p, u, mais par deux dilatations différentes u/, u>". 
Nous-aurons alors à écrire les conditions de compatibilité de l'état (p, u, u/) 
avec l'état (p if a i} u^) et de l'état (p, u, u/) avec (p 2 , u 2 , u> 2 ) : soit 



Pi—P 



(76) 



Po("i — y) 

u, — u 



Po (w 2 — u) 



(76) 



'2 — & _ Wa 



1 fl 

2 (P + Pi) ( w a — u ) == ^±Ti (P-2 W 2 — P w ")' 



Lorsque p i9 u t , u> lf p 2 , u % , <o 2 seront donnés, ces équations devront per- 
mettre de calculer p, u, u/, u/, 6^ 6 2 . 

A cet effet, éliminons d'abord u/ entre les deux dernières équations (76) 
nous aurons 



(77) — _ p h- __ Pi = a^A-^LUi - po ? 



m -+- 1 n _^ m — 1 ^ _ Q i (p i — p)wj 

et de même 

(77) m + 1 m-1 __ 6, (p a — p) M> 



U) Wj ' 

2 (P + Pi) ( w i — w) = ^— -j (» 1 o) 1 — pu/) 

fi — Pl — P ! 



202 CHAPITRE IV 

Il sera commode, ici, de prendre pour inconnues 8 t et 8 . L'élimination 
de p et de u entre les équations (77), (77') nous donne 

(78) Po (61 u,, - &««,) = ? ^ll (p, - pj 

{79) PoOλi-»Pt _ P.O^.-'np, = m-M ( _ ^ 

Nous supposons que les propagations des mouvements cherchés dans 
les mouvements donnés ont lieu en sens contraires. Si, pour fixer les idées, 
nous admettons encore que l'état désigné par l'indice 1 est celui de la 
région de gauche, nous devrons avoir 

(80) e 1 < o, ô 2 > o. 

Or, si on la considère soit comme donnant 8j, soit comme donnant 2 , 
l'équation (79) est du second degré et a ses racines constamment réelles et 
de signes contraires. On en conclut aisément que si, maintenant, on consi- 
dère 1 et 2 comme des coordonnées cartésiennes, la cubique représentée 
par cette équation se compose d'une branche impaire^) sur laquelle % i et0 2 
sont de même signe (et que nous devons par conséquent, laisser de côté) et 
de deux branches H x H. analogues à celle d'une hyperbole, asymptotes 
aux axes et situées, l'une dans l'angle défini par les inégalités (80), l'autre 
dans l'angle opposé. La courbe n'admettant aucune tangente parallèle aux 
axes, les valeurs absolues de G t et de 2 varient constamment dans le même 
sens sur la branche impaire, constamment en sens contraires sur R l ou 
sur H 2 . 

Or l'équation (78) représente une hyperbole, les inégalités (80) étant 
vérifiées sur la moitié d'une des branches. Sur l'arc ainsi déterminé, les 
valeurs absolues de 0j et de 2 varient constamment dans le même sens. Il 
en résulte que cet arc coupe chacune des deux branches H t et H 2 de la 
cubique en un point et en un seul, ce qui donne une solution unique de 
la question. Il est à peine nécessaire d'ajouter que l'étude du cas où les 
discontinuités mobiles seraient du même côté de la discontinuité station- 
naire (cas qui peut théoriquement se présenter, d'après ce que nous avons 
vu au n° 21 o, mais dont nous ne nous occuperons pas), ne pourrait pas 
se faire, cette fois, à l'aide des mêmes calculs que la précédente, et que les 
équations à écrire seraient notablement différentes. 



( J ) On sait qu'on nomme ainsi une branche de courbe qui est coupée par toute 
droite en un nombre impair de points. 



MOUVEMENT RECT1L1GNE DES GAZ 203 

On pourrait également se demander comment la pression intermédiaire p 
est située par rapport aux pressions^ et p r On répondra aisément à cette 
question en faisant varier le point (0,, G 2 ) sur l'hyperbole (78) et calcu- 
lant p par les équations (concordantes) (77), (77') ; il est clair que p est 
croissant avec | 0j | et | 2 | . Il suffira dès lors, de substituer dans l'équa- 
tion (79) les points qui correspondent hp ~p t et p =/V 

220. — Le gaz étant primitivement en repos, supposons qu'on com- 
munique brusquement au piston un mouvement uniforme de vitesse 
donnée V. On peut se proposer de déterminer le mouvement qui prendra 
naissance dans ces conditions. 

Comme l'ont montré tout d'abord MM. Sébert et Hugoniot ( ! ), puis Hu- 
goniot seul dans le Mémoire cité, les équations de compatibilité précé- 
demment établies permettent de résoudre très simplement ce problème. 

Nous allons voir, en effet, que, soit dans l'hypothèse de Riemann, soit 
dans celle d'Hugoniot, il existera un mouvement de la forme 

(81) x = ma H- \t 

(w constant) qui sera compatible avec le repos, la vitesse de propagation 
étant, bien entendu, constante. Dans ce mouvement, le gaz restera bien en 
contact avec le piston puisque, pour a = 0, on aura x = y*. 

De plus, la quantité k qui figure dans la formule (2') sera constante 
même en tenant compte de l'objection d'Hugoniot, tout en ayant, dans 
ces conditions, une valeur différente de celle qui correspond au repos, k ne 
dépend en effet, que des éléments de la discontinuité : or ces éléments 
sont ici des constantes. 

k étant constant, l'équation aux dérivées partielles aura la forme (8) et 
sera, par conséquent vérifiée par l'expression linéaire (81). 

Partons d'abord des formules d'Hugoniot : p e étant la pression primitive 
au repos, p la pression inconnue qui existera dans la partie en mouvement, 
les équations de compatibilité seront 

= (condition cinématique), 

(condition dynamique). 

m H- 1 — (m — 1) to 
(m-t- 1) io — (m — 1)* 

Il y a lieu de remarquer que la solution serait à peu près évidente si la 

( J ) Sebert et Hugoniot, G. R. Ac. des Se, tome XCVIII, p. 507 ; 25 février 1884. 



(82) 


V-K6(to — 1) 


(83) 


P — Po=?o eV 


(84) 


Z - 



204 CHAPITRE IV 

donnée du problème était comme au n° 190, la pression p (supposée cons- 
tante et différente de p Q ), On aurait alors w par l'équation (84), ou par 
l'équation de Poisson, si l'on restait au point de vue de Riemann, puis les 
deux équations (82) (83) se résoudraient absolument comme au n° £06. 

Revenons au problème posé, celui où la donnée est V et non plus p. 

Nous prendrons alors 6 pour inconnue : les équations précédentes don- 
neront 

(85) e*_???-+i6V--» = 0. 

* Po 

Le choix de l'inconnue 8 offre cet avantage de permettre de décider im- 
médiatement entre les deux racines de l'équation précédente : celles-ci 
sont, en effet, de signes contraires et, si comme nous le supposons toujours, 
le gaz est situé du côté des a positifs, c'est la racine positive qui convient 
seule, la racine négative correspondant au mouvement analogue engendré, 
par le même mouvement du piston, dans une masse gazeuse en repos située 
de l'autre côté de celui-ci. 

Nous aurons donc 




Toutefois, une condition est encore nécessaire pour que la solution ob- 
tenue convienne au problème : il faut que l'on ait p ]> 0. Celte condition 
est toujours remplie pour V >> ; mais, dans le cas contraire, c'est-à dire 
si le piston a un mouvement décomprimant, on devra avoir 

A _^- Po 

9< pT? 

ce qui donne 

.(86)' V 2 < 2p ° 



(m—l)p * 

Pour des valeurs plus grandes de — V, le gaz cesserait de suivre le 
piston, absolument comme nous l'avons vu au n° 192 ; seulement, lorsque 
la vitesse limite était atteinte progressivement, son expression était 

V = r = — — i \ I — — , quantité supérieure à celle qui est donnée 

m — 1 w-ly p M ' 

par la formule (86). 

On doit aussi remarquer que,] dans le cas de la vitesse brusquement 
communiquée, la pression et la température absolue deviennent seules 
nulles sans qu'il en soit de même de la densité. 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 205 

221. — Si l'on restait dans les idées de Riemann sans tenir compte de 
l'objection d'Hugoniot, on devrait remplacer l'équation (84) par 

(66') po> m = p . 

Celle-ci représenterait, comme précédemment, une courbe dont il fau- 
drait prendre l'intersection avec l'byperbole (p — p Q ) (1 — to) = p V 2 résul- 
tant de l'élimination de 6 entre les équations (82) (83), ou plutôt, avec la 
branche de cette courbe qui correspond à 6 >> 0. On trouvera encore une 
solution et une seule, l'un des points de la courbe (66) dont la distance 
hyperbolique au point (1, p ) est V. 

La question se présenterait d'une manière tout analogue si le gaz, au 
lieu d'être primitivement au repos était animé d'un mouvement de la 
forme (81), avec une dilatation o> et une vitesse V . On aurait à chercher, 
sur une courbe analogue à (66), un point situé à la dislance hyperbo- 
lique (V — V ) du point (w , p ). 

222. — On peut aisément déduire de ce qui précède une mesure de la 
résistance opposée par le gaz au mouvement du piston. 

Supposons à cet effet celui-ci placé tout d'abord entre deux masses de 
gaz au repos et homogènes entre elles, l'une située du côté des a positifs, 
l'autre du côté des a négatifs. Si, dans ces conditions nous lui donnons 
instantanément la vitesse positive V, nous ferons naître, ainsi qu'on vient 
de le voir, deux ondes se propageant en sens contraires. L'une, correspon- 
dant à la racine positive 6 t de l'équation sera de compression ; l'autre, 
correspondant à la racine négative 8 2 de la même équation, sera une onde 
de dilatation. Les pressions correspondantes p x et p 2 se calculeront immé- 
diatement à l'aide de l'équation (83) et il viendra 



(87) 



Pl - P2 = Po m - e 2 ) = 2 Po v -y/pf- 1 ) V + a. 



Cette quantité représente la résistance cherchée, celle-ci étant la résul- 
tante des pressions exercées sur les deux faces du piston. 

L'expression (87) croît à peu près proportionnellement à la vitesse pour 
de petites valeurs de cellerci et au carré de cette vitesse lorsque sa valeur 
est grand». C'est précisément une loi assez analogue que l'on observe expé- 
rimentalement dans le mouvement des projectiles ; mais avec une crois- 
sance un peu plus lente (*). Celte discordance n'a rien qui doive surprendre 

y}) Ainsi que nous l'avons dit au n° 212, la résistance paraît avoir sensiblement 
la valeur qu'elle prendrait s'il n'y avait pas dépression à l'arrière, c'est-à-dire si 
Ton avait p 2 = p (et de plus 6 t = Vj. 



206 CHAPITRE IV 

et il est même naturel qu'elle se produise dans le sens que nous venons de 
dire puisque, dans notre tube, le piston ne peut se mouvoir sans refouler 
entièrement devant lui le gaz, tandis qu'à l'air libre, celui-ci peut glisser 
latéralement, ce qui diminue évidemment la résistance. 

Cependant, même en restant au point de vue du mouvement rectiligne, 
les considérations précédentes soulèvent deux observations. 

Tout d'abord, elles doivent être modifiées si la vitesse V dépasse la 
limite (86). Alors, en effet, le vide se fait à la face postérieure du piston ; 
par conséquent, la pression (négative) p. 2 doit être remplacée par 0. La 
résistance est donc 

a = ^ ft + h T(sf'y + v /(^ + ft 

En second lieu, il est plus naturel de supposer que le piston acquiert la 
vitesse V progressivement et non instantanément. Ce sont alors les for- 
mules des n os 141 et 18S, qu'il convient d'appliquer, et non celles dont 
nous venons de nous servir. On devra donc calculera) par la formule (54), 
(n° 182>) et prendre p = <p (u>) = p w™ m , ce qui donne 

ML. 

X = t / — £$ désignant encore la vitesse du son en l'état primitif. 
Le même calcul pour l'onde d'arrière donnera 

/. m — 1 V\ 

d'où 

t 2m 2m -] 

(i l+ -L F f-ï)—-(.-- i ag-^ 

le terme soustractif devant toutefois être remplacé par lorsque V dépasse 
la limite trouvée au n° 192. 

La résistance ainsi calculée croîtrait notablement plus vite que le carré 
de la vitesse. 

Seulement, à son tour, le raisonnement précédent ne peut être accepté 
sans objection. 11 suppose, en effet, que la singularité de Riemann-Hugo- 
niot ne se produit pas. Or l'hypothèse contraire est bien plus vraisemblable^ 



2m 

1 \\m-zn 



MOUVEMENT RECT1LIGNE DES GAZ 207 

dans les conditions où s'opère, par exemple, le mouvement des projectiles. 
Dès lors, il faudra admettre qu'il naît, à un instant déterminé, deux ondes 
de discontinuité du premier ordre, l'une se propageant en avant, l'autreen 
arrière. Cette dernière, par réflexion sur le piston, donnera une nouvelle 
onde à vitesse positive, laquelle, se propageant plus vite que la première ( J ), 
la rattrapera. A ce moment deux nouvelles ondes nattron t ; et ainsi de suite. 
Hugoniot admet que cet échange d'ondes aboutit finalement à la cons- 
titution d'un état identique à celui qui se produirait si la vitesse V était 
communiquée d'emblée au piston. Nous constaterons plus loin, dans un 
cas particulier, que les choses se passent bien réellement ainsi. 

223. -- Nous allons actuellement aborder la discussion du phénomène 
de Riemann-Hugoniot. 

Nous supposerons pour simplifier, que le gaz, dans son état primitif, est 
au repos ; que l'onde de tête est la première à présenter la singularité con- 
sidérée, et aussi que le mouvement communiqué par le piston à la partie 
du fluide qui l'avoisine (partie que nous supposerons située à gauche) est 
analytique. Nous allons tout d'abord former l'équation de ce mouvement. 
On doit, à cet effet, comme nous le savons, éliminer t entre les équations 
(59) et (60). 

L'arête de rebroussement de la développable ainsi obtenue est définie 
(n° 1 94) par l'équation 

■f = (<-'.)x>.)^-°-x'K) = ° 



qui. en général (et nous ne traiterons pas le cas exceptionnel où il en serait 
autrement), sera résoluble par rapport à t Q . Soit t' la fonction de t qui 
substituée à t vérifie l'équation précédente. Dans les équations (59) et (60), 
où t n'est plus égal à t' , puisqu'on n'est plus sur l'arête de rebroussement, 
posons 

h — t' H" *■ 

a et x deviendront des fonctions de t et de x lesquelles, ordonnées suivant 
les puissances de cette dernière variable, manqueront de termes du premier 
degré : soit 

(88) a === a -f a 2 x 2 -+- a 3 x 3 -+- .., 

(89) x = X -+- .r 2 x 2 -+- ^x* + .... 

( J ) Voir plus loin, n° S38 



jr-j. w - « 



208 CHAPITRE IV 

a , X , a 2 , a 3y .„. ; x 2 , cc 3 , ... étant des fonctions de t, les deux premières 
telles que a = a (t) et x = X (t) donnent les équations de l'arête de 
rebrousseraient. Toutes ces fonctions de t sont d'ailleurs analytiques. 
L'équation (88) permet de développer x suivant les puissances de 

ya — a, à moins que a. 2 ne soit nul à l'origine, hypothèse que nous écar- 
tons encore ('). 

Substituant ce développement dans (89), on obtient la valeur de x cor- 
respondant au mouvement de gauche. Nous désignerons cette valeur par X. 
On aura (en désignant par X t , X 3 , ... des fonctions analytiques de t) 

2 

(90) X = X + (a - a) X 4 -+- (a - a)* X 3 -+- .... 

î 

224. — Nous supposerons l'origine des espaces et celle des temps trans- 
portées au lieu et à l'instant où naît le phénomène. Dans ces conditions, 
X et a sont nuls avec t : ils commencent par des termes en ~kt, en dési- 
gnant parX la vitesse du son qui correspond à l'état primitif du fluide. De 
plus, la surface étant tangente au plan œ = a, on a X x (0) = — 1. 

Nous conviendrons que, dans l'équation précédente, le radical (a — à)* 
est pris avec sa détermination positive. S'il en est ainsi, le coefficient Xa(0) 

doit être positif. En effet, le mouvement du piston étant comprimant, on 
doit avoir X >> a, et ceci ne peut avoir lieu, pour t très petit et d'ordre au 
plus égal à celui de a — «, que si X? (0) >> 0. 

225. — Il s'agit maintenant d'obtenir l'équation du mouvement inter- 
médiaire qui prendra naissance entre le mouvement ainsi défini et la partie 
de droite qui est au repos. Nous ne pourrons d'ailleurs le faire sans déter- 
miner du même coup la marche des deux ondes qui se propageront; autre- 
ment dit, en même temps que l'équation du mouvement, il faudra trouver 
le domaine dans lequel il est défini. 

C'est la difficulté signalée au n° 168. Mais elle est ici particulièrement 
grave. Dans les autres questions de Mécanique où le mouvement cherché 
n'est pas représenté par une seule équation analytique dans tout le corps 



(!) Si le coefficient a 2 est différent de zéro, il en est de même de x^. Car pour 

— =: 0, la quantité ^-r, = 2x 2 est égale a to r-^- , en vertu de luientité j— = w <—-. — 

Les deux coefficients a 2 , x. 2 sont d'ailleurs négatifs dans le cas actuel, la surface 
étant située à gauche de son arête de rebroussement. 



MOUVEMENT RECTILIGNE DE3 GAZ 209 

considéré, les régions dans lesquelles ce mouvement a des expressions 
différentes, sont en général connues à priori» Tel est, par exemple, le cas 
d'une onde du second ordre qui se propage dans un gaz dont le mouve- 
ment antérieur est donné, ce mouvement intervenant seul dans l'expres- 
sion delà vitesse de propagation. Il en est autrement, nous venons de le 
voir, dans la question actuelle. 

Nous traiterons celle-ci, pour simplifier, sans tenir compte de l'objection 
d'Hugoniot. Nous admettrons que, à la naissance de la discontinuité du 
premier ordre, il s'établit dans la tranche intermédiaire une pression, une 
densité et une vitesse uniques. 11 est aisé de voir, alors, que cette pression, 
celte densité et cette vitesse ne peuvent être autres que celles qui existent 
dans la tranche de droite (par conséquent, u = 0, w = 1) et qui, initiale- 
ment, ont les mêmes valeurs dans la tranche de gauche ( 1 ). 

Nous aurons alors à déterminer : 

1° L'abscisse a t de la discontinuité entre le mouvement cherché et le 
mouvement de gauche ; 

2° L'abscisse a 2 de la discontinuité entre ce même mouvement et la partie 
droite au repos. 

Les deux ondes de discontinuité se propageant avec une vitesse initiale 
égale à vitesse A du son introduite au n° 175, a l et a 2 auront des dévelop- 
pements commençant par des termes enzh \t : nous écrirons 



(91) a 1= = — lt — V3*2 — v 2 * 2 .... 
et 

(92) a. 2 = lt-{- {x 2 * 2 h- .... , 

en admettant par avance ( 2 ) (ce que la suite du calcul vérifiera) que « 2 ne 
contient point de termes à exposants fractionnaires en t. 
3° L'équation du mouvement de la tranche intermédiaire. 



(') Soient p la pression primitive, p la pression et u la vitesse existant au pre-- 
mier moment dans la tranche intermédiaire. On devrait avoir à la fois 

u " u " 

6j et G 2 désignant les vitesses de propagation des ondes. 

Or ceci ne peut avoir lieu que pour p ■= p Q , u = 0. 

( 2 ) Il est clair que nous aurions pu laisser tout d'abord indéterminés les exposants 
de t aussi bien que les coefficients. La suite du calcul donnerait pour ces exposants 
les valeurs mêmes que nous leur avons assignées ici. 



210 CHAPITRE IV 

Les conditions à vérifier par ces différentes inconnues seront d'abord 
l'équation aux dérivées partielles 

W W = * UJ M* 

laquelle devra avoir lieu dans toute la tranche intermédiaire. 

La fonction ty étant donnée par la relation (41) on aura, en posant 

(93) ^= w = l + s 

et e'fi tenant compte de la formule (42) qui définit X, 

(94) *(» + i) - » [i - (m + i). + ' a + 1 ' 2 ' B ^ s' + ....]• 

En second lieu on devra avoir 

(95) œ = a, pour a = a. 2 

(96) œ = X = X -+- (a — a) X i ■+■ (a — a)ï Xa H- ...., pour a = a r 

De plus les deux discontinuités a i et a 2 devront vérifier les conditions de 
compatibilité. Nous n'avons pas à écrire les conditions cinémaliques, les- 
quelles sont implicitement contenues dans les conditions (95), (96). 

Les conditions dynamiques et physiques donnent (puisque nous sommes 
dans l'hypothèse de Riemann) 

fl /'? ( m) — ? K ) _ ± x /l (1 h-e)-»~(1 +e.)-« 

V P<> ( w i — w ) y m e 4 — s 

(en posant encore w = 1 + e, w, = 1 -+■ e 4 ) ou 

(97) e = ±x[l-^+J (e + Sr) + ....J 

Dans la partie au repos, t i est nul. Au contraire dans le mouvement de 
gauche il u une valeur en général différente de et qui doit être calculée 
par l'équation (90). 

On a donc les deux conditions supplémentaires 

w $.=-.*[i-*^-+-o+:....] 

(99) g _*[< _- + !. + ....] 

où il est entendu que, dans l'équation (99), e est calculé pour a = a 2 tandis 
que dans l'équation (.98), e et e, correspondent à a = a r 



MOUVEMENT RECT1L1GNE DES GAZ 211 

226. — Pour développer oc en série nous introduirons, au lieu de a et 
de t y les variables 

(ioo) v « = . + **. 

dans lesquelles 

(101) a = X*-h(M 2 + J* 2 ) t* -h .... = « 2 -+-M 2 Z 2 -f-M 3 * 3 H- .... 

désigne un développement à coefficients indéterminé? (sauf le premier) 
ordonné suivant les puissances de t. La variable £ n'est d'ailleurs introduite 
que pour simplifier le calcul. Il n'en est pas de même, comme on va le voir, 
de la variable /), qui joue un rôle fondamental dans le développement. 
Nous écrirons 

(102) x = a -+■ F 3 + F 2 -h .... = a + F 

les F, étant des ensembles homogènes en Ç, f\ de degrés marqués par leurs 
indices. 
Gomme on a 

_Ô _b b b 2 /ô _b_\ 2 

ba ô? bï)' bô 2 ~~ \bf bt)/ 

b 2 .. b 2 . , b 2 ,■ b 2 „ b 

-g = X 2 -x- -+- 2Xoc' -ç— -4- a' 2 —r -H a" — 
br b£ 2 bçbTi Ô7) 2 b7) 

(a', a" désignant les deux premières dérivées de a par rapport à t), l'équa- 
tion (8) s'écrit 

.. 2 b 2 F /b 2 F b 2 F ^ b 2 F\ f , /. ^ bF bF\ , 2 ~| 

4x %i^ = (b^-^Tb^ + b-^)Ln lH "^~^)~ x J 

- 2X (a' - X) -gf- - (a' 2 - X 2 ) fl _ a" îL 



(103) 



Dans cette équation, a' et a" peuvent se remplacer par leurs développe- 
ments en t. Mais ils peuvent également se développer suivant les puissances 
de la variable £ -h t\, en fonction de laquelle £ pourra s'exprimer, moyen- 
nant la résolution de l'équation 

(104) Ê -h *j = a H- Xi = 2lt -h (M 2 -H fx 2 ) * 2 -h ... -H (M A ■+■ fx A ) ** ■+- ... 

Dans l'équation (103) ainsi écrite, un terme quelconque du développe- 
ment de F (pourvu qu'il contienne à la fois £ et vj) donnera dans le premier 
membre un terme de degré moins élevé que dans le second. 



212 CHAPITRE IV 

Nous désignerons par Ç- t et r a les valeurs de £, ^ correspondant à a = a,, 
soit 



u- 



3 



(105) < 

/ Y]! == 2'Xf-J- V3«2 -f- (v 2 +Mj H- {X 2 ) J 2 -4- ...., 

par ç 2 , /] 2 les valeurs de ces mêmes variables pour a — a 2 , soit 

(106) ? 2 = 2At-+- M 2 + ....-h M A 4- .... 
(106') 7) 2 =± M 2 * 2 h- .... + M> -h .... 

L'équation (96) s'écrira donc, 

(107) F(^,r )l ) == X -a + (a -a 1 )(lH-X 1 )4-K-a 1 )iX3H-....; 
l'équation (95) 

(108) F(S 2 ,*) 2 )=0 
les équations (98) et (99), 

( _x_|v i a-2v a< _... 

(109), j. m + l/bF bF Y 3, .i„ \ 1 

,^^ -v o , Ti m -h 1 /ôF ôF\ 1 

(110) X + 2M+- = X[1-— j— (^ -STJ + " -J- . 

S27. — Cela posé, considérons, dans l'équation (103), les termes 

d'ordre — K . Ceux-ci seront exclusivement fournis par le terme Fa du dé- 
2 r 2 

m ô 2 F 3 _ 
veloppement de F. On devra donc avoir „-£-—= 0, d'où 

(111) F* = K*)l-*-K'Êi. 

Les coefficients K et K' se détermineront par les conditions aux limites 
(107) et (108). Tout d'abord pour a = a 2 , *) est de l'ordre de t 2 au moins, 
tandis que \ est de l'ordre de t. La condition (108) montre dès lors que K' 
doit être nul. 

228. — Au contraire, pour a = a t , la quantité a Q ■— a a pour partie 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 2H 

principale 2X2, et il en est de même de n : la comparaison des termes 

3 
d'ordre ^ de x et de X donne donc 

K = ±X 3 (0). 

Nous voyons ainsi que K est en général différent de zéro. Nous aurons donc 

un terme en -/)2 et, par conséquent, dans la surface représentative, une arête 
de rebrousse ment, correspondant à *) = 0. Une seule des nappes séparées 
par cette arête devra faire partie de la portion utile (sans quoi, comme pré- 
cédemment, on trouverait deux valeurs de x pour un même système de 
valeurs de a et de t) : nous conviendrons que c'est celle qu'on obtient en 

donnant à y vj sa valeur positive. 

S'il en est ainsi, dans la condition (107), le radical \A) = y2\t -+■ ... 
devra recevoir sa détermination positive. Comme il en est de même de 

ya — a, en vertu de la convention faite au n° 224, nous devrons écrire 

K = X|(0), 



quantité positive, ainsi que nous l'avons remarqué plus haut. 



229. — Envisageons maintenant les équations (98) et (99) en ne rete- 

1 

nant que les termes d'ordre ^. Il n'existe aucun de ces termes dans le 

quantité e pour a = a. 2 , ?) 2 étant d'ordre supérieur à 1 en t. Donc il n'en 
existe pas non plus, au premier membre de l'équation (99) et par consé- 

3 

quent nous voyons bien que a 2 ne contient pas de terme en t 2 . 

Pour a = a it des termes d'ordre 5 apparaissent dans t et z i ; ces termes 

sont d'ailleurs connus. Nous connaissons, en effet, le second membre de 

3 
l'équation (102) jusqu'aux termes d'ordre ^ inclusivement; et d'autre 

part le premier terme du développement de — qui dépend de V3 (savoir 

celui qui provient de (a Q — a^lXA contient cette quantité comme coeffi- 
cient de la première puissance (au'moins) de t. 

On constatera d'ailleurs que les termes en t* se détruisent dans e -t- e t de 
sorte qu'on a va = 0. 



214 CHAPITRE IV 

«J30. — La détermination des termes d'ordre 2 est tout analogue. 
L'équation (103) nous donne 

car le seul terme d'ordre zéro qui existe au second membre de cette 
équation est obtenu en multipliant le facteur j r t ~ ï (provenant de -r-j) 

par ^ {m 4- 1) I provenant de ty 1 1 4- ->- — —-J — X 2 I. On aura donc 

F 2 = 3 | (m + 1) K 2 ^ -+- K 2 r) 2 + K'.Ç» 

K 2 et K' 2 étant des coefficients à déterminer. L'équation (108) donnera 

K' 2 = 0, car les autres termes sont tous d'ordre 3 au moins. L'équation 

(107) fera connaître K 2 par l'examen des termes d'ordre 2 en t. Puis 

l'équation (109) détermine v 2 . 

Au contraire, la condition (110) ne suffit pas à déterminer jji 2 . Les termes 

en t contiennent, en effet, le coefficient arbitraire M a qui n'a joué jusqu'ici 

j^xji q 

aucun rôle, et qui s'introduit par le terme — - = ^ K^â -h ... 

Désignons par 

(112) m^ -h m 2 * 2 + ... -+- m A <* -h . . . 

la racine carrée positive du développement *) 2 = M 2 t~ ■+■ M. A t 3 H- .,., de 
sorte que m i est la racine carrée positive de M 2 . C'est ce développement 

(112) qui devra être substitué à tq 2 2 dans l'équation (110) : nous aurons 
alors : 

fA**\ 3X(m-hi)K , 9 , 9 . .v 2tra 

(113) Ki = 16 ™t •+■ ï28 ^[™> -+■ *) 2 k 2 - 

231. — Nous avons à trouver entre k 2 e l w i» une seconde relation : 

5 
celle-ci va résulter de la considération des termes d'ordre h • 

Considérons, dans l'équation (103), les termes d'ordre *. Certains d'entre 



viennent du produit de —y = -s *) a H- ..., d une part par 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 215 

eux sont en v. Mais deux autres sont en çtj - 2 : ce sont ceux qui pro- 

= ? X 2 (m h- 1) n i + ^ (m 4- 1) 2 K 2 £ -H ..., 
d'autre part, par 

4X(M 2 -f- fi 2 ) t ='2(M 2 -h &) (| -H 7j) H- .... 

Une fois intégrés par rapport à \ et à ?), ces termes contiendraient en 
fadeur ?) à u !a puissance ^ seulement. 

Or cette circonstance rendrait inexacte la formule (113) : la quan- 
tité — = -s contiendrait, en effet un terme en | 2 ?)~ », lequel, pour 

a = a 2 , serait d'ordre 1 en t, puisque n est d'ordre 2. 

C'est cet inconvénient que nous allons éviter en disposant du coefficient 

arbitraire M 2 = m^ de manière à annuler ce terme eni" 2. Nous écri- 
rons donc 

(114) 2(M 2 + fx 2 ) = 2 (m? -h is) = ^ (m + 1) 2 K 2 X 2 

ce qui, joint à la relation (113), nous permet, cette fois, de déterminer 
m l et ji 2 : en éliminant ce dernier, il vient 

mf-hygXfm-t- l)K.m 1 — ~ (m -H- 1) 2 K 2 X 2 = 0. 

Nous savons que nous devons prendre la racine positive de cette équa- 
tion : nous aurons donc 

3X(m-h i)K 
^ = ^X 2 (m + l) 2 K 2 . 
232. — Ayant amsi calculé les premiers termes de nos inconnues, 



216 CHAPITRE IV 

nous allons montrer d'une manière générale, comment on obtiendra les 
suivants : 

Supposons qu'on connaisse : 

Le développement de F en fonction de £, ij jusqu'aux termes d'ordre q 

inclusivement [q étant un entier ou un entier -h ^ 

Le développement de a t en fonction de t jusqu'au même ordre ; 

Les développements de a et de a 2 , jusqu'à l'ordre q — 9 seulement. Le 

premier de ceux-ci nous fait connaître t en fonction de £ h- tq jusqu'aux 

1 

termes du même ordre q — p ; et la connaissance du développement de 

a — a 2 = ï) 2 équivaut à celle du développement (112) jusqu'aux termes 
en tv-l- 

Nous supposons de plus : 

1° Que la partie connue du développement de F ne contienne nulle 

1 

part 7) avec l'exposant ~ ; 

2° que cette quantité ^ soit la seule à y figurer avec des exposants frac- 
tionnaires, et qu'il n'en entre aucun dans les parties connues des dévelop- 
pements de a et de a 2 . 

Dans ces conditions, nous allons déterminer les termes d'ordre q ■+■ ^ 

de F et de a,, les termes d'ordre g' de a et de a 2 . 

3 
Dans le second membre de (103), tous les termes d'ordre q — 9 sont 

connus, sauf ceux qui peuvent provenir du produit de 

(M t -4- i*,) »-' = (M, + F4) (tJt + "■)'"' 

(quantité qui fait partie du développement de a'j par n ~ i. 

Mais dans ceux-ci, il y en a un qui est en ^~ l r t ~2, avec le coefficient 
&TT - i • Nous déterminerons M, + ;^ 9 par la condition que ce terme dé- 

truise le terme semblable provenant de î!ï <jYl -+. L. — — j. Ceci donnera 

d'ailleurs M q ■+■ p q = lorsque g ne sera pas entier, puisque nous suppo- 
sons que les termes déjà connus ne contiennent pas de puissances fraction- 
naires de £. 



MOUVEMENT RECT1L1GNE DES GAZ 217 

M q -h \x q étant eonnu, nous connaîtrons — -< — ? et par conséquent, 

F (/ f i lui-même à deux termes près, l'un en £«.+ !, l'autre en rfl + i. Le pre- 
mier de ceux-ci se déterminera par l'équation (108), le second par l'équation 
(107) ; ils donneront en effet, dans ces deux équations respectivement, les 
seuls termes encore inconnus (*.) en ti + 2 . 

Moyennant ces résultats, on connait, dans le second membre de l'équa- 
tion (109), tous les termes en t q ~l et on a, par conséquent, le coefficient 

Dans l'équation (99), on connaît également tous les coefficients de é*-*, 

m -h 1 3K 
sauf le coefficient q\x q du premier membre et le coefficient X — j T) - m q . i 

qui, au second membre, provient du développement de 
ôF , m-+-l/3K i ,\ 



> m_H- 1 bF 



On a donc la différence q\x. q — - feiJ.mj»,. Comme on a obtenu, 

d'autre part, M g -h [i q (c'est-à-dire, à des termes connus près, 2m x m^ H- \*. q ), 
H q et m s _! sont connus. Ils sont d'ailleurs nuls pour q non entier, puisque 
le calcul fait au second membre de l'équation (110) n'introduit pas de puis- 
sances fractionnaires de t. 

233. — Nous pouvons donc bien calculer de proche en proche tous les 
coefficients cherchés et nous aurons des développements satisfaisant for- 
mellement aux conditions du problème. Il resterait à prouver que ces 
développements convergent. Mais cette démonstration serait très difficile, 
sinon tout à fait impraticable, en se plaçant au point de vue que nous 
venons d'adopter. En réalité, c'est sous une forme toute différente qu'il y 
aurait lieu de traiter la question. 

Ainsi que nous l'avons remarqué, le développement de x, ordonné sui- 
vant les puissances de \ et de \}'y\ (avec exclusion des termes du premier 
degré en \Jr^) représente, en supposant sa convergence démontrée, une sur- 



(!) Dans le terme (a — a^du développement de X, le terme v î + i t? + | du déve- 
loppement de a i donne un terme en ê» + | + A -*. D'autre part, pour h = i, ce terme 
est multiplié par 1 + X u lequel est privé de terme constant. 



218 CHAPITRE IV 

face à arête de rebroussement. Il est aisé de voir que toute équation aux 
dérivées partielles du second ordre de la forme (17) admet des surfaces 
intégrales de cette espèce. Il suffit, en effet, pour en obtenir une, de traiter 
le problème de Caucby dans des conditions telles que la relation (21) soit 
vérifiée, mais non la relation (22). 

Les considérations développées plus haut (n° 159) montrent bien 
qu'alors les dérivées secondes sont infinies. Si d'ailleurs on effectue un 
changement de variables de manière à ce que la courbe y devienne l'axe 
des x+ if est aisé de s'assurer, au moins formellement, que z admet un 
développement suivant les puissances de x et \Jy. Plus généralement, sup- 
posons qu'en- un point de la courbe y la condition (21) soit vérifiée (à 
l'exclusion de (22)). Un calcul tout analogue à celui qui vient d'être 
exposé fournira un développement formel de z représentant une surface à 
arête de rebroussement (celle arête étant tangente à y au point considéré). 

Seulement, rien ne prouve que les développements ainsi obtenus soient 
convergents. C'est ce que l'on reconnaît au contraire si l'on opère une trans- 
formation de contact. Effectuons par exemple, la transformation de Legendre : 
nous devons remplacer x, y, z, p, q par p, q> px -h qy — z, x, y ; A, B, 
B', C, D par D, B', B — G, A. Après cette transformation, la relation (21) 
cessera d'avoir lieu à moins que primitivement on n'ait en outre la 
suivante 

(115) J)(dpdx~h- dq dy) 4- B' dq 2 -h 2 Gdp dq -+■ Bdp* = 0. 

Il est évident a priori que cette seconde relation est vérifiée si l'on a (22), 
puisque le système des deux équations (21) et (22) est invariant par une 
transformation de contact. Pour vérifier ce fait, il suffit de multiplier l'équa- 
tion (21) par dpdq, l'équation (115) par dxdy, et d'ajouter : la relation 
obtenue se décompose en l'équation (22) et en la suivante 

(116) dpdx -f- dqdy = 0. 

Nous excluons le cas où la relation (22) serait vérifiée : il se pour- 
rait alors que l'on eût affaire à une caractéristique. La transformation 
de Legendre fera donc disparaître la singularité sauf le cas exceptionnel où 
l'on aurait (116). Le problème transformé aurait une solution régulière, 
la surface représentative de celte solution ayant seulement, en chacun des 
points primitivement singuliers, l'allure d'une surface développable, c'est- 
à-dire vérifiant en ces points la condition rt — s 2 == 0, ainsi qu'il est facile 
de s'en assurer. 

En revenant à l'ancien système de variables, la singularité considérée 



MOUVEMENT RECTILIGNE DES GAZ 219 

résulte des formules du n° 163, qui font connaître l'effet de la transforma- 
tion sur les dérivées r, s et t. Un calcul élémentaire, et d'ailleurs tout 
analogue à celui qui a été fait au n° 163, montre que cette singularité est 
une arête de rebroussement (autour de laquelle la surface est représentée 
par une équation analogue à (90)) correspondant à la ligne qui est sur la 
transformée de Legendre le lieu des points paraboliques. 

Reste le cas où l'on aurait (116) : alors la transformation de Legendre 
ne ferait pas disparaître la singularité. C'est ce qui arriverait si la surface 
cherchée avait, au voisinage de son arête de rebroussement, l'allure d'une 
surface développable. On peut toujours éviter cette circonstance en effec- 
tuant au préalable la transformation qui consiste à remplacer la fonction 
inconnue z par z — F (x, y), F étant une fonction arbitraire, p et q sont 
alors diminués des dérivées de celle-ci, dérivées dont on peut évidemment 
disposer de manière à ce que la relation (116) cesse d'avoir lieu sur y- On 
voit donc que, dans tous les cas où l'on a (21) mais non (22), le problème 
de Cauchy a une solution représentée par une surface à arête de rebrousse- 
ment. Il est d'ailleurs clair qu inversement, toute surface intégrale à arête 
de rebroussement peut être considérée comme obtenue de cette façon ; elle 
peut être changée, par une transformation de contact convenable, en une 
surface régulière. 

Tel sera donc le cas de la surface dont nous avons appris tout à l'heure 
à développer l'équation. La meilleure méthode pour étudier cette surface 
parait dès lors être d'effectuer une transformation de contact telle que la 
surface (90) et la surface cherchée soient remplacées par des surfaces régu- 
lières. La question ainsi transformée sera alors une de celles auxquelles on 
peut essayer d'appliquer la méthode des fonctions majorantes. Seulement, 
une étude nouvelle sera nécessaire à cet effet, car cette question ne rentre 
dans aucun des problèmes traités jusqu'ici. Elle conduirait à les généraliser 
encore, en abordant le suivant, qui les comprend tous comme cas parti- 
culier et dont l'étude offrait en elle-même un grand intérêt : 
Etant données cinq équations aux dérivées partielles 

F = 0, A = 0, /" 2 = 0, /; = 0, y; = o, 

trouver une surface intégrale de la première équation sur laquelle il 
existe une ligne l ou Von ait à la fois f t ■= 0, f 2 = et une ligne V où 
Von ait à la fois f 3 = 0, f = (ces données étant supposées telles que 
ces différentes conditions puissent être vérifiées ensemble à l'origine où les 
deux lignes l, l' devront passer). 

En un mot, on ne connaît ici, aucune ligne par laquelle doit passer la 



220 CHAPITRE IV 

surface cherchée : on sait seulement que, le long de son intersection 
(inconnue) avec la surface (90), les coefficients angulaires de son plan 
tangent doivent vérifier l'équation (98) et qu'une équation analogue doit 
avoir lieu sur son intersection avec la surface x = a. 

234. — Sans nous arrêter à rechercher si l'on pourrait disposer de la 
transformation de contact de manière à ce que ces conditions deviennent 
ponctuelles, en sorte qu'il en résulle la connaissance de deux lignes situées 
sur la surface transformée, nous remarquerons que la question se pose 
d'une façon un peu différente si ce n'est pas sur la première onde que le 
phénomène se produit lout d'abord, ce qui arrivera par exemple, si on 
commence par donner au piston une accélération négative pour changer 
plus tard le signe de cette accélération. Dans ce cas, l'arête de rebrous- 
sement de la surface qui représente le mouvement de gauche aura un 
point de rebroussement, de sorte que le développement (90) et le dévelop- 
pement cherché devront être modifiés en conséquence. 

Il est également clair que la question deviendrait notablement plus com- 
pliquée s'il fallait tenir compte de l'objection d'Hugoniot. Non seulement, 
en effet, on aurait deux nouvelles surfaces à trouver et non point une seule, 
puisqu'il s'établirait au point origine du phénomène une discontinuité 
stationnaire portant sur les dilatations ; mais comme nous l'avons dit au 
n° 2 1 1 , aucune de ces surfaces ne satisferait à l'équation aux dérivées par- 
tielles (8) : cette équation serait remplacée par une équation de la forme 
(6) dans laquelle la valeur de k serait, non seulement une fonction de a, 
mais une fonction inconnue de celte quantité, fonction dont la forme 
dépendrait des diverses quantités qui figurent dans les équations (91) et 
suivantes. 

Par contre, en restant au point de vuedeRiemann, notons qu'on pourrait 
espérer une simplification de la question en donnant à m la valeur 1, 4 
pour laquelle (n° 175) l'équation (8) s'intègre explicitement. 

235. — D'après ce qui précède, le phénomène de Riemann-Hugoniot 
donne naissance à deux ondes se propageant en sens inverse. Comme nous 
l'avons déjà remarqué (n° 222), on obtient ainsi, par réflexion sur le pis- 
ton et rencontre d'ondes se propageant avec des vitesses différentes, toute 
une série d'états nouveaux du fluide. Doit-on admettre avec Hugoniot que 
tous ces états tendent vers un état limite commun, celui que l'on obtien- 
drait en communiquant brusquement au piston la vitesse V qu'il acquiert 
en réalité par une accélération progressive ? 



MOUVEMENT RECT1LIGNE DES GAZ 221 

On ne pourrait évidemment répondre d'une façon générale à cette ques- 
tion qu'en faisant tout d'abord une élude approfondie du premier mouve- 
ment qui prend naissance à la suite du phénomène de Riemann-Hugoniot, 
ce que la méthode précédente ne permet pas d'obtenir. Nous nous conten- 
terons donc de répondre à la question dans un cas où cette première étude 
est toute faite, celui qui a été considéré au n° 202 et où la loi d'accélération 
est telle que toutes les ondes successives nées au contact du piston se 
rattrappent en un même point. De plus, nous ne tiendrons pas compte de 
l'objection d'Hugoniot et nous supposerons la loi de Poisson toujours, 
applicable. 

Dans ces conditions, nous savons qu'à l'inslant T où les ondes se rejoi- 
gnent naît une discontinuité du premier ordre. Si, après avoir atteint la 
vitesse V en accélérant son mouvement suivant la loi indiquée au n° 202, 
le piston se meut ensuite uniformément avec celte vitesse, les mouvements 
entre lesquels a lieu la discontinuité en question seront tous deux repré- 
sentés par des équations de la forme (81) (w étant calculé, pour le 
mouvement de gauche, par l'équation (54) et étant égal à 1 pour le mou- 
vement de droite). Dès lors, on pourra prendre pour le mouvement 
intermédiaire une équation de la même forme, avec une vitese u^ une 
dilatation m t et une pression q i qui s'obtiendront comme il a été indiqué ,i 

aux n os 213-214. 

Ainsi qu'il a été constaté plus haut (n° 217), la pression q t sera com- 
prise entre la pression p l du mouvement de gauche et la pression primitive 
p . Au contraire, w, sera non seulement positif, mais supérieur à V. L'état 
intermédiaire du fluide sera représenté par un point de la courbe (2'), — 
point que nous désignerons, pour abréger, par la lettre q i qui représente 
la pression — lequel sera intermédiaire entre le point. p qui correspond à 
l'état de repos, et le point p i qui correspond au mouvement de gauche, le 
point q i (fig. 17) sera d'ailleurs déterminé par l'équation 



0u îiiV %iPi désignent les distances hyperboliques définies au n° 214. 
Lorsque Tonde rétrograde par laquelle l'état (q i , rarj se propage dans 
l'état (p t , toi) atteint le piston, elle donne naissance, par réflexion, à un 
nouvel étal (p 2 , w 2 ) défini par la double condition d'être compatible avec 
lé premier état intermédiaire, et de correspondre à une vitesse égale à V. 
La vitesse de propagation devant être positive, on verra, comme il est 
expliqué au n° 221, que la pression p 2 est inférieure à q t et que, d'autre 
part, la distance hyperbolique q i p 2 est égale à u 2 — V, c'est-à-dire kq i p i » 



222 CHAPITRE IV 

On voit que«e point p 2 peut être considéré, en un certain sens, comme 
le symétrique de pi par rapport à q it de sorte que la réflexion se traduit 
ici par un certain renversement des différences de pression. 

236. — Soit P le point de la courbe (2') tel que Pp Q soit égal à V, la 
pression P correspondante étant supérieure à p . 

Je dis que p 2 est inférieur à P. 

C'est ce qui résulte du lemme suivant relatif aux dislances hyperboliques : 

Soit PiP 2 p 3 un triangle tel que les longueurs hyperboliques de ses côtés 
soient toutes trois réelles. Alors la plus grande de ces longueurs sera au 
moins égale à la somme des deux autres, l'égalité n'ayant lieu que si les 
trois points sont en ligne droite. 

Supposons, en effet, pour fixer les idées, p t > p 2 > p 3 el, par consé- 
quent, w t < w 2 < u> 3 , de sorte que la plus grande des trois longueurs 

hyperboliques sera p t p 9 — 1 / — (p 4 — p z ) (w 3 — wj . Alors l'inégalité à 

y Po 

démontrer pourra s'écrire (une fois élevée au carré) 

T [(Pi — Pi) -+■ (Pi — P»)] [K — w a) H" K — w i)] 



Po 

> T ^P* ~ P* ^ w 2 — w i + t6> 2 — P 3 /« 

ro 



•y 



et, sous cette forme, résulte de l'identité bien connue de Lagrange appliquée 
aux quatre quantités yp i — p 2 , yp 2 — p t1 y w 2 — w h |/w 3 — w 2 . 

En vertu de cette même identité, l'inégalité n'est remplacée par une 
égalité que si l'on a 



S' Pi ~ Pi \/ «h — W 2 — \/Pi — PS ^ W 2 — tUj = 0, 

ce qui est la condition pour que les trois points soient en ligne droite. 

Notre conclusion est donc démontrée. Elle peut, bien entendu, s'énoncer 
encore ainsi : Chacune des longueurs hyperboliques des côtés du triangle, 
à Vexceplion de la plus grande, est inférieure à la différence des deux 
autres. 

237. — Ceci étant établi, considérons le triangle p Q qxP r Dans ce 
triangle, on a q t p~ — 'q^~p~= V = Pjo . Etant données les situations res- 
pectives des trois sommets du triangle,] ceci montre que le troisième 
côté p. 2 p Q est inférieur à Pp , ce qui entraine bien p a «< P. 



MOUVEMENT RECTIL1GNE DES GAZ 



223 



238. — L'onde ainsi née par réflexion sur le piston va se propager avec 
une certaine vitesse, laquelle est certainement supérieure à celle de la dis- 
continuité qui existe entre l'état (q it w,) et l'état primitif de repos. En effet, 
les vitesses de propagation de ces discontinuités dépendent des coefficients 
angulaires des cordes joignant les points re- 
présentatifs des états entre lesquels elles ont 
lieu. Dès lors, en raison de la convexité de la 
courbe (2'), ces vitesses croissent avec les 
pressions. Or, la pression p 2 est supérieure 
a/V 

Dans ces conditions, là nouvelle onde rat- 
trapera assurément la primitive : a et t étant 
considérées comme des coordonnées planes 
(ainsi qu'il a été déjà fait à la fig. 10), la 
marche de ces deux ondes sera celle qui est 
représentée fig. 16. En leur point de concours 
naîtra un nouvel état intermédiaire, caractérisé par une pression q 2 , une 
dilatation tu 2 et une vitesse u 2 . 

p 2 p étant cette fois inférieur à V, q 2 sera compris entre p 2 et P, et déter- 
miné par la condition 

Soient maintenant p 3 et o> 3 la pression et la dilatation qui prendront 
naissance par réflexion lorsque l'onde rétrograde (q 2 , tb 2 , u 2 ) rencontrera 
le piston. p 3 sera supérieur à q 2 (parce que u 2 est 
inférieur à V) et l'on aura __ 




Fi gf6 




9-2 Pi 



V- Wa 



de sorte que q 2 p 3 est égal à q 2 p 2 (fig. 17). 



La pression p 3 est supérieure 
à P. C'est ce que l'on voit dans 
le triangle p Q q 2 p 3 , dans lequel 



le plus grand côté est p p 3 , pen- 
dant que la somme des deux 



Fig 17 
autres côtés est égale à Pp^. 

Dès lors, la même série de phénomènes va recommencer. Pour la même 
raison que tout à l'heure, l'onde qui propage la nouvelle pression /; 3 rejoin- 
dra celle qui propage la pression q 2 et, en leur point de rencontre, prendra 
naissance une nouvelle pression q 3 comprise entre q i et P : celle-ci engen- 



224 CHAPITRE IV 

drera par réflexion sur le piston une pression /? 4 comprise entre p 2 et P ; 
et ainsi de suite. 

Les pressions p t , p 3 , .... p- 2n ~i ••••> sont supérieures à P- et vont en 
décroissant : elles tendent donc vers une limite, et il en est de même pour 

q it q 3 , .... q% n —\ Pareillement, p 2 , jo 4 .... p. ln .... vont en croissant et 

restent inférieurs à P : ils tendent vers une limite ainsi que q 2 , q,^ ... q. 2n , 

Nous allons enfin constater que ces limites sont toutes quatre égales à P. 

En effet, le triangle P/?! q t nous donne d'abord 

v¥i -+• çTpi — PyT ■+• <hK < ?Pi ; 

puis le triangle Pq 2 p 3 donne 



■q»Pt — p ç-2 = qtPt — Pçt2 > ?Pz- 



En retranchant membre à membre ces deux inégalités, il vient 



Pq x -+- P? 2 -h p % q i — p, q 2 < P^ — Pp z . 

Autrement dit, les quantités Pq iy Pq 2 sont inférieures à la différence 
Ppi — Pp z - D'une manière générale, les quantilés Pç^n-j. PfiW+i sont 
inférieures à Pp 2 w— i — Pp<t n +\ : elles tendent donc vers lorsque n aug- 
mente indéfiniment, d'où résulte que q^n-x et q in tendent vers P. D'ailleurs 
la relation 



qiPi + i =±{Ppo—q i Po) 

montre qu'il en est de même pour p. Or, la pression P est celle qui s'éta- 
blirait, d'après les considérations du n° 221, si le piston passait sans 
transition de la vitesse à la vitesse V. Nous constatons donc, conformé- 
ment aux vues d'Hugoniot, que cette pression est bien la même qui se 
produit finalement par le jeu des réflexions successives. 



CHAPITRE V 



LES MOUVEMENTS DANS L'ESPACE 



239. — Après nous être occupés, dans le chapitre précédent, du mou- 
vement d'un gaz en supposant que ce mouvement est exclusivement 
rectiligne, reprenons les équations du mouvement à trois dimensions, 
autrement dit, les équations 



(i) 



1 Dp _ 

p Dec ~ 


Y Vcc 


iDp _ 
pDy~ 


-Y- 8 -X 

Dt* ' 


l Dp 

p â?~ 


-z **• 



Nous avons vu, au chapitre III, qu'entre ces équations et les conditions 
à la paroi, existait une contradiction apparente. Mais la discussion présen- 
tée plus haut dans le cas du mouvement rectiligne nous montre comment 
cette difficulté doit être éclaircie. L'accord entre les deux séries de condi- 
tions est maintenu grâce à la production de discontinuités qui naissent au 
contact de la paroi et se propagent au sein du fluide. De pareilles ondes 
prendront naissance chaque fois que les accélérations d'ordre quelconque 
de la paroi seront différentes de celles qui résulteraient des équations 
internes du mouvement, et seront d'un ordre égal a celui des accélérations 
pour lesquelles cette discordance aura lieu. Au cours d'un mouvement 
quelconque, elles se produiront lorsque l'accélération ou l'une des accélé- 
rations d'ordre supérieur de la paroi deviendra discontinue par rapport au 
temps. 

Etudions donc la propagation d'une discontinuité dans le gaz en suppo- 
sant pour fixer les idées, qu'elle soit du second ordre. La pression étant 



226 CHAPITRE V 

supposée fonction de la densité, les équations du mouvement s'écriront 
encore : 

dp 5 logp ^ &x 

dp hx §2 2 

(l 1 ) | dp*\og? = Y gj^ 

o?p ?>»/ ô$ 2 

rf/5 5l0gp „ 0^£ 

dp b* ~ W 

De fmrt et d'autre d'une discontinuité de second ordre, les composantes 
de l'accélération prendront deux séries de valeurs 

/3 2 ^\ /8 2 y\ (Vz\ . (Px\ /S 2 y\ (&z\ 

w): w): [i?)s U 2 /; w); w), 

et les dérivées de la densité deux séries de valeurs 

\*a>J i \vy/i \tzJi \i>x/ 2 \hy/ i \ôxr/ 2 

Les unes et les autres satisferont aux équations précédentes. Les 
composantes de la force étant supposées continues, si Ton retranche 
membre à membre les unes des autres les relations ainsi obtenues, il 
viendra 



4 fefl - FM 

d ? l & J ~ iwy 

dp[* l0ë (\ Ryi 

d ? L ^ J~L^J' 

& V^ï I _ r^i 

rf p L ôz J l_ 8 * 2 J' 



Soient X, p, v les composantes de la discontinuité rapportées à Vétat 
actuel pris comme état initial; G, la vitesse de propagation. Les variations 
des composantes de l'accélération seront, X6 2 , jxG 2 , vG 2 . Celles des dérivées 

de log - seront données par les formules (63) du n° 111 : on aura donc 



LES MOUVEMENTS DANS L ESPACE 227 

en désignant toujours par a, (3, y les cosinus directeurs de la normale à la 
surface de discontinuité S, 

a ?*P (X« + rf + v T ) = X0«, 

(2) ; P^(x«+(*p+v Y ) = F xe» f 

r (Xa + tf h- v Y ) = v0*. 

X, p., v ne sont pas nuls simultanément, sans quoi la discontinuité ne 
serait pas du second ordre, mais du troisième. Si donc 6 est différent de 0, 
il en est de même de l'un au moins des seconds membres des équations 
précédentes; et l'on voit que ces seconds membres sont proportionnels 
à a, p, y- 

Ainsi, dans un gaz, toute discontinuité du second ordre qui se propage 
est (115). longitudinale. 

D'autre part, la quantité Xa -+- fji(3 -h v Y qui, dans le cas général, repré- 
sente la projection de la discontinuité sur la normale de la surface d'onde, 
n'est ici autre que la grandeur même de cette discontinuité ; et, en la mul- 
tipliant successivement par a, (3, y on obtient ses projections sur les axes 
coordonnés, c'est-à-dire X, (x, v. Les équations (2) se réduisent donc à 



(3) 



!!> — *. 



rfp 

Ainsi, la vitesse de propagation de la discontinuité rapportée à l'état 
actuel, a pour valeur t / —-- 

240. Si on voulait avoir la vitesse de propagation 8 rapportée à un état 
initial quelconque (a, b, c), il faudrait diviser 8 par la dilatation normale 
à l'onde, dans le passage de cet état à l'état actuel. En désignant par 
jp (da, db, de) la forme quadratique introduite au n° 51 et par * la forme 
adjointe de <p, par p la densité de l'état initial, on aurait (') 



W - ° ~" ?l *? fa' + A 2 -+7c 



(i) Voir la note de la page 92. 



228 CHAPITRE V 

Quant à la vitesse de déplacement T, comme elle est liée à 8 par l'équa- 
tion (54) du n° 100, on a 

(5) T^y/^rhii. + ^M-WT, 

u, v, iv étant les composantes de la vitesse. 

241. — Il nous reste à examiner l'hypothèse 8 = 0. Les équations (2) 
donnent alors Xa -+- {*(3 -+- vy = 0. Autrement dit, la discontinuité est 
transversale. 

Un gaz pourra donc offrir : 1° des discontinuités longitudinales se propa- 
geant avec la vitesse i / -fi ; 2° des discontinuités transversales station- 
naires. 

242. — Nous avons supposé, pour fixer les idées, la discontinuité du 
second ordre. Mais les résultats que nous venons d'obtenir subsistent en ce 
qu'ils ont d'essentiel pour un ordre n supérieur à 2. Supposons, en effet, 
— ce que nous avons évidemment le droit de faire — , a différent de ; et 
différencions les équations (1') n — 2 fois par rapport à œ. Les termes 
contenant les dérivées partielles d'ordre n seront seuls affectés par la dis- 
continuité. Or, au second membre, ces termes proviennent exclusivement 

8 2 07 2 V § 2 

de là différenciation de tx-^-» j% » j-j ; et, au premier, il faut, pour en 
obtenir, faire porter tout le poids de la différenciation sur les facteurs 
— > — — > — -s- -. Dans ces conditions, et si Ton a égard aux for- 

mules (57), (57'), (63) du chap. 11, on voit que les équations auxquelles 
on parvient ne sont autres que les relations (2), les deux membres de 
chaque équation étant simplement mullipliés par a n ~ 2 . Donc, comme pré- 
cédemment, nous pourrons avoir, d'une part, des discontinuités longitudi- 
nales se propageant avec la vitesse i / -^- ; d'autre part, les discontinuités 
transversales stat'onnaires. 

Ainsi que l'a remarqué Hugoniol, il en est encore de même dans des 
conditions un peu plus générales. Nous avons vu plus haut que, dans cer- 
tains cas, p pouvait être fonction non seulement de p mais encore de a, b, c : 
C'est ce qui se produit, par exemple, lorsqu'à aucun moment le gaz n'a été 
homogène, ou lorsqu'il s'y est produit des ondes du premier ordre. 



LES MOUVEMENTS DANS L ESPACE 



229 



Que deviendront» dans ces conditions, les équations (1') ? On voit 
immédiatement (en se reportant aux équations (1)) qu'elles seront modi- 
fiées respectivement par l'addition des termes (*) 

00 de 



U 



op ba 

ba bx 



bp bb_ 
bb bx 



op oc \ 
bc bx)' 



Or, ceux-ci ne contiennent que des dérivées du premier ordre de x, y, ? 
par rapport à a, b, c, t et, par suite, n'éprouveront aucune discontinuité. 

Donc, les formules (2) subsisteront, la quantité — étant, bien entendu, 

remplacée par la dérivée partielle de p par rapport à p. Celte dérivée don- 
nera donc encore le carré de la vitesse de propagation. 

Il en serait encore de même si les forces X, Y, Z dépendaient de la den- 
sité (à l'exclusion de ses dérivées) ou contenaient d'une façon quelconque 
les dérivées premières de x, y, z. 

243. — Nous venons de voir que la vitesse de propagation s'exprime 
par une racine carrée et est par conséquent, susceptible d'un double signe. 
Il semble donc au premier abord qu'à un instant quelconque le sens de 
celte propagation soit indéterminé. 

Il est cependant à peu près évident a priori que ce sens ne saurait être 
tout à fait quelconque, qu'il ne saurait, par exemple, changer brusquement 
au cours du mouvement. En fait, il est aisé de voir que, pour* une discon- 
tinuilé donnée, B a un signe parfaitement déterminé. Celte quantité doit 
en effet, satisfaire non seulement à l'équation (3), mais aux conditions de 
compatibilité 



(6) 






»-. [S]--* [8]- 



du n° 103. Dans ces dernières, il est la seule inconnue et est, par suite, 
donné sans ambiguité, puisqu'il y figure au premier degré. 

£44. — Si l'on n'avait pas les équations (6) ainsi que (2), (3), c'est 



(*) Dans ces termes les dérivées J£, -gv, -Jf sont déduites de l'équation qui donne p 
en fonction de p, a, 6, c considérés comme quatre variables indépendantes. 



230 CHAPITRE V 

qu'il n'y aurait pas compatibilité. Nous savons alors que la discontinuité 
ne pourrait pas rester unique et nous pouvons nous proposer d'étudier ce 
qui se produira dans ces conditions. Mais avant de procéder à cette recherche, 
nous avons à parler du cas des liquides. 

Pour ceux-ci, ainsi que nous l'avons remarqué précédemment .(n° 136), 
il ne peut y avoir de discontinuité normale, ni même de discontinuité ayant 
une composante normale, puisque celle-ci influerait sur les dérivées de la 
densité. 

Nous allons voir, d'autre part, qu'une discontinuité normale pourrait 
seule se propager. Nous pouvons même énoncer ce résultat sous la forme 
générale suivante : 

Dans un milieu en mouvement, si les composantes de l 'accélération 
sont égales, à des quantités continues près, aux dérivées partielles (par 
rapport aux coordonnées actuelles) d'une même quantité partout con- 
tinue 4», il ne peut se propager que des discontinuités (du second ordre) 
normales. 

En effet, les variations des composantes de l'accélération sonlXÔ 2 , |jl6 2 , vG 2 

et doivent être égales aux variations de — > — » — . Or, celles-ci, puisque <ï> 
° ôj; ôy ô^ ' '1*1 

est supposé continu, doivent être, d'après le lemme du n° 73, propor- 
tionnelles à a, (3, y. Il en est donc de même de X, (x, v si 6 est différent de 0. 

On voit donc que le saut d'accélération est normal, et ce résultat est 
obtenu sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir la compatibilité, ni 
aucune hypothèse autre que la continuité de * à l'instant considéré. 

Si maintenant nous admettons qu'il y a compatibilité, avec une vitesse 
de propagation différente de zéro, nous savons que la direction du saut 
d'accélération est aussi celle du segment caratéristi'que (X, p, v). 

Le lemme que nous venons de démontrer s'applique immédiatement au 

cas qui nous occupe, la quantité 3» étant ici -, en vertu des équations (1). 

P 

On remarquera que même s'il n'y a pas compatibilité ou même si la dis- 
continuité est du premier ordre et non du second, sous l.a seule condition 
de supposer la pression partout continue, le raisonnement précédent montre 
que la variation brusque d'accélération est un segment normal à l'onde. 

245. — Il est aisé de généraliser à une discontinuité d'un ordre quel- 
conque n. Dans ce cas la variation de l'accéléralion d'ordre n dépend ( l ) de 



W 



S"" 2 /ôp\ à /S"-2p\ 

On n'a pas s ~^j ( — 1 = -- ( - - ;„ > _? ) ; maisla différence de ces deux expressions 



LES MOUVEMENTS DANS L ESPACE 231 

8" ~ 2 » 
celles des dérivées de g B _g . Or, les dérivées (n — 2) èmes de p par rapport 

à œ, y, z, pouvant s'exprimer en fonction des dérivées d'ordre n — 1 des 
coordonnées, sont continues dans l'hypothèse actuelle et il en est de même 
pour les autres dérivées (n — 2) èmes de p, en vertu de la proposition fonda- 

mentale du n° 97. On peut donc appliquer à < ± le lemme précédent, et 

déduire de là que la variation d'accélération d'ordre n est un segment 
normal à l'onde. 

U46. — Si maintenant on fait intervenir les conditions de compatibilité, 
on voit que la composante tangentielle de la discontinuité, et, par consé- 
quent, celle-ci tout entière sont nulles s'il y a propagation. 

Il est d'une établi que le mouvement d'un liquide ne peut présenter que 
des discontinuités à la fois stationnaires et tangentielles. 

247. — Le lemme qui vient d'être utilisé est d'ailleurs également 

applicable aux gaz, en prenant pour <i» la quantité I —, qui est une fonc- 

''I 
tion de p. Le fait, précédemment constaté, que toute discontinuité qui se 

propage dans un gaz est normale, est donc, comme on le voit, une consé- 
quence de celui-ci, que les accélérations dérivent d'un potentiel. 

I| 

248. — Reprenons maintenant, comme au chap. 1(1, un liquide dans |i 

lequel on donne les positions et les vitesses des différentes molécules, et 
supposons que ces données présentent, le long d'une certaine surface S, 
une discontinuité du second ordre, laquelle sera, par conséquent, connue 

en chaque point en ce qui concerne les dérivées d'indice zéro ^, .... et les 

Ù 2 Û0 

dérivées d'indice uny-v-, Nous ne supposons d'ailleurs, pas que les 

conditions de compatibilité soient vérifiées. Mais, par contre, les condi- 
tions identiques le sont nécessairement, puisque la discontinuité est 
du second ordre tout le long de S. Nous aurons donc en chaque point de 
celle-ci deux segments donnés, dont les directions ne sont pas nécessai re- 



nomme on le voit en exprimant le symbole «- en fonction de =r- et développant) ne 

comprend que les dérivées des coordonnées jusqu'à l'ordre n — i et les dérivées de 
la pression jusqu'à l'ordre n — 2, toutes quantités continues dans nos hypothèses. 



232 CHAPITRE V 

ment les mêmes. Quelles seront, dans ces conditions, les discontinuités 

&x 8 2 y &z 
éprouvées par ^. ^ ^ ? 

Nous nous placerons d'ailleurs, pour répondre à cette question, dans 
l'hypothèse où il ne se creuse pas de cavités à l'intérieur du fluide et où, 
par conséquent, les deux régions situées départ et d'autre de S restent for- 
cément contigues l'une à l'autre pendant toute la durée du mouvement. 

La question se simplifie notablement en raison des propriétés physiques 
particulières aux fluides. Ceux-ci ne conservent en effet aucune trace de 
leur élat initial, si ce n'est que la densité ne cesse pas d'être donnée par 
l'équation (3') du n° 47. 

Dès lors, la restriction apportée au choix de l'état initial au n° 45 bis cesse 
d'être nécessaire : on peut indifféremment substituer l'un à l'autre deux 
états initiaux tels que les dérivées des coordonnées de l'un par rapport 
aux coordonnées de l'autre présentent des discontinuités ou des singularités 
quelconques pourvu que le déterminant fonctionnel des anciennes coordon- 
nées par rapport aux nouvelles soit continu ainsi que ses dérivées. 

Or, dans le cas actuel, les positions données des molécules doivent évi- 
demment être choisies telles que la densité soit constante. 

Donc, quoiqu'il y ait discontinuité, nous pouvons prendre, pour tout le 
fluide, l'état actuel comme état initial et, par conséquent, annuler le seg- 
ment qui correspond aux dérivées d'indice zéro. 

Pour voir ce que sera,, dans ces conditions, le* segment (X,, [i p v t ) qui 
correspond aux dérivées d'indice un, nous devons nous rappeler que les 
vitesses sont nécessairement choisies telles que la dérivée de la densité par> 
rapport au temps soit partout nulle. Si alors nous nous reportons au calcul 
de la variation de cette dérivée, tel qu'il a été fait au n° 11 l bis (les con- 
sidérations du n° 1 1 1 ne peuvent être invoquées ici, puisqu'il n'y a pas 
compatibilité) nous voyons que le segment (X 1} jA n vj doit être tangent à 
la surface S. 

Quanta l'accélération, elle n'éprouvera aucune discontinuité (si l'on 
écarte toujours le cas où le fluide se creuserait de cavités). En effet, nous 
avons vu précédemment (n° 244) qu'en vertu des équations du mouve- 
ment, une telle discontinuité devrait être normale et, d'autre part, nous 
savons qu'elle devrait être tangentielle, sans quoi, elle ne saurait subsister 
qu'en se propageant, ce qui est impossible. 

249» Mais on peut aller plus loin et affirmer, non seulement que les 
accélérations de tous les ordres sont continues, mais encore que la discon- 



LES MOUVEMENTS DANS L ESPACE 233 

tinuité donnée ne donne lieu, dans la suite du mouvement, à aucune 
discontinuité absolue. 

Pour le voir, rappelons-nous les considérations du n° £44, d'où résulte 
que le saut d'accélération, dans la discontinuité considérée, est nécessaire- 
ment normal. Cette conclusion subsiste lors même qu'il y a saut de 
vitesse. 

Soient alors f , V des coordonnées curvilignes sur la surlace de discon- 
tinuité, coordonnées qui définissent une molécule quelconque de cette 
surface appartenant à la région 2 ; £, tq les coordonnées curvilignes, à l'ins- 
tant t de la molécule de la région t qui, à l'instant t, coïncide avec la 
molécule (£', i\ ! ) de la région 2. Pour £', rj' données, £ et -i\ sont des fonctions 
de t. La condition que le saut d'accélération soit normal donne, pour ces 
fondions, deux équations différentielles du second ordre, lesquelles sont 
évidemment vérifiées lorsque \ et r t sont constants ( 1 ). C'est, dès lors, néces- 
sairement, cette dernière circonstance qui se produira si, à un instant déter- 
miné, les deux dérivées -r -> -~ sont nulles : ce que nous voulions établir. 

250. — Il est aisé de vérifier, sur des exemples simples de discontinuités 
portant sur les tourbillons, c'est-à-dire de discontinuités transversales 

portant sur les dérivées de la forme *— s- , .... l'existence d'un mouvement 

sans discontinuité absolue. 

Prenons, par exemple, un mouvement à deux dimensions défini par la I: 

double condition : 1° de se réduire, dans tout le volume d'un certain Cylindre 
de révolution C dont l'axe est vertical, à une rotation uniforme autour 
de cet axe ; 2° d'avoir une rotation moléculaire nulle dans tout l'espace 
restant. Les méthodes connues de l'Hydrodynamique montrent que, dans 

ces conditions, il existe un potentiel des vitesses égal à k arc tg " , k étant 

oc 

une constante et l'axe des z étant l'axe de C. La vitesse sera alors perpen- 
diculaire au plan mené par le point (x, y) et l'axe, et inversement propor- 
tionnelle à la distance r = \ x % -+- y* . Chaque point extérieur à C décrira 
donc une circonférence et tournera, pendant un temps t, d'un angle égal 

, k , 



(}) Voir la note III à la fin du volume. 



234 



CHAPITRE V 



De plus, la vitesse devant être continue à l'origine du mouvement, la 

constante k aura dû être calculée de manière à ce que, à la surface du 

cylindre, la vitesse angulaire soit la même que celle des points intérieurs. 

, Dans ces conditions, il est clair que les points inté- 

\ / rieurs et extérieurs qui seront en contact les uns avec 

\ i / les autres seront les mêmes à tout instant. 

Par contre, la surface du cylindre sera évidemment 

le siège d'une discontinuité du premier ordre portant 

Sx 




sur les dérivées 



la 



Seulement, cette discon- 



tinuité ne serait pas physiquement appréciable. Elle 
n'existerait pas à un instant quelconque, considéré en 
lui-même, mais serait uniquement relative aux posi- 
Fig- 1% tions à deux instants différents comparées les unes 

aux autres. Autrement dit, une ligne à tangente continue, telle que celles 
qui sont représentées sur la fig. 18, traversant la surface du cylindre^ 
serait remplacée, aux instants suivants par une ligne / 

ayant l'allure représentée sur la fig. 18 bis . 

L'existence d'une discontinuité de cette espèce ré- 
sulte bien, dans le cas général, des considérations qui 
précèdent : nous savons (n° 93) qu'une discontinuité 
station naire du second ordre affectant les dérivées 
d'indice un donne naissance à une discontinuité du 
premier ordre portant sur les dérivées d'indice zéro. 

251. — Revenons maintenant au cas des gaz. 
Soient encore données les positions et les vitesses des 
molécules avec une discontinuité du second ordre en tous les points d'une 
surface S, les conditions identiques étant vérifiées, mais non les conditions 
de compatibilité. Il existera donc, en chacun de ces points, deux segments 
(X, jx, v) et (Xj, fxj, Vj) correspondant respectivement aux dérivées d'indice 
zéro et d'indice un. 

Plaçons-nous d'abord dans un cas particulier, celui où ces segments sont 
tous deux normaux à S. Alors on peut déterminer deux discontinuités nor- 
males se propageant, l'une avec la vitesse donnée par la formule (3), 
l'autre avec la vitesse — 0, dont la superposition produit la discontinuité 
donnée. 

Soient, en effet, Zet V les grandeurs de ces deux discontinuités; h et k 
les grandeurs des segments donnés, (X, p, v) et (X t , u 1? v t ) comptés comme 




LES MOUVEMENTS DANS L ESPACE 23o 

positives ou comme négatives suivant leur sens. II est clair qu'on devra 



avoir 



et que, réciproquement, si ces deux conditions sont vérifiées, les ondes de 
grandeur l et V sont bien celles que nous cherchons. 

Or, les deux équations précédentes sont évidemment toujours résolubles 
par rapport kletl'. 

252. Pour traiter le cas général, il suffit de combiner ce que nous venons 
de dire avec les résultats obtenus dans le cas des liquides. 

Nous sommes libres de prendre l'état initial que nous voudrons, pourvu 
que la densité et ses dérivées y soient continues. Nous pourrons dès lors, 
en faisant coïncider cet état initial avec l'état actuel dans la région 1 , le 
définir dans le région 2 de la façon suivante : 

Considérons chaque point M de la région 2 comme défini par sa distance 
normale Mm = 8 à S et par la position du point m. Sur la même normale 
à S, portons une nouvelle distance Mm = \. Nous pourrons évidemment 
choisir celte dernière en fonction de la première et de la position de m, do 
manière que, si l'on imagine chaque molécule de la région 2 transportée 
de sa position véritable M à la position M correspondante, la densité 
devienne continue ainsi que toutes ses dérivées. C'est l'état fictif ainsi 
obtenu que nous prendrons pour état initial. 11 est clair qu'alors le segment 
(X, (a, v) sera normal à la surface de discontinuité. 

Nous pourrons, d'autre part, décomposer le segment (X,, p tJ v t ) en sa 
partie normale et sa partie tangentielle. Si nous faisons d'abord abstraction 
de celte dernière, nous serons ramenés au cas que nous venons d'étudier, 
et nous trouverons deux feuillets de discontinuité se propageant en sens 
opposés avec la vitesse 8. 

Tl suffira, dès lors, d'adjoindre à ces deux ondes la discontinuité produite 
par la composante tangentielle du segment (X t , (j^, Vi). Celle-ci est forcé- 
ment stationnaire. On pourra lui appliquer sans modification les raisonne- 
ments présentés dans le cas des liquides. Les accélérations de tous ordres 
resteront donc continues lorsqu'il ne subsistera plus que cette troisième 
discontinuité : le résultat produit sera une déformation du premier ordre 
de l'une des régions par rapport à l'autre, ainsi qu'il a été expliqué tout à 
l'heure. 



236 CHAPITRE V 

253. — C'est d'une manière tout analogue que l'on déterminera l'état 
qui prend naissance au contact de la paroi lorsque l'accélération normale 
de celle-ci sera en discordance avec celle qui résulterait des équations 
internes du mouvement, comme nous l'avons expliqué aux n 08 1 39-1 40. 
Nous aurons alors à faire intervenir une discontinuité normale se propa- 

géant avec la vitesse 6 = t / -j- vers l'intérieur du fluide. La grandeur l 

de cette discontinuité sera déterminée par la condition que Z6 2 soit égal à 
la différence des deux valeurs de l'accélération normale. / étant ainsi cal- 
culé, on n'aura plus qu'à appliquer les» formules du ch. II pour obtenir les 
dérivées du second ordre au contact de la paroi, puisqu'on connait ces 
mêmes valeurs avant la naissance de la discontinuité. 

254. — Les résultats les plus importants qui aient été obtenus jusqu'ici 
en Hydrodynamique sont, comme on sait, relatifs à la conservation des 
tourbillons et, par conséquent, à celle du potentiel des vitesses, lorsqu'il 
existe. 

Or, les composantes du tourbillon sont formées avec les dérivées partielles 
du second ordre de x, y, z par rapport à a, b, c, t. On doit donc se deman- 
der si les théorèmes qui les concernent ne sont pas mis en défaut lors du 
passage de nos discontinuités. 

La réponse est négative ; elle résulte immédiatement de ce que les discon- 
tinuités hydrodynamiques sont normales. Comme telles, elles n'affecteront 
pas la rotation moléculaire, dont la variation est proportionnelle (n° 114) 
à la composante tangenlielle de la discontinuité. 

255. — Au reste, le même fait se reconnaît (*) par la considération de 

l'intégrale I udx -+- vdy -h wdz ou circulation, qui fournit, comme on 

lésait ( 2 ), la démonstration la plus simple des théorèmes, dont nous parlons, 
ceuxrci revenant à la conservation de cette intégrale au cours du mouve- 
ment, lorsquelle est prise suivant un contour fermé C. 



( 1 ) Nous nous contenterons d'indiquer sommairement la marche de ce raisonne- 
ment tout analogue à celui qui sera exposé plus loin, dans la noie. III à la fin du 
volume. 

(2) Thomson, Cambridge Trans ., 1869; Basset, Hydrodynamique, t. I. p. 70-73; 
Duhbm, Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique, t. I, p. 108-115; Poincaré, Théorie 
des Tourbillons, ch. I ; Appell, Traité de Mécanique, t. III, ch. xxxv, etc. 



LES MOUVEMENTS DANS L ESPACE 237 

La question est donc de savoir si l'intégrale en question, qui garde 
nécessairement la même valeur tant que le contour G reste dans une région 
où le mouvement est bien continu, peut en changer lorsque ce contour est 
traversé par une onde. 

Or, pendant un intervalle de temps dt> l'influence d'une discontinuité ne 
s'exerce que sur les arcs s de C compris entre les deux positions occupées 
par l'onde au commencement et à la fin de cet intervalle : arcs dont la 
longueur est de l'ordre de dt. D'autre part, si l'on écrit l'intégrale sous la 
forme 

,_. / / dx du dz\ , 

( 8 ) J ( M *+»3f + w *rr T - 

(t étant un paramètre qui définit une molécule déterminée de la ligne G) 

l'expression u, -, — h v -f- -+- w - - ne variera pas brusquement sur l'onde, 

puisque celle-ci est du second ordre. Laquantitédont elle sera modifiée par 
la discontinuité, en un point quelconque d'un des arcs s, sera donc de l'ordre 
de cet arc lui-même, et l'altération correspondante de l'intégrale (8), de 
l'ordre de s 2 , c'est-à-dire de dt 2 . Donc la dérivée de celte intégrale sera nulle, 
comme quand le mouvement était continu. 

On peut s'étonner du succès de ce raisonnement, étant donné qu'il ne 
fait point intervenir la direction de la discontinuité, et que, d'après le n° 
précédent le résùllat actuel cesserait évidemment d'être vrai si celle-ci 
n'était pas normale. Mais il faut observer que (n° 247) l'orlhogonaliléqui 
existe entre la direction de la discontinuité et celle de la surface d'onde 
revient à l'existence d'un potentiel des accélérations, laquelle a été utilisée 
lorsqu'on a établi la conservation des tourbillons dans le mouvement 
continu. 

256. — Outre les ondes d'accélération, il peut se produire comme nous 
l'avons vu, des ondes du premier ordre, ou ondes de choc. Nous avons 
même constaté que de telles ondes peuvent naître lors même que la vitesse 
de la paroi ne présenterait aucune variation brusque. Il est aisé d'élablir, 
pour la propagation de telles ondes, des équations tout analogues à celles 
que nous avons écrites aux n os 205-209 dans le cas du mouvement 
rectiligne. 

Soit (X, p, v) le segment caractéristique de la discontinuité, l'état initial 
étant celui de la région 1 : la variation brusque -de la vitesse sera ( — X0, 
— i*0, — vô). Soit, d'autre part, [p] = jo 2 •— p t la variation de pression. 



23 S CHAPITRE V 

Appliquons le théorème des quantités de mouvement projetées à un pelit 
cylindre compris entre une portion S de la surface d'onde au temps t et la 
portion correspondante de la surface d'onde à l'instant infiniment voisin 
t •'- h dt. Ce cylindre étant considéré dans l'état 1 du milieu, sa hauteur 
sera 

dn = %dt 

et sa masse 

p,eSeft 

Nous supposerons S très petit, mais cependant dt négligeable par rapport 
aux dimensions de S. Grâce à cette circonstance, nous pourrons négliger 
les pressions agissant sur la surface latérale de notre cylindre par rapport 
à celles qui agissent sur les bases. L'effet des forces X, Y, Z serait égale- 
ment négligeable, comme nous l'avons vu au n° 205. Si donc a, £, y sont 
les cosinus directeurs de la normale à l'onde, lesquels ne varient pas brus- 
quement, il restera, puisque notre cylindre passe ('), pendant le temps dt, 
de la région 2 à la région 1 et, par conséquent, de la vitesse (w t — À0, 
v i — [*6, tv i — ' v8) à la vitesse (u l , v i} wj sous l'action des pressions nor- 
males opposées p t ètp. 2 , 

p t esd*. xe == — aL[p]Sdt, 

p 4 6 Sdt. fxO = — (3 [p] Sdt, 

P^Sdt. v6 == — yO] Sdt. 

Ceci nous montre tout d'abord que la discontinuité est nécessairement 
normale. Sa grandeur l est 

( 9 ) l Pl e 2 

Le rapport des densités est donné par la formule (60) du n° 109. Si 
nous tenons compte de ce que la discontinuité est normale et de grandeur l, 
il «vient 



<w> p 2 



* - 1 = L 



On peut éliminer l entre ces deux équations et on obtient 

(il) M = Pi9 2 (l-y = ^ 2 (p 2 -p.)- 



[}) Comme au n° 805, nous supposons, dans le raisonnement, 9 positif, le résultat 
final étant, bien entendu, indépendant de cette hypothèse. 



LES MOUVEMENTS DANS L ESPACE 



239 



Cette formule correspond à l'expression (68) obtenue au n° 207 pour 
la vitesse de propagation. Elle a toutefois une forme un peu différente en 
raison de ce que nous prenons pour état initial l'état actuel de la région 1, 
ce que nous n'avions pas fait dans le cas du mouvement rectiligne. 

257. Nous avons encore à écrire l'équation d'adiabaticité. Si nous 
adoptions la loi de Poisson, cette condition serait simplement 

2l. = El. 

p l et p 2 étant les deux pressions. 

Si, au contraire, nous suivons la voie indiquée par Hugoniot, nous 
aurons à écrire directement que la différence entre le travail total des 
pressions, lequel, évalué comme nous l'avons fait au n° 209, a l'expression 

d% — Pi K a + V, pH- w i T ) — p 2 [O, — X6) a H- (v l — u6) p -+- (wi — v6)y] 
= p 2 B — [p] (w, a+VjP+ w t t) 

et la variation brusque de force vive est égale à la variation d'énergie 

1 

interne. Or, cette énergie, qui est, au facteur — —y près, le produit du 



volume par la pression a, dans l'état 1, la valeur 



e Pi 



m — 1 



Sdt et, dans 



l'état 2, où le volume est multiplié par —, la valeur '— — ^*-v Sdt. 
Nous aurons donc (en supprimant le facteur Sdt) 

iP 2 W — [p] (Mta + »iP + ^, y) 4- y [i u% ■+" v * "+" ^ 2 )] 



(12) 



= ^~l(^-^S' 



Cennmratrn 209 nous aurons à transformer cette équation de manière 
à la rendre indépendante du mouvement absolu du fluide. A cet effet, nous 
n'aurons qu'à utiliser les équations précédemment obtenues 

u t = u i — &X0, 
v 2 = Vi — Zpô, 
w 2 = w t — /y9, 

(où, u u v,, Wi ; u v v i9 iv. 2 sont les deux vitesses) qui nous donneront la va- 
riation de force \ive par unité de masse [{u 2 -+- v 2 -t- m? 2 )]. 



240 CHAPITRE V 

L'équation (12) devient ainsi 

P 2 M — [P] («i« + ViP -H w r{ ) -h £*- [/ 2 6 2 — 2J6 (w t a +»,?+ tê lY )} 



= ;r=i (*-*■*) 



et l'on voit bien alors que les termes en u x et -+- v t fj -t- tr^ s'éliminent en 
vertu de (9). Il reste (en divisant par 0, puis éliminant l et 8 2 par le moyen 
des équations (9) et (10)) 

(i3) . p -±±& ( Pl - p.) = ^n ^ p* - p* p.) 

c'est-à-dire l'équation même que nous avions obtenue, pour le cas du mou- 
vement rectiligne, au n° 209 (les quantités u>i et o> 2 qui figurent en cet 
endroit étant inversement proportionnelles à p 1 et à p 2 ). 

258. — La démonstration du n° 254, d'après laquelle les ondes d'accé- 
lération n'altèrent pas le mouvement tourbillonnaire, ne s'applique pas aux 
ondes de choc. Au contraire, en modifiant convenablement le raisonnement 
du n° 255, on peut démontrer (*) que celles-ci sont capables de faire 
naître des tourbillons là où il n'en existait pas avant leur passage. 



(!) Voir la note III à la fin du volume. 



CHAPITRE VI 



APPLICATION A LA THÉORIE DE L'ELASTICITE 



259. — Nous allons, dans ce chapitre, nous proposer d'étudier la pro- 
pagation des ondes non plus dans les liquides, mais dans les solides élas- 
tiques. Contrairement à ce qui se passait pour les liquides, il y a lieu, pour 
cette étude, de prendre pour état initial non plus l'état actuel, mais un état . 
parfaitement déterminé, dit état naturel, du corps considéré. L'état initial 
étant ainsi choisi, les tensions internes sont des fonctions des composantes 
de déformation e,, e 2 , e 3 , Yi» Y2> Ï3 définies au n° 51. 

La distinction entre l'état initial et l'état actuel n'a d'ailleurs pas à inter- 
venir dans le cas le plus simple que l'on ait à étudier, celui où l'on suppose : 
1° que le corps considéré est homogène et isotrope; 2° que les déformations 
qu'il subit sont infiniment petites. 

Dans ce cas, les coordonnées a, b, c de l'état initial (c'est-à-dire de l'état 
naturel), coïncident sensiblement avec les coordonnées a?, y, z de l'état 

actuel : on a 

oc = a -+- f , 

Z — : C + Ç, 

£, r n £ étant supposés très petits ainsi que leurs dérivées. Réduites aux 
termes infiniment petits du premier ordre, les composantes de déformation 
seront 

S 1 ~"b07' 2 ~<y '3— b ^ 

{ Tl hz ty' Ta ta "^ ô* ' Ï3 ~~ ôy ""^ taT 

Les équations du mouvement se déduisent, comme nous aurons l'occa- 
Hadamard 16 



242 CHAPITRE VI 



sion de le rappeler un peu plus loin, de la considération d'une certaine 
fonction des composantes de déformation appelée énergie élastique. Dans 
le cas de l'isotropie où nous nous plaçons maintenant, celte quantité a une 
expression de la forme 



/// 



(2) Il ^çdxdydz 

2pW = L'(t t -+■ e 2 -h e 3 )2 -f- M (2e? + 2e 2 2 -+- 2t\ + T J -+- T f H- Y l) 



(2,) ( = (L + 2M)(s 1 + £2 + £ 3f+M( Y ? + T I+^-4s 2 e 3 -4 £ 3e 1 -4s lE2 ) 

où L et M sont deux constantes (*) telles que la forme quadratique W soit 
définie positive, c'est-à-dire assujetties aux inégalités 

(3) M>0., 3Lh-2M>0. 

Les équations du mouvement s'écrivent 

l pg=MM + (L + M)g + P Z, 



ff étant l'expression 



^i _u ^ -i_ ^ 



telle que 1 -4- «■ représente la dilatation ^, et X, Y, Z les forces données 

P 
rapportées à l'unité de masse. 

260. — Les équations (4) sont, comme on voit, du second ordre 
en £, ?), Ç ; elles font connaître les composantes de l'accélération dès 
que £, ï), K sont donnés pour chaque valeur de a, b, c, c'est-à-dire dès qu'on 
donne les positions des molécules. 

Or l'expérience nous enseigne que, pour déterminer le mouvement d'un 
corps élastique, on doit se donner non seulement les positions et les vitesses 
des molécules à un instant donné, mais en outre une série de conditions 

(1) Nous désignons par L, M les coefficients que l'on nomme habituellement X, (a, 
ces dernières lettres étant employées ici avec une autre signification. 



APPLICATION A LA THEORIE DE L ELASTICITE 2i3 

aux limites, telles que les mouvements des différents points de la surface 
du corps à tout instant, ou les pressions qui s'exercent à chaque instant 
sur cette surface. 

Dans ces conditions, nous rencontrons exactement la même difficulté 
que dans le problème de l'Hydrodynamique. 

Plaçons-nous, par exemple, dans l'hypothèse où l'on donne le mouvement 
de chacun des points de la surface. Nous connaîtrons dès lors, les accéléra- 
tions de ces points, et les valeurs trouvées pour ces accélérations sont 
entièrement indépendantes des équations internes : il n'y aura donc aucune 
raison pour qu'elles concordent avec celles qui résultent de ces équations. 
La contradiction est même plus complète que précédemment, puisque ce 
sont les valeurs mêmes des accélérations, et non plus seulement leurs com- 
posantes normales, qui sont données par les conditions aux limites. 

Gomme dans le cas de l'Hydrodynamique, la solution de cette difficulté 
doit être cherchée dans la production de discontinuités du second ordre qui 
naissent à la surface limite et se propagent dans l'intérieur du corps : c'est 
cette propagation que nous allons étudier. 

L'état actuel coïncidant sensiblement avec l'état initial, soient A, y., v les 
composantes de la discontinité rapportée à l'un quelconque de ces deux 
états ; 6 la vitesse de propagation, a, (3, y les cosinus directeurs de la nor- 
male à la surface d'onde. Si, dans les équations (4), nous remplaçons les 
variations brusques des dérivées du second ordre par leurs valeurs tirées 
des formules du n° 103, il viendra 

( pX6 2 = MX 4- (L 4- M) a(Xa + [ip + v Y ) 

(5) | p^ô 2 = Mil h- (L -+- M) p (Xa 4-^4- v Y ) 
( P v8 2 =Mv + (L + M) y(Xx 4- {xp -h v Y ). 

Si nous écrivons ces équations sous la forme 

(p6 2 — M) X = (L 4- M) a(Xa 4- rf 4- V Y ) 

(p6 2 — M) fx = (L 4- M) P(Xa 4- fi? 4- v Y ) 

(p6 2 — M) v = (L 4- M) Y (Xa 4- rf 4- vy), 

nous voyons qu'elles sont entièrement semblables aux équations (2') du 

chapitre précédent. Par conséquent, d'après ce qui a été dit en cet endroit, 

elles admettront deux sortes de solutions ; 

1° - = £^= - : la discontinuité est longitudinale. Sa vitesse de propa- 

a r Y 

gation sera donnée par la relation p6 2 — M = L 4- M, soit 

(6) 6 2 = 2M + L- 



244 CHAPITRE VI 

2° Xa -h jjip -h Vf == : la discontinuité est transversale. Sa vitesse de 
propagation sera donnée par la relation pô 2 — M = 0, soit 

M 

(7 ) e» = 5. 

Les deux valeurs de ainsi obtenues sont d ? ailleurs réelles en vertu des 
inégalités (3). 

Ainsi, les corps solides isotropes sont susceptibles de propager, avec des 
vitesses différentes, deux séries d'ondes : les unes sont exclusivement longi- 
tudinales, les autres exclusivement transversales. Ainsi que nous l'avons 
vu au n° 115, les premières ne s'accompagnent d'aucune variation de la 
rotation moléculaire instantanée ; les secondes, d'aucune variation des 

dérivées de la densité. 

1; 

26 i. — Si, à un instant déterminé, il existe, entre les accélérations de 
Ja surface déduites des équations internes et ces mômes accélérations 
déduites des conditions aux limites, une différence quelconque, celle-ci 
donnera lieu à deux ondes, l'une longitudinale, l'autre transversale, corres- 
nondant respectivement à la composante normale et à la composante tan- 
gentielle du segment qui représente celte différence. 

Si d'autre part, dans l'intérieur du milieu, existait à un moment déter- 
miné une discontinuité du second ordre le long d'une surface déterminée 
el que celle discontinuité fut absolument quelconque (sous la seule restric- 
tion des conditions identiques) elle donnerait naissance à quatre ondes, les 
unes longitudinales, les autres transversales, se propageant les unes dans 
un sens, les autres en sens contraire. 

202. — Si, au lieu de se donner les positions des points de la surface, 
on se donnait à chaque instant les tensions qui sollicitent ces points, celles- 
ci pourraient également, à l'instant initial, avoir des valeurs différentes de 
celles qu'on déduit des valeurs connues des composantes de déformation 
eh ces mêmes points. Dans ces conditions, il se produirait également une 
onde ; mais elle serait, cette fois, du premier ordre, car une différence finie 
de la pression interne avec la pression externe produit une variation brusque 
de vitesse. De telles ondes ont été étudiées par Christoffel (*). Grâce à 
l'hypothèse que les mouvements sont infiniment petits, ce savant obtient 



(i) Annali ai Matematica^ série II» tome VIII, p. 193; 1877. 



APPLICATION A LA THEORIE DE L ELASTICITE 245 

d'ailleurs des résultais identiques, au fond, à ceux que fournit l'étude dos 
ondes d'accélération. 

263. — On forme aisément, dans les traités d'Elasticité, les équations 
du mouvement pour le cas des corps anisolropes. Nous ne développerons 
pas, pour ces corps, les résultats correspondant à ceux qui précèdent: nous 
allons, en effet, les retrouver dans le cas plus général de la déformation 
finie. Rappelons seulement que W est encore une forme quadratique 
en s,, e 2 , e 3 , y 1? y 2 , y 3 et que les équations (4) sont remplacées par trois 
équations du second ordre qui donnent encore les projections de l'accéléra- 
tion en fonction des dérivées secondes (et aussi des dérivées premières, si 
le corps n'est pas homogène) de \, •/), Ç par rapport à œ, y, z. 

Lorsqu'on cherche, en optique, les états vibratoires satisfaisant aux 
équations ainsi écrites, on constate qu'à toute direction d'onde plane cor- 
respondent trois directions de vibration, lesquelles sont rectangulaires 
entre elles et so?it les directions principales d'une certaine quadrique 
dite ellipsoïde de polarisation." On retrouverait exactement ce même résul- 
tat en se plaçant au point de vue d'Hugoniot : le calcul est tout analogue 
à celui qui a été présenté plus haut (n° 261) ou à celui que nous ferons 
plus loin (n° 267). 

264. — Laissons maintenantde côté le cas des déformations infiniment 
petites et proposons-nous, pour un solide isotrope ou non,4'étude des ondes 
élastiques avec déformations finies. 

Le cas où il existe de telles déformations a été envisagé par MM. Boussi- 
nesq et Brillouin. Pour écrire, dans ces conditions, les équations de l'équi- 
libre, on part encore de la considération de l'énergie élastique, c'est-à-dire 
d'une certaine intégrale triple de la forme 



(2) / / / ^9dxdydz= I 



Wp ft da db de 



où çdxdydz = p dadbdc est l'élément de masse, et où W est, en chaque 
point, une certaine fonction des six composantes de déformation e,, e 2 , e 3 , 
Yi> T 2 » Ï3- C etle fonction contient, d'ailleurs ou non, explicitement a, b, c 
suivant que le corps considéré est hétérogène ou homogène, dans son état 
initial. 

Le système de variables indépendantes composé du temps et des 
coordonnées initiales a, b, c étant seul emplo}'é dans ce chapitre et, par 



246 



CHAPITRE VI 



conséquent aucune confusion n'étant à craindre à cet égard, il ne sera pas 
nécessaire de nous conformer à la convention du n° 61 : nous désignerons 
donc par le symbole b les dérivées prises par rapport à ces variables, le 
signe S étant réservé aux composantes des déplacements virtuels. 

Nous écrirons que la variation de l'intégrale (2), pour tout système de 
déplacements virtuels (&r, By, §z) communiqués aux différents points, est 
égale au travail correspondant des forces données (rapportées à l'unité de 
masse) (X, Y, Z), soit à l'expression 



(8) 



/// 



(X&r -+■ Yoy -+■ Zoz) pdœdydz, 



si les positions des points de la surface sont fixées, ou à cette expression 
jointe au travail des pressions extérieures, dans le cas contraire. 

Soient, comme au n° 47, a it b it c v a 2 , b 9 , c 2 , « 3 , b 3 , c 3 les dérivées par- 
tielles de ce, y, z par rapport à a, b, c. La. variation de l'intégrale (2) est 
(en observant que l'élément de masse pdx dy dz ne varie pas). 



f/M- 



aW „, aW » aW „ 



Ùfl r 



(9) 



fin 



— 8c 3 ) pdx dy dz 



aW a(oa?) ùW i)(oco) 
àa t ùa Do, db 



I pdxdy 



dz. 



Suivant les règles générales du calcul des variations, nous devrons trans- 
former cette expression par une intégration par parties ou, plus exactement, 
par la formule de Çreen. Nous aurons ainsi une intégrale de surface et une 
nouvelle intégrale de volume 



SfJ 



. fa /aW\ . a uw\ , a /aW\l 



APPLICATION A LA THEORIE DE L ELASTICITE 



247 



Pour que la somme ainsi obtenue soit identiquement égale à la somme 
de la quantité (8) et du travail des pressions, il faut qu'il y ait égalité, 
quels que soient ox, 8y, 8*. d'une part entre les intégrales de surface, 
d'autre part entre les intégrales de volume. Celles-ci nous donneront les 
équations internes de l'équilibre, savoir 



(10) 



UaJ ^ \^»/ ôcVôc 3 y 



tandis que l'égalité des intégrales de surface fournira (en supposant don- 
nées les pressions extérieures) les conditions aux limites. 

Si enfin nous voulons passer du cas de l'équilibre à celui du mouvement, 
nous n'aurons qu'à substituer au principe du travail virtuel celui de Hamil- 
ton : ceci revient d'ailleurs (comparer ce que nous avons dit au chap. III) 
à faire usage du principe de d'Alembert et à introduire dans les forces 
X, Y, Z les forces d'inertie. Les équations à la surface resteront inaltérées 
pendant que les équations internes deviendront 

'bW\ . b /bW\ . b /ôW\ 



b_ /ft w 
ba \ i>a i I 



(11) 



/ôW\ 



ôa \ba 3 



1 /ôW\ , _?_ / 5W 
îîb \ Ô&! / ôc 

b /ôW\ b /b\V 

( 5 J. f 

b& 



/bW\ 
UcJ 

1 /bW\ _ ^_ /b\\ 
àb \ bôT / + bc V bc" 



-b 


X- 


b 2 j; 
" b* 2 


= 


+ 


Y- 




= 


-+- 


Z- 


b 2 * 
b* 2 


= 0. 



Ces équations sont du second ordre, tant par rapport à t que par rapport 
a a, b, c, puisque Ion doit dériver les termes — > — j-i — qui sont des 

UCcj i^t/j ÛCj 

fonctions des dérivées du premier ordre. Si le corps est homogène, ces 
quantités ne contiendront pas explicitement a, b, c, et, par conséquent, les 
équations ne comprendront que des termes du second ordre. Il y entrerait, 
en outre, des termes du premier ordre dans le cas contraire. 

265. — Le cas de l'Hydrodynamique correspond à celui où W est fonc- 
tion de la seule densité, autrement dit (l'état initial étant supposé homogène) 
du déterminant fonctionnel 

a i b t c i 

D = a 2 b 2 c 2 

a, &, c, 



248 CHAPITRE VI 

Pour W =-F(D), les dérivées précédemment considérées ne sont autres que 
les produits de F'(D) par les mineurs Ai, B,, C, : du déterminant précédent. 
L'expression 



A / 5 JÏ\ 1 /&W\ a /ô\V\ 
qui figure dans la première équation (10) s'écrit donc 

Le coefficient de F' (D) est nul, ainsi qu'il est bien connu par la théorie du 
multiplicateur ( ! J. Celui de F"(D) peut s'écrire 

n /'Ai i>D B, ôD C, ôD\ 
D V D ta + D ôô + D bc /' 

Or ceci n'est autre que D — ; car les quantités -,^ » — *> T * sont les déri- 

vées partielles de a, b, c par rapport à x[x, y, z étant pris comme variables 
indépendantes). L'équation 

est identique à la première équation (1) du chap. V, moyennant l'équation (3') 
du n° 47 et la relation 

(12) p = - Po F'(D). 

266. — Le équations (11), faisant connaître les composantes de l'accé- 
lération en chaque point par le moyen des dérivées partielles de x, y, z 
relativement h a, b, c en ce point, appellent des remarques toutes sem- 
blables à celles que nous avons faites pour les équations de l'Hydrodyna- 
mique (n os 139-140) et pour les équations (4) (n° 260). L'accorda 
établir entre les équations internes et les conditions aux limites nous con- 
duit donc de nouveau à étudier la propagation des ondes. 

A cet effet, nous aurons d'abord à expliciter les équations du mouvement. 



(i) Jordan, Cours d'Analyse, tome III, n° 4<i, p. 40. 



APPLICATION A LA THEORIE DE l'ÉLASTICITE 249 

Si nous tenons compte des valeurs de % y* que définissent les formules 
(7) du n° 51, nous voyons qu'on aura 

ôW ôW r ôW bW 

-— = a i h et h Ci — - 9 

Ô«i ôs t by 3 by 2 

. bW ôW , bW ôW 

bW ôW , ôW b\v 

— = a. - h & t h c, — ■ • 

ôc, by 2 by t ô£ 3 

Lorsque nous reporterons ces valeurs dans la première équation (11), 
la diflérencialion donnera deux sortes de termes : elle pourra, en effet, 
dans chaque terme des expressions que nous venons d'écrire, porter soit 
sur le* premier facteur, soit sur le second. Dans le premier cas, nous aurons 
les trois quanlilés 

b 2 # ôW ô«ap bW tfx_ ôW 

ba 2 - bs 1 b«b6 by 3 ôaôe by 2 

b 2 # bW b 2 tf? t)W b 2 # ôW 

îiabô by 3 ^ 2 ô£ 2 tàùc ôy, 

b 2 .? bW £^ bW fa # _ 

babo by 2 bôbc ^Yj be 2 be 3 

Soient encore X, [x, v les composantes d'une discontinuité du second ordre, 
rapportées à l'élat initial (qui est ici, cette fois, l'état (a, 6, c) et non l'état 
actuel) ; a, p, y, les cosinus directeurs de la normale à l'onde et. la vi- 
tesse de propagation. Si nous considérons les variations brusques des 
dérivées du second ordre qui figurent dans l'expression précédente, et que 
nous les remplacions par leurs valeurs trouvées au n° 85, nous voyons 
que la discontinuité éprouvée par la somme de ces trois expressions est XQ, 
en désignant par Q la quantité 

bW . bW 02 bW 2 bW bW ôW r 

Q = — - a 9 ■+- — - p 2 -+- — y 2 -h 2 -- py -+- 2 — ya -+- 2 — - aS. 

267. — Prenons maintenant le résultat obtenu lorsque, dans les expres- 
sions (13), on fait partout porter la différenciation sur les seconds facteurs. 
Ici interviennent les dérivées par rapport à a, b, c, des composantes de 
déformation, dérivées, dont les variations ont été calculées au n° 113. 
D'après ce qui a été trouvé en cet endroit, nous introduirons les quantités 

UA\ ) ei = La ' e * = M k &z = Nï ' ffl = Mï + N? ' ^ = Na + Lï> 



250 CHAPITRE VI 

où l'on a 

(15) L = la l -+- [xa 2 -+- va 3 , M = lb t -+- pb 2 -h v& 3 , N = lc l -+- jjic 2 + vc 3 . 

Les variations brusques des dérivées des composantes de déformation 
s'écriront alors sous la forme simple 

[s]--* EH- [s]-* [s?]** [s]-* 

fe]"W (> = 1,2,3). 

D'après cela, soit à calculer I — ( — j I : on a 

Tù /ôW\l /ô 2 W b 2 W ô 2 W ô 2 W 

b 2 W \ 



ô 2 W b 2 W 



Considérons la forme quadratique 






6x5 
dans laquelle figurent les — -> h 6 = 21 produits deux à deux et carrés 

des six quantités e, g, chacun de ces produits ayant comme coefficient la 
dérivée seconde de W par rapport aux variables £ ou y correspondantes et 
le terme ainsi obtenu devant (comme à l'ordinaire) être doublé si ces 
variables sont différentes, c'est-à-dire s'il s'agit d'un terme rectangle. 

On voit immédiatement comment est engendrée cette expression. 

La différentielle seconde de W est, en effet, 



ôW - ôW - , ô*W 2 ô 2 W 

— - d}z. -+- .... -h - — d^{ z 4-TT rfe? H- .... 4- 2 — — 

&8 4 ' Î>Ï3 ÔE Ï Ô Yi Ô Ï2 



et contient d'une part les différentielles secondés dh it ..., o? 2 y 3 , d'autre part, 
les différentielles premières ds iy ..., dy 3 . Si, dans la partie qui contient 
celles-ci, on les remplace respectivement par e it e 2 , e z , g it g 2 , g 3 > on obtient 
la forme quadratique V. 



APPLICATION A LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ 254 

Cette forme étant ainsi introduite, la variation I — l — j I n'est évidem- 
ment autre que * ô - ; et, de même, la variation de la dérivée — (— J 

2 hgi 
Substituant dans la somme qu'il s'agit d'évaluer, nous trouvons 

1 / m , W ùW\ 

a a l a, — + o, H Ci — 



4- 


W« 


bW 


_ bV 




4- 


\ • ( a 


b*F 


7 bV 




coefficient de a L 


est 










|(« 




s b*F àW \ 



Mais si nous remontons aux formules (14) qui définissent e t , « a , e 3 , 
#i» ^2» ^3 en fonction de L, M, N, nous voyons que cette expression est 

égale à ;s -r .De même, le coefficient de b. est ~ --.-?, et celui de c., ^ nvr- La 

° 2 bL ■ 2 ôM * 2 ôN 

somme des termes. qui contiennent explicitement a i , & 4 , Cj est,donc 
l / b>P . W bW\ 

Si enfin nous tenons compte des formules (15) par lesquelles ont été 
définis L, M, N, nous voyons que cette expression représente 

1 b^ 

2 bX' 

L'équation cherchée et les deux autres analogues résultant des deux der- 
nières équations (11), s'écriront donc 

xe2 = x Q + 2^ 

(16) (H^aQ + ig 

* = <r+î£. 

2 bv 
Elles montrent que X, p, v sont proportionnels aux cosinus directeurs 



252 CHAPITRE VI 

d'une direction principale de la quadrique représentée (X, (x, v étant regar- 
dés comme des coordonnées ; a, (3, y, a, b, c, x, y, z, a iy b { , c if comme des 
constantes) par l'équation 

(17) n(X, ix, v) = Q(X2 + ,** -+- v 2 ) + W(e it e 2 , e. i} g,, g„ &) = il 

Celte quadrique est Yellïpsoïde de 'polarisation, analogue à celui dont 
nous avons parlé au n° 263. 

268. — Nous trouvons ainsi un résultat tout semblable à celui qui était 
déjà cpnnu pour le cas des déformations infiniment petites, mais qui doit 
être énoncé ici sous une forme un peu plus précise puisqu'il y a lieu de 
distinguer entre l'état initial et l'état actuel du corps considéré. Le segment 
(X, H» v ) étant, comme nous le savons, défini dans l'espace lieu des posi- 
tions actuelles des molécules, l'énoncé est : 

Une même direction d'onde est susceptible de propager trois directions 
de discontinuité différentes, lesquelles sont rectangulaires entre elles 
dans le milieu déformé. 

269, — Les, équations (14) font, en outre, connaître les valeurs de la 
vitesse de propagation. Celles-ci sont les racines carrées des trois racines 
de l'équation en s relatives à la quadrique dont nous venons de parler. 
Pour qu'elles soient réelles, il faut et. il suffit que celte quadrique soit un 
ellipsoïde réel. 

Nous allons constater que celte condition est toujours remplie dans les 
cas qui peuvent se présenter. 

Pour voir à quoi est due cette circonstance, considérons d'abord le cas 
des liquides. Nous avons vu qu'alors la vitesse de propagation a pour 

carré la quantité ~P . Or, la condition que cette quantité soit positive n'est 

autre que la condition de stabilité de l'équilibre interné : elle exprime 
qu'une diminution de volume imposée au gaz produit une augmentation 
de la pression, c'est-à-dire un changement d'effort interne de nature à 
6'opposer à la modification produite. 

Nous sommes donc conduits à rechercher les conditions de stabilité de 
l'équilibre interne et à voir si elles ne conduisent pas à la condition cher- 
chée. 

Nous admettrons, conformément à ce qui est établi pour le cas des sys- 
tèmes dépendant d'un nombre fini de paramètres, qu'il est nécessaire, 
pour la stabilité, que l'énergie élastique soit réellement minima (au lieu 



APPLICATION A LA THEORIE DE l' ÉLASTICITÉ 253 

d'avoir seulement sa variation première nulle) ou, du moins, que sa varia- 
tion seconde ne puisse devenir négative. Nous allons, par ce moyen, ex- 
primer la stabilité de l'équilibre d'un corps fixé par tous les points de sa 
surface, en l'absence de forces X, Y, Z. 

Si nous faisons subir l'opération 8 à la variation première (9), il viendra 

sous le signe ) I I deux sortes de termes : Ceux que l'on obtient en 

différenliant ôa it 86;, 8c t , et ceux qu'on obtient en différentiant les fac- 

leurs—- , .... 

Ainsi qu'il se produit dans tous les cas analogues de calcul des varia- 
tions, la première catégorie de termes donne une somme nulle. On peul, 
en effet, lui faire subir les mêmes transformations qu'à la variation pre- 
mière elle-même, ce qui fournit un résultat identique à celui que nous 
avons obtenu précédemment, ex, 8y, ùz étant simplement remplacés par 
o 2 x,o 2 y, o 2 z. Ces dernières varialions étant nulles comme les premières à 
la surface (puisque les points [de celles-ci sont supposés fixés), la somme 
en question disparaît en vertu des équations (10). 

Il nous reste l'intégrale triple 

fff h -m h-*-'G?)-~ 



(18) 



Bb, 



270. 



La quantité sous le signe fil est un e forme quadralique 

par rapport à 8«j, obi, Se,-. Si celle forme est définie positive pour toute 
valeur de a, 6, c, il en est de même de l'intégrale précédente. 

La réciproque n'est pas exacte? de ce que l'intégrale (18) doit être 
essentiellement positive, il ne résulte pas forcément qu'il en soit de même 
de son élément différentiel. Mais nous allons voir, par contre, que celui-ci 

ne doit prendre que des valeurs positives tant que les variations oa t , 

ont la forme 



(19) 



8^ = Xa 


Zb t = Xp 


, Scj = Xy, 


oa 2 = f*a 


ob 2 = rf 


. oc 2 = w. 


8a 3 = va 


, o6 3 =v(J 


, 8c 3 == vy, 



254 CHAPiTRE VI 

et cela quels que soient X, \i, v, a, (3, y : autrement dit, toutes les fois que 
les oau ... satisferont aux équations (*) 

(19') oa^ — 8^ 8a 2 = 0, oa^ — S&jS^ — 0, ,,o& 2 oc 3 — Sc 2 o& 3 =0. 

Remarquons, à cet effet, que les valeurs ainsi écrites ont une interpré- 
tation que l'on aperçoit immédiatement. Elles coïncident avec celles des 
variations brusqués des quantités « it b t , c», dans une discontinuité du pre- 
mier ordre qui aurait lieu suivant la surface d'onde considérée. 

Autrement dit, pour passer de la position actuelle du milieu à la posi- 
tion infiniment voisine correspondant aux variations (19), il suffira de 
faire subir à ce milieu une déformation de l'espèce considérée au n° 50 et 
ayant (X, jj., v) pour segment caractéristique. 

Cela posé, par un point déterminé intérieur à notre solide, faisons passer 
une petite portion de surface S dont le plan tangent ait pour cosinus direc- 
teurs a, p, Y- Si ces trois quantités jointes à trois valeurs convenablement 
choisies de X, (x, v fournissent pour les expressions (19) des valeurs qui 
rendent négatif l'élément différentiel de (18) au point considéré, on pourra 
prendre S assez petit pour que la même circonstance ait lieu en tous les 
points de cette portion de surface. 

S étant ainsi choisi une fois pour toutes, nous le considérerons comme 
la base d'un petit cylindre C, de hauteur h. Supposons que l'intérieur de 
celui-ci subisse une déformation du type étudié au n° 56, la surface dont 
les points restent fixes étant S, et le segment caractéristique (X, [a, v), le 
déplacement maximum ainsi obtenu sera de Tordre de h. 11 est aisé de voir 
que l'on pourra déterminer alors la délormation du reste du solide de ma- 
nière : 1° que les points de la surface extérieure restent fixes ; 2° que la 
continuité du déplacement soit conservée sur la surface du cylindre C, 
autrement dit que 8\r, &/, oz ne changent pas de valeurs pour un point de 
cette surface suivant qu'on considère ce point comme faisant partie de l'in- 
térieur ou de l'extérieur de C ; 3° que ox, ty, oz et leurs dérivées partielles 
du premier ordre soient partout (en dehors de C), des quantités très petites 
de l'ordre de h. 



(i) Inversement, on démontre que si, en ajoutant à la forme quadratique qui 
figure dans l'intégrale (18), une combinaison linéaire quelconque des premiers 
membres des équations (19'), on peut obtenir une forme définie positive, l'intégrale- 
est bien minimum (du moins lorsqu'on la prend dans un volume suffisamment res- 
treint). Mais il reste à examiner si la condition suffisante ainsi formulée est équi- 
valente à la condition nécessaire obtenue dans le texte. 



APPLICATION A LA THEORIE DE L ELASTICITE 255 

Dans ces conditions, l'intégrale (18) étendue à l'extérieur de C, sera de 
l'ordre de h 2 . Au contraire, pour l'intérieur de C (où oa £ , .... ont sensible- 
ment les valeurs déterminées (19)), elle sera négative et de l'ordre de h. 
Elle sera donc négative au total. 

Pour que ceci n'ait point lieu, il faut par conséquent, comme nous 
l'avions annoncé, que l'élément de l'intégrale (18) ne puisse devenir négatif 
lorsqu'on donne aux a if b if C; les valeurs (19). 

2*71. — Si maintenant nous nous reportons aux valeurs (13) de 

ôW ôW ôW . /ôW\ . .... 

- — , --t-s -r— , nous voyons que o ( — J par exemple, contiendra deux 

sortes de termes : les uns qui s'obtiennent en prenant les variations des 
premiers facteurs et qui nous donnent 

bW s ôW ., . bW\ 
--— 6cti H- — - obi -+- : — ûc £ ; 

Ô£ J Ô T 3 b Y 2 

les autres, qui s'obtiennent en faisant porter l'opération o sur les facteurs 

ôW 

Ô5, ' 

Or, nous avons, par exemple, 



. /ôW\ ù 2 W . 
o 1 = — s- oe. 

\ ÔE, / î>3 2 » 



ô 2 W „ b 2 W 



>Yo H ©Y«« 

ÔS t Ô Ï2 ft MY3 



Si nous considérons la forme quadratique V(è lt e,, e 3 , ^ n ^ 2 , ^ 3 ) dont 
il a été question tout à l'heure, il est clair que l'expression précédente 

représente ?> — , pourvu que e u gi soient respectivement remplacés par 






b* - bs 4 - ^ 5 Ï3 ^ ^ *Y 2 ^ l T 2 >(8.j ^ 2 -ô(8 Y3 ) - 2 - 5 ( S Y2 ) 

Nous avons à multiplier cette quantité par 8^, et les quantités analogues 

par §&,, 8c t 

Si nous remarquons que l'on a 

oSj = a^aj -+- a 2 oa 2 -h a 3 8a 3 , 8e 2 = 6,8^ -+- 6 2 8è 2 -h & 3 86 3 , 
8s 3 — c i lc i -t-c 2 8c 2 + c 3 oc 3 , 

S Yl = b^C, H- Cl 86, -h M C 2 "+■ C 2 8è 2 H" & 3 8C 3 + C 3 S& 3> 



256 CHAPITRE VI 

nous trouverons au total 

2 °- S(K3 + 2 ^ ôTây + 2 0£ 3 k^) + 2^.T877) + a ° Y * i^ 

+ 2 ° Ï3 ô(8y7) = 1F ^° ei ' ° S ' 6 " 3 ' ° Yl ' ° Ï2 ' ^ 

Finalement, la quantité sous le signe / / /, dans la variation seconde, 

sera 

ôW bW 

— - (oal 4- oa* -h 8a*) + — - (86* -+- ob: ■+- obi) 

ô^i • b= 2 

bW bW 

,;hjr (3c? -h 3d H- oe*) + 2 — (Sfr, 3 Cj -h Ô6 2 Sc 2 + o& 3 ôc 3 ) 

• 2 - — (oCj o»! -+■ oc. 2 oa. 2 -+- oc 3 oa 3 ) -h 2 ' — (oa { ob t -+- Zn.^b 2 -+- o« 3 o£> 3 ) 

■ ^( 8c -i, ?S; f> 3 . 5 Yiv ô Y 2 , r: T 3 )- 

C'est celle quantité qui devra, pour qu'il y ait stabilité, être positive 
lorsqu'on donnera à Sa,-, ob h oc,- les valeurs (19). 

Les quantités o\, oy* prendront précisément les valeurs e if g t définies par 
les formules (14), (15) et, par conséquent, l'expression (20) deviendra 
identique au premier membre de (17). Nous obtenons donc bien la conclu- 
sion cherchée : de la stabilité de l'équilibre interne résulte que les vitesses 
de propagation des différentes ondes sont réelles. 

De plus, si nous admettons que l'expression (20) ne peut même pas 
s'annuler dans les conditions indiquées sauf pour X = \l = v = ou 
a = (3 = y = 0, ces vitesses de propagation restent toujours Cnies. 

2*7£. — Dans le cas de l'Hydrodynamique où W = F(D), l'élément 

[F'(D)o 2 D -+- F"(D)oD 2 ] odx dy dz de la variation seconde se réduit à 

F"(D) {oDy pdœ dtj dz 

la quantité o 2 D se réduisant, comme il est facile de s'en assurer, à une 
combinaison linéaire des formes quadratiques qui forment les premiers 
membres des équations (19'). La condition de stabilité est donc bien (comme 

nous l'avions énoncé au n° 131 ) F"(D) > ou d £- > 0. 

£73. — Les considérations précédentes fournissent une interprétation 
simple du premier membre de l'équation (17). 



APPLICATION A LA THEORIE DE L'ÉLASTICITÉ 237 

Remplaçons, en effet, dans les formules (19), X, \±, v par \dt, y.dt, vdt 9 
en désignant par dt la différentielle d'un paramètre. La déformation sera, 
dans ces conditions, infiniment petite et, ainsi que nous l'avons remarqué 
au n° 113 bis , les accroissements de e f , y* seront précisément e{dt f g t dt. 
Supposons, en outre, ce qui est évidemment compatible avec l'hypothèse 
que nous venons de faire, que les dérivées secondes de œ, y, z — et par 
conséquent aussi, celles de a if £>*, c» — par rapport à t soient nulles : par 
exemple, que x, y, z aient les valeurs 

x = x -hlt f(a, b,c), y = y Q H- v-tf, z = z + vtf 

ou f(a, b, c) représente le premier membre de l'équation de la surface 
d'onde, défini comme nous l'avons spécifié au n° 80. 

Alors le coefficient de p- dans le développement de W sera la quantité 

D(X, {x, v) qui nous occupe. 

Si, par conséquent, autour du point considéré, nous envisageons un 

petit volume dx auquel nous ferons subir la déformation qui vient d'être 

t 2 
définie, le coefficient de «5-, dans la valeur de l'énergie élastique ainsi en- 

& i! 

gendrée, sera le produit de pdx par le premier membre de l'équation de i, 

l'ellipsoïde de polarisation. 

7&H4k. — Nous avons vu plus haut, pour le cas des déformations infini- 
ment petites que, dans un corps isotrope, il existait deux sortes d'ondes, 
les unes exclusivement longitudinales, les autres exclusivement transver- |( 

sales. j! 

Ce théorème subsiste-t-il dans le cas des déformations finies? 

Cette question peut être regardée comme un cas particulier d'une autre 
plus. générale. On sait, en effet, que l'optique des corps cristallins conduit 
à considérer, à l'exclusion des autres, les milieux élastiques isotropes ou 
non, pour lesquels une pareille décomposition en ondes longitudinales et 
ondes transversales a lieu. 

La condition nécessaire et suffisante pour cela estque l'ellipsoïde de pola- 
risation ait une direction principale normale à la surface d'onde considérée 
dans le milieu déformé. 

La détermination des formes de la fonction W pour lesquels il en est 
ainsi est bien connue lorsqu'il s'agit des déformations infiniment petites, 
c'est-à-dire lorsqu'on suppose que West une forme quadratique par rapport 
aux e,-, Yi- Proposons-nous d'effectuer celte même détermination dans le cas 
général. 



258 CHAPITRE VI 

Les cosinus directeurs de la surface d'onde dans le milieu déformé sont 
proportionnels aux quantités /, m, n définies par les équations 

/ a = la l -+■ ma 2 -+- na z 

(21) \ p == îb x -+- mb 2 -+- nb 2 

[ y = lc 3 -h rac 3 -+- nc 3 . 

Il faudra donc que les équations (16) soient vérifiées lorsqu'on y remplace 
X, [x, v par l, m, n. On pourra d'ailleurs, dans ces équations, supprimer les 
premiers termes des seconds membres et écrire 

1 W 

Sl ~~ 2 àl 

1 hW 

' ' <-=ls 

1 w 

Car les termes lQ y mQ, «Q (provenant de la quantité Q (X 2 -+- (jl 2 -+- v 2 ) qui 
figure dans n) ne feraient que changer la valeur de s d'une quantité égaie 
à Q sans modifier les directions principales. 

Nous observerons que si l, m, n sont donnés par les relations (21), les 
quantités L, M, N ne sont autres que a, (J, y. Nous dirigerons le calcul de 
manière à introduire ces quantités, à l'exclusion de l, m, n. A cet effet, 
nous multiplierons les équations (22), d'abord para 1( a 2 , a 3 respectivement, 
puis par b u 6 2 , b 3 enfin par c 4 , c 2 , c 3 . 11 viendra alors 

, . x T 1 / m m w\ 

s(aj -f- a,m -h a 3 n) .= *L = g ^ ^ + « 2 - + a 3 ô ~j 
s(bj h- 5 2 m -h & 3 n) = sM = ^ ^, ^ -+- & 2 ^- + & 3 
sfal H- c 2 m -h c 3 n) = sN = ^ ^c, -^- -4- c 2 — -f- c 3 






on/ 

on/ 



5^r ôV b^P 
Si alors nous remplaçons les dérivées —r » — > — • par leurs expressions 

à l'aide des dérivées prises par rapport à L, M, N, nous aurons (eu égard 
aux formules qui définissent les e,,Yï) 

S L = â [(l+2e l)ôT + Y35lî + Y 2 ^J 

i* if ^ il o x ôW ^1 

sM = 2L Y3 ^ + (1 " h2£2) ^M + ïl ^J 

m i r ^ aw ,. « xôf"i 



i -\-2e t 


Ï3 


Ï2 


Ï3 


1 +2e 2 


Ti 


Ï2 


ïi 


i + 2e 3 



APPLICATION A LA THEORIE DE L ELASTIC1TK 259 

. Ô^P" ftV d^P* 

INous résoudrons ces équations par rapport à -r- > -^> ■« . Celte résolu- 
tion introduit les mineurs Ej, G* du déterminant 



(23) D 2 = 



par rapport aux éléments 1 -+- 2 s,-, Yi respectivement, les coefficients de 
sL, sM, sN dans les valeurs de'srri 5 jnn ' 9 ~v étant les quantités «A » tt^ • 
En introduisant, au lieu de s, le nombre 

* = 5! 

et, en désignant par 4> la forme 

*(p, ?, r) = E l p 2 -t-E 2 ? 2 +E è r* -h2G!3r + 2G 2 rp 4-2G 3 p? 
c'est-à-dire la forme adjointe de celle qui donne l'élément linéaire du milieu 
déformé, les valeurs en question seront 



1 ôW 1 , ô* 
2^L— 2^^' 
1 ô*F __ 1 , b* 
2bM — 2- 5M' 



\ W _ 1 0* 

tst — r» Aï 



I 

2ôN~"2"' W 

et les relations que nous venons d'écrire seront cette fois vérifiées à condi- 
tion qu'on fasse a, p, y égaux respectivement à L, M, N. 

Cette substitution ne doit être opérée qu'après les différenciations. Si, au 
contraire, on faisait immédiatement a = L, p = M, y — N on introduirait 
en trop, au premier membre, les termes provenant de la différenciation par 
rapport à a, (3, y« Mais les valeurs de e if e 2 , e 3 , g it g 2 , g 3 , qui seules inter- 
viennent dans W, sont symétriques par rapport aux deux systèmes de quan- 
tités L, M, N ; a, p, y- Les termes ainsi introduits seront donc respective- 
ment égaux à ceux qui existaient primitivement et auront pour effet d'en 
doubler la valeur. Nous pourrons donc remplacer les équations précédentes 

par 

' l VV __ ô* 
2 ôL ôE 

\JV _ j ô* 

2 ôN ~~ ôN 



260 CHAPITRE VI 

dans lesquelles, maintenant W aura la valeur obtenue en remplaçant, avant 
toute différenciation, a, p, y par L, M, N, c'est-à-dire en faisant 

(25) e i = L 2 , e 2 = M 2 , e z = N 2 , g, = 2MN, # 2 = 2NL, g z = 2LM. 

Avec les relations (24), nous avons cette fois, affaire à des identités ayant 
lieu pour toutes les valeurs des variables indépendantes L, M, N qui y 
figurent. Ces relations expriment, comme on sait, que V est une fonction 
de <ï>, et, comme la première de ces deux expressions est un polynôme 
homogène du quatrième degré, la seconde un polynôme homogène du 
second degré, on a nécessairement 

W(L 2 , M 2 , IN 2 , 2MN, 2LN, 2LM) = h *(L, M, N) 2 

h étant indépendant de L, M, N. 

2*75. — Nous avons maintenant à nous demander quelle devra être la 
forme quadratique W pour se réduire à h& lorsqu'on remplacera respecti- 
vement les ei, Qi par les valeurs (25). C'est ce qui aura lieu, non seulement 
si W est égale à hW , en posant 

W Q = (E^ -4- E. 2 e 3 + E 3 é 3 -+- G^ -H G 2 g 2 -*- G 3 <7 3 ) 2 ; 

mais aussi si W est égale à une combinaison linéaire quelconque de h^ 
et des six formes 

(26) \ 4 *'* 8 ~ 9l ' 4 *'*' ~~ 9 " 4 *'*" ~~ 9 * h 
(92ffz — 2ei9i> 9z9\—^e*9v 9*9* — Zerflv 

Cette condition suffisante est d'ailleurs nécessaire : il suffit, pour s'en 

! convaincre, d'exprimer directement que la forme du quatrième degré 

obtenue en remplaçant, dans W — ^ , les e^ g { par les valeurs (25) est 
identiquement nulle. 

276. — L'expression de V étant ainsi obtenue il reste à remonter à 
celle de W pour laquelle il est clair que l'on a ainsi un système d'équations 
aux dérivées partielles du second ordre. L'intégration de ce système est 
d'ailleurs tout élémentaire et il nous suffira d'en indiquer sommairement 
la marche. 

Les formes (26) manquant de termes en e 2 , e x g 3 , e t g 2 , ces termes 
devront avoir dans W des valeurs proportionnelles à celles qu'ils ont dansW 
et, par conséquent, les dérivées de W devront vérifier les relalions 

;v 2 W ô 2 W ô 2 W 

( 27 > W :Eî= S 3 :E ' G ' = ^ :E ' G < =7î - 



APPLICATION A LA THEORIE DE L ELASTICITE 261 

Comme on a (d'après (23) ) 

E _l»(D 2 ) G __JaO> 2 ) G _1*(D 2 ) 
^ — 2"^"' |J « — 2"5yT' ° 2 ~ 2"ô^"' 

ces relations montrent que la dérivée — — peut s'écrire 

Ô — - = fonct. (D, y 4 , h» e 3 )- 

En faisant intervenir les relations analogues relatives aux dérivées 

bW oW 

- — > — , on verra facilement que l'on peut écrire 

ôs t bs 3 

^ = a(H-2g(l4-2e 3 ) + a 1 
ôe i 

^ = a(l+2e 3 )(H-2e 1 ) + a 2 
^ = a(l+2.,)(I + 2s) + «. 

3 

où « est une fonction de D pendant que a lt a 2 , a 3 peuvent contenir en outre, 
le premier Y t , le second y 2 , le troisième y 3 . 

On fera ensuite intervenir les autres termes de la forme w : par exemple, 
on écrira que le coefficient de e % e 3 , plus quatre fois le coefficient de g\> 
donne une somme qui a la même valeur dans W que dans h^ Q (la première 
forme (26) s'éliminant dans cette combinaison). 

On arrivera ainsi aisément à l'expression générale de la fonction W, 
laquelle est 



(28) j 



W = F(0) + o M (y} - 4s 2 s 3 ) h- a 22 ( ï |-4e 3 e 1 )-t- cr M (YÏ-'4«,hî 
-H2« 23 (2e 1 Yi — Y,Y 3 ) + 2a 31 (2e 2 Y 2 -Y 3 Yi) + 2fl 12 (2e 3 Y3— YiY 2 )-+-P 



où les û ik sont des constantes et P un polynôme quelconque du premier 
degré par rapport aux e t , y* (*). 

C'est seulement lorsque W a la forme précédente que l'ellipsoïde de pola- 
risation a un axe normal à l'onde. 



£66-269 



(i) h a alors la valeur ^ ^ (*-j^ )• La quantité Q(X 2 + p. 2 + v2) desn™ 

étant, comme on le reconnaît aisément, proportionnelle à W si les a,t sont nuls, on 
constate que les term.es en F'(D) disparaissent de l'équation de l'ellipsoïde de pola- 
risation, et on retombe bien, pour l'élément de variation seconde calculé au n° £91, 
sur l'expression obtenue au n° *9S pour le cas des liquides. 



262 CHAPITRE VI 

277. — L'hypothèse que le solide, dans son état naturel, est isotrope 
exprime que les propriétés de ce corps ne doivent pas changer lorsqu'on 
effectue une transformation de coordonnées orthogonales sur a, b, c. La 
fonction W qui représente l'énergie élastique nedoif donc pas être modifiée 
par une telle transformation. 

Or, dans cette transformation, les coefficients e^ e 2 , e 3 , y,, y 2 , Y3 de la 
quadrique © = \ introduite au n° 51 varient. Mais trois quantités, comme 
on sait, restent invariantes : ce sont les coefficients de l'équation en s rela- 
tives à cette quadrique, c'est-à-dire les expressions 

A = e t -h e 2 H- e 3> 

B = (l +-.2e 2 ) (t + 2e 3 ) - y! + (1 + 2e 3 ) (1 +2*0 - Y» 

-H(lH-2 Sl >(l + 2e 2 )-Yl, 
D 2 . 

L'isotropie du corps considéré s'exprime par ce fait que W ne dépend que 
des trois quantités précédentes. 

iOr, il ne résulte nullement de là que W soit nécessairement de la 
forme (28). 

Par conséquent, la conclusion établie pour le cas des déformations infi- 
niment petites ne s'étend pas aux déformations finies. Pour celles-ci, 
les ondes qui se propagent dans un corps isotrope ne sont pas, en général, 
longitudinales ou transversales. 



CHAPITRE Vil 



LA THÉORIE GÉNÉRALE DES CARACTERISTIQUES 



§ 1. — CARACTÉRISTIQUES ET BICARACTÉRISTIQUES 

278. — Nous avons vu que la propagation des ondes dans le mouve- 
ment rectiligne d'un gaz est liée aux propriétés des caractéristiques des 
équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépen- 
dantes. ' 

D'une façon tout analogue, l'étude des ondes dans l'espace à trois dimen- 
sions n'est pas distincte de la théorie des caractéristiques généralisée, 
comme l'a fait Beudon (*), au cas d'un nombre quelconque de variables 
indépendantes et étendue aux systèmes d'équations à plusieurs inconnues. 

Comme pour le cas de deux variables, cette théorie découle de la discus- 
sion du problème de Cauchy. 

Prenons, pour fixer les idées, une équation du second ordre que nous 
supposerons, en outre, linéaire par rapport aux dérivées secondes, de sorte 
qu'elle aura la forme 

(i) 2 **#* + 1 = ° 

où pue désigne la dérivée partielle de la fonction inconnue z parrap- 

port aux variables indépendantes (différentes ou non) x t et œ k . Nous sup- 
posons qu'il y a n de ces variables indépendantes, ce it a? 2 , ...., x n , de sorle 
que les indices i et A; prennent, indépendamment l'un de l'autre, les va- 
leurs 1, 2 ...., n. 

(*) Bull. Soc. Math. Fr. 1897, p. 108-120. 



,11 



264 CHAPITRE VU 

Quant aux a ik et à l, ce sont des fonctions de z, ,x lf x 2 , ...., x n et des dé- 
rivées premières Pt,/? 2 ••.., .Pn de z par rapport à x t , x 2 ...., x n . 

279. — Considérons la multiplicité n — 1 fois étendue ou hypersur- 
face M M _ 1 représentée par l'équation 

(2) ^ = /K»^-v..* ll -J. 

Soient P lf P 2 , P„_ t les dérivées partielles de x n par rapport à 

x it x a , ....,#„_! déduites de l'équation (2). Si U est une fonction quelconque 
de x it x 2 , ...., #„_!,#„, et que cette dernière quantité soit remplacée par sa 
valeur tirée de l'équation (2), Usera, surM n _j,une fonction de x v x 2 , ...., 
x n _ l . Nous désignerons par le symbole d les dérivées de U prises dans 
celte nouvelle hypothèse. Il est clair que celles-ci sont liées aux premières 
par les relations 

(i=l,2, ...,»-!). 



(3) 


A. — _L -l. p. JL 


Pour la fonction z, 


on aura ainsi 


(4) 


è=*+ p 


et, pour U = p k) 




(5) 


t=*>*-^ 



A = 1,2, n— i\ 
\£=l,2,....,n j 



Si, d'une manière générale, nous désignons par la notation pik".h la 
dérivée - — — < prise par rapport aux \i variables (différentes ou non) 

ÙXï 0X k . . . oXfi 

x u x k , ...., x h , on aura, pour U — pu 

(50 fgf^fti + Pflta. 

et ainsi de suite pour les dérivées de tous les ordres. 

S79 bis .— Cela posé, imaginons que l'on don ne, en chaque point deM n _i, 
les conditions de Cauchy, à savoir les valeurs de z et de ses dérivées pre- 
mières. Celles-ci devront satisfaire, bien entendu, à la relation 

dz = p, dx x -+- p 2 dx 2 4- .... p n dx n 

surM„-p c'est-à-dire aux relations (4) (de sorte qu'il suffira en réalité 
de se donner z etp n ). 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 265 

Cherchons à déterminer les dérivées secondes de z. Celles-ci devront 
vérifier les équations (5), et il est aisé de voir qu'en général elles seront 
ainsi déterminées, une fois adjointe l'équation (1). Si, en effet, nous consi- 
dérons d'abord les relations (5) dans lesquelles l'indice k a la valeur n, 
ces relations nous donneront 

(6) ^ = È- PiP - 

Si, au contraire, nous supposons k différent de n, nous aurons (en per- 
mutant les indices i et k) 

dpi D 

*» = d¥ k ~ PkPin 
et, en tenant compte de (6) 

Toutes les dérivées secondes sont ainsi exprimées en fonction de p nn . 
Reportons enfin ces expressions dans l'équation donnée : nous aurons un 
résultat de la forme 

(7) • A Pnn -H K = 
où A et K auront les valeurs 

n — 1 n — 1 



(8) 



i, k = 1 i = 1 



= ^ a ik ?iP k — ^ a in ?i -+- a nn 

en désignant par la notation ^ une sommation où l'on ne donne pas aux 

indices variables la valeur w. 

Supposons A différent de zéro. L'équation précédente nous déterminera 
p nn et, par suite, toutes les dérivées du second ordre. 

280. — Passons au calcul des dérivées troisièmes. Les relations (5') 
permettront de calculer toutes ces dérivées en fonction de la seule p nn n- 
Pour cela, nous ferons tout d'abord deux, puis un des indices i, k et h 



266 CHAPITRE Vil 

égaux a n : nous aurons ainsi des relations qui ne se distingueront évi- 
demment de (6) et de (6') que par l'indice n ajouté à chaque lettre p et qui 
nous donneront, par conséquent, 

_ dpn p 

„ "Pin p dp nn „ p 

d'où l'on déduirait les dérivées dans lesquelles aucun indice de différencia- 
tion n'est égal à n par une troisième application de la formule (5'). 

Nous avons, d'autre part, entre les dérivées cherchées, les relations 
obtenues en différenciant l'équation donnée (1). Mais il suffit d'écrire une 
seule d'entre elles. Toutes les autres se réduiront à la première, moyennant 
les relations (5), (5') : car, si nous désignons par & le premier membre de 
l'équation (1), on pourra différencier, surM„_ t , l'équation |F = 0, puisque 
celle-ci est vérifiée en chaque point de M„ _ ,, et l'on aura 

n d$ *$ n ï$ 

U = -7- = h "4 i 

dxi bcci i>x n 

ce qui montre bien que la condition — =0 entraine — - = 0, pour toutes 

les valeurs de i. 

Or, si nous différencions l'équation (1) par rapport à oc n , le résullat 
obtenu sera évidemment de la forme 

(10) 2 a ik p ikn -+- l t = 0, 

? â étant une fonction des oc, de z et de ses dérivées premières et secondes 
seulement, quadratique par rapport aux dérivées secondes ('). Si, dès lors, 
nous comparons le système des équations linéaires (9), (10) à celui des 
équations (1), (5), nous voyons qu'aux termes constants près, ils sont 
identiques, une fois chaque inconnue^ remplacée par p ikn . Par conséquent, 
lorsqu'on exprimera ces dernières en fonction de p nnn par le moyen des 
relations (9), l'équation en p nnn sera 

(11) hpnnn + K, = 



(•) l i sera même linéaire par rapport aux p iky si les a<* sont indépendants des déri- 
vées premières de z. 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 267 

OÙ 

(ii) Ki = 2, «i» vas ~ " "^T/ ~*~ -i * * + *» 

est fonction des x iy z, p t , p ik . La condition nécessaire et suffisante pour 
que les conditions (9) et (10) déterminent bien les dérivées troisièmes est 
donc encore A^O. 

Le calcul des dérivées quatrièmes, cinquièmes, etc., sera tout à fait 
analogue aux précédents. On aura, pour chaque ordre, une inconnue 
déterminée par une équation du premier degré dans laquelle le coefficient 
de cette inconnue sera toujours la même quantité A.. Toutes ces inconnues 
seront donc bien déterminées sous la seule condition A ;zf 0. 

281. — On arriverait au même résultat par un changement de variable. 
Substituons, en effet, à x n la nouvelle variable indépendante 

n'n = v n — f(x l} x 2 , a? n — i). 

1 
La nouvelle équation de M„_ 4 sera x' n = et l'équation aux dérivées par- 
tielles rapportée à ce nouveau système de variables sera $' = 0. On pourra , 

calculer toutes les dérivées successives en fonction de z et de —7- si l'équa- 

ox n 
b 2 Z 

tion if' = est résoluble par rapport à la dérivée ■— j-g» 

Or, si l'on revient aux anciennes variables, il est évident, d'après ce qui 
précède, et facile à vérifier directement, que la condition 

i0' 






^0 



ainsi obtenue donne A ;zf 0. 

On retrouve donc bien ainsi la même conclusion que tout à l'heure. 

Mais, de plus, on en obtient une autre également très importante. On sait, 

ùz 
en effet, d'après la démonstration de M me Kowalewski, que si z et — - sont 

pour x' n = des fonctions analytiques et régulières de x v x 2 , ...., #„_, 
et que la fonction $"' soit analytique et régulière par rapport aux quantités 
qui y figurent, le problème admettra une solution z analytique et régu- 
lière en Xu œ 2 » *•••> °°n—\., #n- Ce résultat se transporte évidemment au 
système de variables donné. Autrement dit, les dérivées successives dont 
nous venons d'indiquer le calcul sont les coefficients d'un développement 



268 CHAPITRE Vil 

de Taylor convergent pour des valeurs suffisamment polîtes des argu- 
ments. 

282. — Supposons maintenant que l'on ait, sur toute (*) Thypersurface 
M„_ 4 , la relation 

(12) A = 0. 

Alors il faudra, pour que le problème soit possible, ou du moins pour qu'il 
existe une solution z admettant des dérivées de tous ordres sur M n _ t , que 
la série des valeurs données de z, p v p 2 * ...., p n vérifie la condition K = 0, 
laquelle peut encore s'écrire, en remplaçant les pi par leurs valeurs en 
fonction de p n tirées de (4) ( 2 ) 

283. — Si au contraire, on considère pour un instant une solution 
donnée z de l'équation (1), la condition A = est une équation aux 
dérivées partielles du premier ordre par rapport à x n , considéré comme 
fonction de œ u x 2 a? B -i« Les multiplicités (2) qui vérifient cette équa- 
tion seront dites des caractéristiques de l'équalion donnée. 

Il importe de remarquer que, pour former les caractéristiques, il ne 
suffit pas, en général, de se donner l'équation (l) elle-même : les caracté- 
ristiques ne sont définies que pour une intégrale déterminée de cette équa- 
tion, puisque les coefficients ne dépendent pas seulement des x, mais 
encore de z et de ses dérivées. Il n'y a d'exception que pour des équations 
de forme particulière, celles où les coefficients a ik des termes du second 
ordre sont fonctions des x seuls. 

Comme équation du premier ordre,, l'équation aux dérivées partielles 
A = admet elle-même des caractéristiques ( 3 ) qui ne sont plus des mul- 



{*) Nous ne traitons pas ici le cas où A est nul sur une partie seulement de M n _ x 
(savoir, sur une multiplicité n — 2 fois étendue appartenant à M n _.,) lequel corres- 
pond à une singularité (comparer ch. iv, n° 233) si K est différent de zéro et que 
nous retrouverons plus loin (n 08 3 16-31 8) lorsque K sera nul. 

{}) Pa désigne, bien entendu, la dérivée ^ — -—- . 

( 3 ) Voir Goursat, Leçons sur l'intégration dis équations aux dérivées partielle 
du premier ordre. 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 269 

tiplicités n — 1 fois étendues, mais des lignes (multiplicités à une dimen- 
sion), définies par les équations différentielles ordinaires 

(aa\ jjjgj dx 2 dx n ^i , 

( bA \~~r^\~ ~~ / ôA \ 

lesquelles entraînent encore 

(14') ds = — -r -J& ~r~ • 

p ôA p ôA p ôA 

Ces lignes jouent également un rôle essentiel dans la théorie actuelle : 
nous les nommerons bicaractêristiques ou encore rayons, en raison d'une 
signification physique que nous leur reconnaîtrons un peu plus loin. 

Toute hypersurface caractéristique M„_ , est un lieu de bicaractêristiques, 
une de ces lignes passant par chaque point de M„ _ ,. 



284. — Les bicaractêristiques cesseraient d'être définies dans un cas 

que nous exclurons, au moins en ce moment : celui où -p- serait nul pour 

toutes les valeurs que peut prendre l'indice i. 

Si l'on considérait P lt P 2 , P„ _ l comme des coordonnées carté- 
siennes et l'équation (12) comme représentant une surface, ce cas correspon- 
drait, comme on sait, à l'existence d'un point multiple sur la surface en 
question. Nous dirons, par analogie, que M„ _ ^ est une caractéristique mul- 
tiple, son ordre de multiplicité étant celui du point (P n P 2 , ..., P M _,.) 
sur la surface (12). 

285. — La condition (13) introduit déjà les bicaractêristiques. Le coef- 
ficient de -s— dans cette équation est, en effet 

(15) — ^ a * P * -+- a in = — g gp : 

on peut poser 



(15') 



li -~2Z ^T\ +L ' 



i 



Si donc on donne tout d'abord la distribution des valeurs de z, sur la 



270 CHAPITRE VU 

multiplicité (2), celle-ci étant supposée caractéristique ('), la condition (13) 
donnera, pour déterminer p„, une équation aux dérivées partielles linéaire 
dont les caractéristiques seront précisément les courbes (14). 

286. — Revenons au problème de Cauchy en supposant A = et la 
condition (13) également vérifiée. Alors l'équation (7) ne détermine 
plus p nn . Mais ainsi qu'il arrive déjà dans le cas de deux variables, cette 
quantité ne peut pas être prise tout à fait arbitrairement. Pour A = 0, en 
effet, l'équation (11) est également impossible ou indéterminée et la con- 
dition de possibilité est 

K t = 0. 

Or si, sur l'expression (11') de K,, on opère comme il a été fait sur celle 
de K, c'est-à-dire si l'on y remplace les p in par leurs valeurs en fonction 
dep nn tirée de (6), on trouvera évidemment 

2^ dX% ôFt 

p nn , considéré, sur la multiplicité M B _j, comme fonction de x iy a? 2 , .... 
a? n -i» satisfait donc à une équation linéaire aux dérivées partielles du 
premier ordre. 

Les caractéristiques de celte dernière équation ne sont autres que les 
bicaractéristiques situées sur M n _ ,. 

Si on désigne par ds la valeur commune des rapports (14) (s étant un 
paramètre qui définit un point variable de la bicaractéristique) l'équa- 
tion (16) deviendra 

1&5 - L, = 0, 

2 ds ■ 

c'est, comme on le voit, une équation différentielle du premier ordre 
en p nn considéré comme fonction de s. 

On ne peut donc se donner arbitrairement p nn qu'en un point de chaque 
bicaractéristique : autrement dit, si sur M„_ t nous traçons une multipli- 
cité M*_ 2 rencontrant chaque bicaractéristique en un point et en un seul, 
p nn sera arbitraire sur M n _ 2 seulement et non pas sur M M _ t . 



(*) Toutefois, il faut observer que les caractéristiques ne peuvent pas être définies 
sans qu'on donne les p„ à moins que les a,* ne soient indépendants de ces quan- 
tités. 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 271 

Une foispnn ainsi choisi, p nnn sera déterminé non plus par l'équation (11), 
mais par les conditions relatives aux dérivées quatrièmes. Or, les équa- 
tions qui déterminent celles-ci sont identiques à celles qui déterminent les 
dérivées troisièmes, à un terme près qui ne contient que des dérivées pre- 
mières et secondes, moyennant le remplacement de p ik par p ikn et de p ikn 
par pi k nn. Donc nous aurons pour p nnn , considéré sur Mn.j, une équation 
aux dérivées partielles linéaire du premier ordre dérivant de (16) par la 
môme substitution, sauf le changement du terme où p nnn n'est pas diffé- 
rence (terme qui sera linéaire, et non plus quadratique, par rapport 
à pnnn) : de sorte que p nn n pourra, comme p nn , être pris arbitrairement en 
un point de chaque bicaractéristique. 

Il est clair que des considérations toutes semblables s'appliqueront aux 
dérivées suivantes de tous les ordres. 



287. — Nous avons supposé l'équation deM„_ â résolue par rapport 



à x n . Si cette équation était prise sous une forme quelconque 
(2') nfo,*,, ...,œ n ) = 



les dérivées partielles P,, P 2 , ..., P,,^ de œ n par rapport à x lf a? 2 , ...,x n - i 
s'exprimeraient en fonction des dérivées partielles ttj, 7t B , ..., tt„ de n par 
rapport à cc l , cc 2 , , x n - iy Xn à l'aide des formules 

(17) ^=-~ (î=l,2,...,n-l) 

de sorte que la quantité A qui doit être nulle pour que M„_j soit caracté- 
ristique serait (*) 

n 

(18) A= 2 a £fc Tr £ 7t fc . 

t, k = 1 

On pourrait d'ailleurs faire cette substitution dans la série des calculs 
qui nous ont conduits à l'équation des caractéristiques. Considérons, par 
exemple, les relations (5) : moyennant la substitution (17), elles devien- 
dront 

(19) *„ ^ = *n p ik - "Ripkn. 



(i) Cette nouvelle quantité A est égale à l'ancienne, multipliée par it*„ 



CHAPITRE VII 



dx x dx 2 


0?^ n _! 


dœ, 


bA ~~ ôâ — " 


ôA 


~ ôA 


ÔTTj Ô7T 2 


ÔTTn-l 


ÔTT n 



Soit p?« un système déterminé de valeurs des p ik vérifiant ces équations. 
Pour toute autre solution p ik , on aura 

(20) * n ( Pik - pi) = ^ (p*. - rfj (^ = ^ 2> ^ n j 

d'où résulte 

(20') pu, =p° ik -+- X *««* (i, * = 1, 2, ..., n) 

X étant un certain paramètre. Ces dernières formules représentent donc la 
solution générale des équations (5). En la substituant dans l'équation (1), 
on aura une équation du premier degré pour déterminer X ; et le coefficient 
de X sera précisément la quantité (18). 

Quant aux bicaractéristiques, elles seront données par les équations 



( 14 bis) 



qui se déduisent de (14) et de (14) par la substitution (17), en tenant 
compte de ce que la quantité (18) est homogène et, d'autre part, nulle sur 
la caractéristique. 

288. — Il est évident que les raisonnements précédents s'étendent 
d'eux-mêmes à une équation d'un ordre quelconque, pourvu qu'elle soit 
linéaire par rapport aux dérivées de l'ordre le plus élevé. 

Il est également aisé de faire disparaître cette dernière restriction. Soit, 
par exemple, une équation du second ordre |T= non linéaire par rap- 
port aux p ik . Le problème qui consiste à déterminer une solution z de 
cette équation, connaissant les valeurs de z et de p n sur M n _i, peut être 
remplacé par le suivant : trouver une solution de Vêquation 

(21) *£. = 

ton 

connaissant, sur M„_ t , ses valeurs, celles de ses dérivées et celles de ses 
dérivées secondes, ces dernières données étant convenablement choisies : 
elles seront déterminées par les conditions (5) et l'équation JT= 0. Toute 
fonction z qui répondra au premier problème répondra en effet au second, 
et d'autre part, si z satisfait à l'équation (21), IFsera une fonction de 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



273 



a? t , # 2 , , <x n -i seuls el sera, par conséquent, parlout nul s'il l'est pour 

Or, l'équation (21), qui est du troisième ordre, est linéaire par rapport 

aux dérivées troisièmes, le coefficient àep ikn étant — : elle admettra donc 

tytk 
des caractéristiques données par l'équation 



(22) 
(ou 

(22') 



V' ^ D P V' ^ P l ® _ A 



00 



Itf TU fc = 0, 



si l'équation deM„_! est prise sous la forme (2')) : autrement dit, par la 
condition que le déterminant fonclionnel de l'équation donnée et des rela- 
tions (5) (ou (20) ) par rapport aux put s'annule. En un mot, les a t k seront 



api* 



simplement remplacés ici par les quantités 

Seulement, on voit que, à l'égard de la théorie des caractéristiques, 
l'équation donnée se comportera comme une équation du troisième ordre, 
c'est-à-dire que les considérations du n° 286 ne s'appliqueront qu'à 
partir du calcul des dérivées troisièmes et non de celui des dérivées 
secondes, comme il arrivait dans le cas où l'équation donnée avait la 
forme (1). 

Par exemple, nous ne pourrons plus en général, écrire la condition (13), 
mais seulement la condition (16), savoir 



(16 bis )< 



— — 2 Zà 



dxi ôPj 



Li> 



5$ b# V^ (dp n D \ v^' à& ( d 2 p n „ \ 



A étant Le premier membre de l'équation (22). 



2H9. — Il est cependant un cas où, l'équation n'étant pas linéaire, il 
n'est pas nécessaire de la différencier préalablement pour lui appliquer la 
théorie précédente. C'est ce qui arrive, lorsque le nombre des variables indé- 
pendantes est de deux, pour les équations de Monge Ampère (équation (17) 
dun° 158). 



274 CHAPITRE Vil 

Pour n quelconque, la même circonstance se présente toutes les fois que 
le premier membre de l'équation est une fonction linéaire du déterminant 

Pli Pi2 Pin 

Pn P22 Pin 

Pn\ Pn% Pnn 

et de ses mineurs ('). 

C'est en particulier, ce qui a lieu pour toute équation que l'on déduit d'une 
équation de la forme (1) par une transformation de contact. Il était évident 
a priori (comparer en. IV, n° 1©£), que les conclusions précédentes devaient 
subsister pour une équation ainsi obtenue et môme que les caractéristiques et 
les bicaractéristiques sont conservées dans la transformation. 

290. — Ainsi que nous l'avons vu, pour le cas de deux variables, au 
n° 161, la condition (12) est celle que doit vériGer M n _ t pour que deux 
intégrales de l'équation soient tangentes entre elles en tous les points de 
cette multiplicité, du moins tant que ce contact ne sera pas d'ordre infini. 

Cette notion est, d'ailleurs, équivalente à celle de la propagation des 
ondes lorsque celle-ci s'applique à des mouvements qui peuvent être con- 
sidérés comme ne dépendant que d'une seule fonction inconnue. 

Considérons, par exemple, les mouvements d'un gaz qui dérivent d'un 
potentiel des vitesses <ï>. Les composantes de la vitesse dépendent alors des 
dérivées premières de ce potentiel, et il en est de même de la pression 
d'après l'équation ( 2 ) 

<w v -/?=xM[0 2 -CI) 2 -Ct) 2 ]- 

Supposons que deux mouvements de cette espèce présentent entre eux une 
discontinuité d'ordre m (m >> 2). Cet ordre sera aussi celui des premières 
dérivées du potentiel qui soient discontinues. 

oc, y, z, t, $ étant considérés comme cinq coordonnées, chacun des deux 
mouvements sera représenté par une surface dans l'espace à cinq dimen- 



(*) Ces équations ont été étudiées d'une manière générale par M. Goursat [Bull. 
Soc. Math. Fr., tome XXVII, p. 1-34 ; 1899). 

( 2 ) Voir par exemple Kirohhob'f, Mécanique^ 15 e leçon. 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 275 

sions, surfaces ayant enlre elles un contact d'ordre m. Toutes deux devront 
d'ailleurs satisfaire à lequation différentielle du mouvement, savoir (*) 

v ' U bxy bx) byy by) bzy bz ) 

où p doit être remplacé par sa valeur tirée de (23). 
La multiplicité de contact 

(24) <?(#, y, z, = 

devra donc être une caractéristique de celle équation. Or, dans celle-ci, les 
termes du second ordre sont 

/b ô ô<ï> b b<i> b o*\* dp AJ 

\bt bxbx by by bz HZ J dp 

de sorte qu'on devra avoir 

w e+ -s - -s- -s) 1 =i [o 2 - g) 1 - m} 

Celte équation est équivalente à la formule (5) (n° 240) qui fait 
connaître la vitesse de déplacement de l'onde. 

Les raisonnements mêmes par lesquels nous avons obtenu ces deux for- 
mules sont d'ailleurs analogues les uns aux autres, quoique cette analogie 
ne puisse nous apparaître complètement tant que nous n'introduisons que le 
potentiel des vitesses au lieu des trois coordonnées x, y, z considérées comme 
fonction de a, b, c, t. Considérons, par exemple, les équations (20) ou (20') : 
elles expriment que, pour deux intégrales (jui se raccordent suivant la mul- 
tiplicité (2') avec identité des dérivées premières, les différences des dérivées 
secondes sont entre elles comme les carrés et les produits deux à deux des 
dérivées partielles du premier membre de (2'). Ce fait n'est autre que celui 
que nous avons établi au n° 97 ( 2 ). 



(i) Kirchhofp, ho. cit. 

( 2 ) Toutefois, la théorie des caractéristiques ne dispense ras du leilimë du n° "> 2 i 
lemme qui a été implicitement admis dans Ce que nous venons de dire. 



276 CHAPITRE Vil 

291. — Pour appliquer la théorie des caractéristiques à l'étude du 
mouvement le plus général des gaz, il est nécessaire de l'étendre au cas des 
systèmes d'équations, le nombre de celles-ci étant supposé égal à celui des 
fondions inconnues: cas auquel le théorème de Cauchy-et de M me Kowa- 
lewsky continue à s'appliquer, du moins lorsque, d'une part, on suppose 
toutes les données analytiques, et que, de l'autre, on exclut certains cas 
exceptionnels (ceux où il est impossible de résoudre par rapport à des 
dérivées d'ordre le plus élevé appartenant respectivement aux diverses 
fonctions cherchées) lesquels n'interviennent pas dans les problèmes dont 
nous nous occupons. 

Rappelons que, contrairement à ce qui se passe pour les équations diffé- 
rentielles ordinaires, le cas de plusieurs équations aux dérivées partielles à 
un nombre égal de fonctions inconnues est essentiellement distinct de 
celui d'Une seule équation. Il est impossible de ramener l'un à l'autre en 
éliminant une ou plusieurs inconnues : on n'obtiendrait pas ainsi, en effet, 
une équation unique pour déterminer l'inconnue restante, mais un système 
d'équations dont la discussion, au point de vue de l'existence et de la 
recherche de leurs solutions communes, serait, en général, plus compliquée 
que celle du système primitif. 

Nous prendrons, pour fixer les idées, le cas qui se présente le plus com- 
munément en Mécanique, celui de trois équalions à trois inconnues \ t r tf Ç 
et nous supposerons encore les équations du second ordre et linéaires par 
rapport aux dérivées secondes p ik de £, aux dérivées secondes q ik de t\ et 
aux dérivées secondes r ik de Ç. Elles s'écriront donc 

2 "*/>* + 2 hikqik + 2 CikVik "*" l = ° 
(26) <j 2 a 'ikPik -+- 2 V ik q ik + 2 c' ik r ik + /' = 

2 a" ik p ik -+- 2 b" ik q ik ■+■ ^ d! ik r ik -f- l" = 

>■» c'ik, c" ik , c" ik ; l, l'y l" dépendent des fonctions inconnues, de 
leurs dérivées premières (celles de Ç étant désignées par p n p 2 , ....,£>„, 
celles de tj par q if q. 2 , ...., q n , celles de Ç par r v r. 2f ...., r n ) et des va- 
riables indépendantes qui sont toujours les x. 

Nous considérerons encore la multiplicité M„^.,, sur laquelle nous suppo- 
serons données les valeurs de £, 1, K et des dérivées premières (ou, plus 
exaetement de p n , q n , r n ). Les q ik , r ik véritiant des équalions toutes sem- 
blables à (6), (6'), on pourra appliquer aux termes qui 1rs contiennent les 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



277 



(27) 






transformations que nous avons faites aux n os £79, 2S2, et les équations 
données prendront par conséquent la forme (comparer (7), (15)) 

a , r . r V 1 dp n sA ^' I d 3* — 

Ap nn 4- aq nn -+- ur nn — ^j 2 rfa?,- ôP { "" Zi 2 Sa?* ôP» 

<*v i dr n 5G . _ 

A^nn +«?«n+^ w -^ £ ûtej ôP f _ Zà 2 3% ôP; 

Zà 2ô^ôPi + L - U 
A"» + h"o -4- GV - V - ^ — V - ^ — 

A p nn + Mn« + ^ ^n ^ 2 (toj toi — 2* 2 cfei ôP* 

où A, B, C désignent les quantités 

A =• 2j ai k PiP k — ^ a in P f -h «„„ 

B = 2' ô*P.-P* ~ 2' hinVi + & ™ 

C = ^ CfcPiP* — 2 C t „ Pi 7^ C nn , 

tandis que A', B', C, A", B", C" sont des quantités tout analogues formées 
avec la seconde et la troisième équations, et que 



(28) 



L = 2' *<* (lih ~ PikP -) + 2' ** (Sol ~ p * ? ") 
+•2 -(&-'.*) + « 



ainsi que les quantités analogues L', L", sont des fonctions de p n , #„, r„ et 
de la distribution des valeurs de £, r), C sur M„_ t . 

Dès lors, la condition pour que la recherche des dérivées secondes soit 
un problème impossible ou indéterminé est 



(29) 



H = 



ABC 

A' B' C 
A" B" C" 



= 0. 



On a ainsi, comme on voit, une équation aux dérivées partielles du pre- 
mier ordre, mais du sixième degré. 



278 CHAPITRE Vil 

292. — Plaçons-nous d'abord, dans le cas le plus général, celui où la 
multiplicité M„_j étant caractéristique, c'est-à-dire vérifiant l'équation 
H = 0, les mineurs du déterminant H ne sont pas nuls à la fois en un 
point quelconque de cette multiplicité. Alors la condition pour que le sys- 
tème soit indéterminé (et non impossible) par rapport à p nn , q nn , r nn est 
unique, savoir une certaine équation de la forme 

linéaire par rapport aux dérivées de p n , Çn, »n, prises sur M n — 4 . 

On peut donc, cette fois, choisir arbitrairement, en chaque point de 
M n _ i} deux des trois dérivées premières j9„, q n , r n et déterminer la troi- 
sième par cette condition. Mais ici les caractéristiques de l'équation linéaire 
du premier ordre ainsi obtenue ne seraient nullement les analogues des 
bicaractérisliques définies tout à l'heure dans le cas d'une seule équation. 
Elles ne coïncideraient pas avec les lignes que nous allons rencontrer dans 
le calcul des dérivées troisièmes et qui, elles, seront les véritables bicarac- 
léristiques. Au reste, les caractéristiques de l'équation en r n ne seraient pas 
les mêmes que celles de l'équation en p n ou en q n . 

En un mot, tant qu'on s'arrête aux dérivées secondes, le calcul se pré- 
sente d'une manière très différente, suivant qu'il s'agit d'une ou de plu- 
sieurs équations. 



293. — La condition (30) étant supposée vérifiée, la solution du 
système (27) sera indéterminée. Si a, (3, y, a', p', -y', a", P", y" sont les mi- 
neurs de H relatifs aux éléments A, B, C, A', B', C, A", B", G" respective- 
ment, a étant par exemple, supposé différent de 0, toutes les solutions de 
ce système seront comprises dans la formule 

( Pnn=P°nn "+" «P 
(31) 5 qnn = q\n ± Pp 

( r nn = r n „ -+- yp 

{p°nn, q° nn , r°nn) étant l'une d'elles et p un paramètre arbitraire. 

Passons aux dérivées troisièmes. D'après les calculs précédemment 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 279 

effectués, il suffira de trouver p nn ni qnnm î'wnm lesquels seront donnés par 
les équations 



1 dpnn dk ^v 1 dq nn ôB 



A» -4-Ba 4-Cr- — Y ± 2« 2* _ V' 1 ^L M £?_ 
A/w -+- «gwn -h Lr nnn 2j 2 da* dP t Z< 2 dx { U\ 

-ey 1 dr nn ôC T n 

~2L 2 fe ô -F î + Ll = ' 



A ; , r», , n/ M ^'idp nn ï>A! ^> ï dq nn bB' 

^' i cfrw ôC T , __ n 

A p nrm H- B Çnnn t" ^ ^nnn 2d 2 (te,- bP* 2^2^^ 

^' 1 dr nn ôC" f „• _ A 

~ 2i 2 un m + L i - u - 

L t , L' t , L" t désignant de nouveaux termes quadratiques en p nn , q nn , r nn , à 
coefficients connus. La condition de possibilité de ce système s'obtient en 
multipliant la première équation par a, la seconde par a', la troisième 
par a" ; il vient ainsi, £>„„„, q n nn et r nnn disparaissant du résultat, 

(32) 



, V 1 dq m / *B bB' „ ôB"\ 



+ 2 2 -35J- [* SF« + a 5R + a 5RJ 
— (aL t + * f L' 1 .+ « f L r 1 )==0. 

Dans cette équation, nous avons à substituer les valeurs de p nn , q nn , r nn 
données par les formules (31). Il est clair que nous obtenons ainsi, pour 
déterminer p; une équation linéaire (non homogène) aux dérivées partielles 

du premier ordre en p, le coefficient de V- étant 

\ I <>A , , i>A' _. oA*\ 1 „ / î.B , SB- » bB'\ 
1 / î>C ,»C „i)C"\ 

Mais, d'après des identités bien connues, la condition H = entraîne 

(3a' = ap', pa" = ap", y*' = *ï', Y*" = «f. 



280 CHAPITRE VII 

Nous pouvons donc mettre a en facteur et le coefficient de i a, 

ôA , ,ôA' „dA" 

n'est autre que -p-« 

Donc les caractéristiques de l'équation en p sont 



re a er 


i îacte 


ur 


et le ( 


loett 


icier 


tt de 


' <T) ^ 


, savoir 






-+ 


p.* 


+ ï 


ôG 
»P< 


-+-V 


bp," 


„ <>C" 



(33) 



doCj __ fc 2 _ dODn — l 

bH "~ sH bli 

ôP 4 &P, ôP n _ t 



autrement dit, sont identiques à celles de l'équation (29). 

On retrouvera évidemment ces mêmes lignes dans le calcul des dérivées 
des ordres suivants. Ce sont elles que nous appellerons les bicaractéristiques 
du système donné. 

294. — Le cas que nous venons de traiter est celui des équations de 
l'Hydrodynamique, du moins en ce qui concerne les discontinuités propa- 



Tout d'abord, en effet, il est clair, comme précédemment, que la multi- 
plicité § qui exprime, comme il a été expliqué au n° 96, la propagation 
d'une onde avec le temps, est nécessairement une caractéristique du système 
des équations du mouvement. 

D'autre part, si deux mouvements d'une masse aérienne se propagent l'un 
dans l'autre suivant une onde, nous savons que la discontinuité qui existe 
entre eux est normale à cette onde en chaque point. Si donc on donne l'un 
des mouvements, les valeurs des dérivées secondes pour l'autre ne dépen- 
dront, en chaque point, que d'une seule inconnue, à savoir la grandeur de 
la discontinuité en question. Ceci revient à dire que la résolution du sys- 
tème (27) ne comporte qu'une inconnue arbitraire et, par conséquent, que 
l'un au moins des mineurs du déterminant H est différent de zéro. 

Si nous prenons les équations de l'Hydrodynamique sous la forme 
d'Euler, les variables indépendantes étant les coordonnées actuelles oc,y,z 
et le temps t, l'équation de M n _ 1 devra être écrite sous la forme 

<p(#, y, z, t) = Q. 

L'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfera la fonction <o et qui 



LA THUORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 281 

donnera — en fonction de l -^-> -^ » —, fera ainsi connaître la vilesse de dé- 

U ùcc Dy ~bz 

placement de l'onde. Effectivement, si on forme le déterminant H pour les 
équations d'Euler, qui sont quatre équations du premier ordre à quatre 
inconnues u, v, w y p, on retombera sur l'équation (25), multipliée par le 

facteurf — 4- w -- •+• v~ -¥■ w -%■ ) (lequel correspond aux ondes station- 
\U hœ ï>y ôz/ v ^ r 

naires, dont nous reparlerons plus loin). 

Si, au contraire, nous prenons les variables de Lagrange, l'équation de 

M M _j étant résolue par rapport à t, soit 

(34) t = f(a, b, c) 

l'équation des caractéristiques nous donnera la vitesse de propagation 

1 



(35) 



v7« 2 + ff + /; 



rapportée à l'état initial considéré. Nous retomberons donc ainsi sur la 
formule (4) du n° 240 ; et, en effet, les calculs précédents, appliqués aux 
équations (1) et (3) du ch. III, donnent ('), conformément à la formule en 
question et à la relation (35), 

(39') - f- * {fa. À, r.) - 1 = 0. 

Si l'équation de M n _. 4 est prise sous la forme 
(34') f{a, b, c, t) = 

non résolue par rapport à /, on obtiendra la même équation (au remplace- 
ment près du second terme par /*,*) multipliée parle facteur /J 2 , correspon- 
dant encore aux ondes stationnaires. 

295. — On voit d'ailleurs bien, dans ces conditions, que les calculs 
par lesquels on parvient au résultat ne sont pas distincts de ceux qui ont 
été faits au chap. v. On devra, en effet, écrire pour l'inconnue x des équa- 
tions du type (20') et, pour y et z, des équations analogues où le paramètre X 



(i) On devra, à cet effet, exprimer (comme nous l'avons dit au n° t*4) les déri- 
bp ôp dp 
v ^ es îw' ôv ' ôf ^ l'aide des dérivées par rapport à a, b, c, et, d'autre part, tenir 

compte de la remarque faite dans la note de la page 92. 



282 CHAPITRE VH 

sera remplacé par n ou v. Or, il apparaîl immédiatement qu'on obtient 
ainsi les conditions cinêmatiques de compatibilité qui ont fait l'objel du 
chap. ii et que nous avons adjointes aux équations dynamiques du mouve- 
ment ( 1 ). 

296. — On obtiendra la valeur de la vitesse de propagation telle que 
la donne la formule (3) (n° 239) en prenant pour état initial l'état actuel : 
de plus, la forme * (/„, f b , f c ) qui figure dans la formule (29') se rédui- 
sant alors à f a 2 -f- f b 2 -h /; 2 , nous avons immédiatement à l'instant consi- 
déré, la tangente à la bicaractéristique, savoir : 

da db de _ dt 

fa ~Tl>~~T 



/dp 

V dp 



• • 

ainsi la bicaractéristique, rapportée à un état initial coïncidant avec 
l'état actuel à Vinstant et au point considérés, est normale à Vonde. 

297. — Si, des équations de l'Hydrodynamique, nous passons à celles 
de l'Elasticité, nous pourrons également appliquer les considérations pré- 
cédentes, du moins lorsque les coefficients d'élasticité seront tout à fait 
quelconques. En général, en effet, les directions de discontinuités compa- 
tibles avec une surface d'onde déterminée sont en nombre fini, égal à trois, 
chacune d'elles correspondant à une vitesse de propagation différente : 
autrement dit, lorsqu'on donne la multiplicité caractéristique § qui repré- 
sente la propagation de l'onde, la direction de la discontinuité est déter- 
minée. Nous pouvons donc raisonner comme nous l'avons fait au commen- 
cement du n° 294. 

298. — Il en est autrement dans le cas d'un corps isotrope, la déforma- 
tion étant supposée infiniment petite. Nous avons vu, en effet, que, dans 
un tel corps, la vilesse de propagation n'a que deux valeurs possibles (au 
lieu de trois). La première correspond à des ondes longitudinales, aux- 
quelles s'applique ce que nous avons dit jusqu'ici. L'autre, au contraire, 



(!) Il est cependant à remarquer que les considérations des chap. n-v ne donnent 
pas l'interprétation de la forme que présentent les termes tout connus (indépen- 
dants des p ih ) et ne permettent pas, par conséquent, de retrouver les équations dans 
lesquelles ces termes interviennent, telles que l'équation (30) (n° 292). 11 y a là 
une lacune sans doute intéressante à combler. 



LA THÉORIE GENERALE DKS CARACTERISTIQUES '283 

égale (avec les notations du n° 260) à - , convient à des ondes transver- 
sales, et une discontinuité transversale quelconque peut être ainsi pro- 
pagée. Autrement dit, si nous considérons les équations (5) du n° 260, 
équations dont le déterminant est 



(36) 



)2__M — (L-f-M)« 2 — (L + M)a(3 — (L + M)ay 

— (L + M)ap p e 2 — M — (Lh-M)P -(L + M) p Y 
-r-(L-i-M)aY — (L-hM)Py p6 2 ~-M — (L + M) y 8 

= _.( p 02_M) 2 (L + 2M — pô 2 ), 



le facteur pô 2 — M sera commun à ce déterminant et à tous ses mineurs. 
D'ailleurs, ainsi qu'il résulte évidemment des développements qui précè- 
dent, — et qu'on le vérifie d'ailleurs immédiatement — si, dans ces équa- 

W S 2 t) 8 2 Ç 



tions linéaires, on remplace les inconnues 1, \i, v par^' *r 
quantités a, p, y, 6 par 

f* f, f, 



s~ » kto et les 



o* 2 



s/tf + ff + V v//* 2 + f/ + /? ^lu + tf-vf-} W+ff + A 1 ' 

les équations ainsi obtenues ne seront autres, aux termes indépendants des 
inconnues près, que celles auxquelles on arriverait en reportant dans les 
équations mêmes du mouvement (équations (4) du n° 250) les valeurs 
des dérivées secondes tirées de (6), (6'), c'est-à-dire que les équations (28) 
(l'équation de l'onde étant t = f(x, y, z) ). 

On voit donc, que sur les ondes transversales qui se propagent dans les 
corps élastiques isotropes, le déterminant H est nul ainsi que tous ses 
mineurs. 11 en est évidemment de même pour les ondes transversales sta- 
tionnâmes de l'Hydrodynamique, ainsi qu'on s'en assurerait en effectuant 
les calculs du n° 294 sans exclure ces ondes, c'est-à-dire sur l'équation 
(34') et non sur l'équation résolue par rapport à t. 

299. — Il est donc nécessaire d'étudier, à leur tour, les systèmes pour 
lesquels cette circonstance se présente. 

Nous nous trouvons, alors, dans un cas précédemment exclu (n° 284) 
même pour l'étude d'une seule équation : celui d'une caractéristique mul- 

>H 

tiple. Il est clair, en effet, que toutes les quantités -p sont nulles (*). 



(!) C'est ainsi que, dans l'expression (36), le facteur pQ 2 — M figure au carré. 



284 CHAPITRE VU 

Sur une caractéristique mulliple, les théories précédentes sont, en général, 
en défaut. Mais il en est autrement si cette caractéristique annule tous les 
mineurs du déterminant H et si son rang, c'est-à-dire le nombre de lignes 
et de colonnes qu'il faut supprimer dans le déterminant en question pour 
trouver un mineur différent de zéro, est égal à son ordre de multiplicité. 
C'est ce qui est établi, pour le cas de deux variables indépendantes, dans 
l'ouvrage cité de M. Goursat (*). 

Nous retrouverons plus loin (n° 327) l'équivalent, pour le cas de n 
quelconque, du résultat ainsi obtenu. Mais, pour notre objet actuel, 
nous serons obligés de faire une hypothèse de plus. 

Dans le cas envisagé au n° précédent, en effet, les caractéristiques 
doubles ont le même degré de généralité que les autres : elles sont définies, 
comme elles, par une une seule équation aux dérivées partielles du premier 
ordre. 

Nous nous bornerons au cas, évidemment très particulier, où cette con- 
dition est vérifiée : plus exactement, où tous les mineurs du déterminant H 
s'annulent, non seulement sur la caractéristique considérée, mais surtoutes 
les caractéristiques infiniment voisines de la première. 

Reprenons donc le système d'équations et le système (27) en p nn , q nn , r nn 
qui en est la conséquence et supposons que, le déterminant H soit nul avec 
tous ses mineurs, cette circonstance ayant lieu, non seulement surM^-,, 
mais sur toutes les caractéristiques voisines. 

Le système (27) aura alors deux conditions de possibilité, mais si elles 
sont vérifiées, les trois équations qu'il renferme se réduiront à une seule 
qui déterminera r„„, par exemple, en fonction de p„ n et de q nn : on aura, à 
un terme connu près 

A B 

Vnn — p" Pnn p Qnn- 

Les équations (32) auront également deux conditions de possibilité que 
nous obtiendrons, par exemple, en multipliant la première d'entre elles 
par C", la troisième par — G et ajoutant, puis, opérant de même avec les 
deux dernières et les coefficients C", — G'. Nous trouverons ainsi 

V ' l ( c „ bA r ôA" \ dp nn ~ v ' 1 / C /a ôB p ôBf \ dqrnt 
là 2 V SPi "" L Wi) ~dx~i "*" Zà 2 { Wi~~ ôPj dxi 

+ 2'4( c "^- c SÈ +CL v- c ' L ^ ' 

(i) Equations aux dérivées partielles du second ordre, tome il, note ii. 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 285 

Y" 1 ( c „ ôA' _ r , ôA'\ dpn n , v' 1 (C Ô _Ë _ r> d F\ Û™ 
Zt 2 V ôPi , bP,7 rfa?,-' "*" Zj 2 \ ôPi u biy dxi 

, v' * /G" ftG ' r' bC "\ ^ rnn -4- c ï " — r" r ' — o 
+ Z 2\ ^ m) to" hGLl - GL i-° 

(les dérivées troisièmes s'élimi riant en vertu des relations 

(37) « = a' = a" = p = P' = P" = Y — y' = T " = 0). 

Si nous substituons à r nn sa valeur en fonction de p nn , q nn , nous aurons 
pour ceux-ci les deux équations aux dérivées partielles 

^y 1 [ r „ bA r bA" A [ r „ oG r bC"\"l d Pfin 

Z % L L ôTi ~ L m ~c\St;- 1 ôR/j ~d^ 

v / 1 f r// bB bB" B / , ôG r bC"\~| dq nn 

Z 2 L m~ St\ _ c r ôt;- ~ L biyj ^ + •••• = °> 

v / 1 f p// ôA' p/ bA" A / r „ &C bC"\] dp nn 

Z 2 L ^ """ ^ ~~ c 1 L Wt - L ôHJJ "^7 

v 1 f r// bB' p/ bB" B ( c „ bC' bC"\"| dq nn _^ 

dans lesquelles nous avons remplacé par des points tous les termes qui ne 
conliennent pas les dérivées de p nn , q nn , termes dont la forme ne nous im- 
porte pas actuellement. 

300. — Ges équations sont, en apparence, de forme beaucoup plus compli- 
quée que les précédentes puisque nous sommes en présence de deux équations 
aux dérivées partielles à deux fonctions inconnues p nn , q nn . Cependant, 
comme les premières, elles se réduisent à des équations différentielles ordi- 
naires. 

Si, en effet, nous tenons compte de la relation AG" = CA", le coefficient 

de 4y, dans la première d'entre elles, s'écrit 



(38) 



(*$-«3h*£-^g> 



1 ( nn bA 
2 



1 b 



Or ceci n'est autre que * -rj- (AC" — CA") = ~ -^- • 

• à br t ii or ï 

De même, le coefficient de -7-^, dans la seconde équation (38), est 
1 / bA' p , bA" . „ ôC # _^ ., bG"\ . i bp 



286 CHAPITRE Vil 

(puisque l'on a également AC = CA') ; pendant que les coefficienls 

■ j dq nn . 1 î>»' 1 ôa 

analogues de ^ sont - ^ — , g ^ . 

Or nous avons supposé que les relations (37) avaient lieu, non seulement 
sur M n _j, mais sur toutes les caractéristiques infiniment voisines. Ceci 
exige évidemment que les expressions a, a', ...., qui sont des polynômes 
en P 4 , P 2 , ...., P n _i, aient un facteur commun H t , les caractéristiques en 
question étant représentées par l'équation H 4 = 0. Nous pourrons donc 
poser 

a = 11^, o^=:H 1 A> , l «* = H 1 V, P = H 1 «, ^' = H 1 ïB / , P" = H f » f , 

et nous supposerons que les quantités Jl>, ...., C" ne s'annulent pas toutes 
-à la fois en un point quelconque de notre caractéristique. 

H. étant nul, la dérivée ~r se réduit à $' -^ et une réduction analogue 

ôr z - ôJTj 

,. 4" ta 1 oa" „ , ... „-.",., 

a lieu pour ~ > -rj > -tj . Nos équations s écrivent alors 

2 2j ôPf ST "" "2 Zi ôPi ~â#T ~*~ 

2 iL ôP» te "*" 2 Zj ôPi te- ""*" 

Si donc nous considérons sur M„_ 4 , les lignes définies par les équations 
différentielles 



ôP, bP 2 5P 1I . 1 

(5 étant un paramètre auxiliaire), nous pourrons écrire nos équations sous 
la forme 

®< d l™-, Jt'-^55 + ... = 
as as 

_<& d £p.+. A ^4- ... = 0. 
as as 

Ce sont deux équations différentielles ordinaires définissant p nn 
et q nn en fonction de s. Nous trouvons donc les mêmes conclusions géné- 
rales que tout à l'heure. Nous pourrons choisir arbitrairement les valeurs 
do p„ ni q nn en un point de chacune des lignes définies par les équations 



LA THÉORIE GÉNÉRALE DES CARACTÉRISTIQUES 287 

différentielles (39), après quoi ces quantités seront déterminées sur toute 
la ligne en question. Ce seront ces lignes que nous nommerons encore les 
bicaractèristiques du système. 

Dans le cas des ondes transversales qui se propagent dans les solides 
isotropes, ces bicaractèristiques seront encore normales aux ondes, puis- 
que l'équation des caractéristiques s'écrit 

h, = p/p ~ m (£■ + ff + m = 0. 

30 1. — D'après ce qui a été dit au n° £88, il est clair que tous ces 
résultats (tant ceux des n os £91 -£93, que ceux que nous venons d'ob- 
tenir), subsisteraient dans ce qu'ils ont d'essentiel si les équations données 
n'étaient pas linéaires par rapport aux put, qu c , r#. Il suffirait encore de 
différentier une fois ces équations par rapport à x n . Les quantités «,&, bus, Cik 
seraient remplacées par les dérivées des premiers membres relativement 
à pik, qik ou r ï7 ,. 

Il est clair, également, que, si l'équation de M B _ 4 était considérée sous 
la forme (2'), non résolue par rapport à x ny les caractéristiques seraient 
encore données par l'équation (29), A étant remplacé par l'expression (18) 
(n° £87) ; A', A", ... par des expressions analogues; et que les bicaractèris- 
tiques seraient représentées (dans l'hypothèse du n° £9£) par les équations 

(XOC a (Xdbfi 

W = JH-' 

302. — Revenons à l'interprétation dynamique des résultats que nous 
venons d'obtenir. 

Nous adopterons pour représenter nos raisonnements, la convention 
dont nous avons parlé au n° 100 bis , c'est-à-dire que nous tracerons les 
figures correspondantes comme s'il s'agissait de mouvements plans, les 
surfaces de discontinuité étant remplacées sur les figures par des courbes, 
les multiplicités triplement étendues par des sui faces, etc. 

Soient considérés deux mouvements en discontinuité du second ordre 
(ou d'ordre m >> 2), suivant une surface dont la portion représentée sur 
l'état initial, sera désignée par S , et qui doivent satisfaire à un même 
système d'équations dynamiques, par exemple aux équations de l'hydro- 
dynamique. Supposons qu'on donne à un instant donné t Q , la position de 
la surface S . Les considérations du chapitre V nous apprennent à 
trouver à cet instant, en tous les points de cette surface, la vitesse de 



! 



288 CHAPITRE Vil 

propagation ou, ce qui revient au même ( n° 100 bis ), l'angle de l'hyper- 
surface § , lieu de S lorsque le temps varie, avec l'hypersurface 
t = t : par conséquent, à construire en ce point la direction de § . D'après 
ce qui a été vu au chap. V et au chap. VI (n° 269-271), cette direction 
est toujours réelle dans le cas des équations de l'hydrodynamique ou de 
l'élasticité. Il peut en exister deux ou plusieurs différentes, entre lesquelles 
les conditions de compatibilité permettront de choisir ainsi qu'il a été 
expliqué au n° 243. 

303. — Mais les considérations développées dans le présent chapitre 
permettent d'aller beaucoup plus loin. Si en effet, l'un des deux mouve- 
ments est complètement connu, celui vers l'intérieur duquel a Heu la pro- 
pagation, nous connaîtrons une équation aux dérivées partielles du premier 
ordre (celle des caractéristiques) à laquelle devra satisfaire § . 

Or, d'après la théorie générale des équations aux dérivées partielles ('), 
une telle équation, jointe à la condition de passer par la surface S , déter- 
mine complètement l'hypersurface en question. 

Pour opérer effectivement cette détermination, il suffit ( 2 ) de posséder 
une intégrale complète de l'équation des caractéristiques, c'est-à-dire 
(à une restriction près, sur laquelle nous n'avons pas à insister ici ( 3 )), 
une intégrale dépendant de trois constantes arbitraires (dans le cas qui 
nous intéresse, celui où le nombre des variables indépendantes est de 
quatre). 

Nous partirons d'une multiplicité caractéristique qui, non seulement 
peut jouer le rôle d'intégrale complète, mais est même un peu plus géné- 
rale, puisqu'elle contient quatre constantes, à savoir les coordonnées d'un 
point quelconque (a , b , c , t ) de l'espace E 4 . Soit 

(40) H (x lf x 2 ... œ n , P lf P 2 , ... P n _,) = 

une équation aux dérivées partielles du premier ordre quelconque défi- 
nissant x n comme fonction de x iy x 2 , .... x n -i et />ù P lt P 2 , ..., Pn-i dési- 
gnent les dérivées premières de x n . Pour chaque système de valeurs 
(#°, x\, ... a?J) de Xi, x i} ..., x ni cette équation donne une relation entre 



( A ) Goursat, Leçons sur Vintëgration des équations aux dérivées partielles du 
premier ordre, n° 15, p. 189-191. 

( 2 ) Goursat, loc. cit. 

( 3 ) Goursat, lbid., n<> 43, p. 96. 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



289 



P n P 2 , ..., P„_j. Pour n = 3, ces variables x v x it œ z peuvent être 
regardées comme des coordonnées cartésiennes et la relation obtenue 
entre P, et P 2 représente un cône auquel doit être tangente la surface cher- 
chée. Nous pourrons, en nous servant de la géométrie à n dimensions, 
conserver la même interprétation géométrique, quel que soit n, et parler 
du cône r représenté par l'équation (40) au point qui a pour coor- 
données 07?, X%, ..., Xi. 

A chaque direction (de multiplicités M„_ 1 ) tangente à ce cône, suivant 
une certaine génératrice -y, — c'est-à-dire, à chaque système de valeurs 
de P,, P 2 , ..., P n -t satisfaisant à l'équation pour les valeurs données des 
x — , la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre 
apprend à faire correspondre une caractéristique c de l'équation (40), ayant 
pour tangente au point donné la génératrice Y- Toute intégrale passant en 
et pour laquelle P 4 , P 2 , ..., P n _i ont, en ce point, les valeurs consi- 
dérées, contient nécessairement toute la caractéristique c. 

L'intégrale que nous considérerons avec M. Darboux ( 1 ), et qui a été 
nommée par lui intégrale à point singulier, n'est autre que le lieu C des 
différentes caractéristiques c issues du point et correspondant aux diverses 
direclions possibles de y- Elle admet évidemment comme point conique, 
le cône tangent étant r. Elle est inscrite, le long d'une caractéristique c, à 
chaque intégrale passant par 0. 

Dans le cas où l'équation (40) sera celle qui définit les caractéristiques 
d'une équation ou d'un système tels que ceux que nous avons étudiés dans 
ce qui précède, nous donnerons à cette hypersurface C ayant pour point 
conique, le nom de conoïde caractéristique de sommet 0, le cône r étant 
dit le cône caractéristique de même sommet. 

304. — Si maintenant, à son tour, le système en question est celui qui 
régit un mouvement, de sorte que les variables indépendantes soient 
a, b 9 c, t. et qu'on donne la position S d'une onde à l'instant t , il suffira, 
pour obtenir la multiplicité caractéristique S (/fy* 19) qui coupe l = t 
suivant la surface S , — c'est-à-dire la multiplicité qui figure la marche de 
cette onde, — de prendre l'enveloppe des conoïdes caractéristiques ayant pour 
sommets les différents points (a , b Q , c , t ) qui constituent la surface S 
considérée à l'instant t Q . Cette enveloppe aura, en général, plusieurs nappes ; 



(*) Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du 
premier ordre, n° 8, p. 34 (Mém. des savants étrangers, t. XXVII, 1880). 



290 



CHAPITRE VII 



mais, comme au n° 243, s'il y a compatibilité, la propagalion se fera 
suivant une seule, parfaitement déterminée, d'entre elles. 

Soit S la surface (représentée sur la fig. 19 par une courbe), suivant 
laquelle la multiplicité t = t' (représentée sur la fig, 19 par un plan pa- 
rallèle à t = £ )est coupée par le conoïde 
caractéristique de sommet (a , è , c , t ). 
La construction que nous venons d'in- 
diquer pour S se traduira, dans le lan- 
gage de Ja géométrie ordinaire, de la 
manière suivante : Etant donnée la 
position S d'une onde à l'instant t Q , 
pour obtenir la position S' de cette 
onde à un instant ultérieur quelcon- 




Fig. 19 



que t ! , il suffira de prendre l'enveloppe des surfaces 2 correspondant 
aux différents points de S . 

Lorsque la surface S est infiniment petite et se réduit au point 
unique (a , b Q , c ), la multiplicité S u n'est autre que le conoïde caracléris- 
tique lui-même. La surface 2 est donc celle sur laquelle serait distribuée, 
à l'instant t', une discontinuité concentrée, pour t — t , aux environs du 
point (a , b , c ). 

305* — Les ondes rencontrées dans les chapitres V et VI avaient 
(n os 239, 271) leurs vitesses de propagation toujours réelles et nous 
avons même été conduits à admettre (n°271) que ces vitesses étaient 
toujours finies. 

Comme on le voit immédiatement en se reportant d'abord au cas du 
mouvement à deux dimensions, la condition que les vitesses soient réelles 
quelle que soit la direction de l'onde, revient à celle-ci, que la multiplicité 
t == t n'est pas sécante au cône caractéristique du sommet 0, et la condi- 
tion que ces vitesses soient toujours finies exprime qu'elle ne lui est pas 
non plus tangente : qu'elle lui est, par conséquent, entièrement exté- 
rieure. 

Si cette condition est remplie, il est clair que la surface S ne s'éloigne 
indéfiniment dans aucun sens. En particulier, la surface 2 correspondant 
au cas où S se réduit au point est toujours fermée. 



306. — Inversement, soit donnée au temps t' > t , une surface S' . 
Supposons d'abord cette surface réduite à un point (fig. 20) et soit 2 la 
surfaoe de section du cône caractéristique C de sommet par la multipli- 



LA THKORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



291 



cité t' = t Q . Si la surface S est fermée comme nous l'admettons^), il 
suffira, pour déterminer le mouvement en à l'instant i', de connaître, à 
l'instant t , le mouvement, non de tous les points de l'espace, mais seule- 
ment de ceux qui sont à l'intérieur . ; 
de 2 : nous savons, en effet, que si, \ 
pour t= t , deux mouvements coïn- \ ! 
cident à l'intérieur de 2 (tout en 
pouvant être distincts en dehors de 
cette surface), ils coïncideront ensuite 
dans toute la région intérieure à la 
multiplicité caractéristique menée 
par 2 , multiplicité qui n'est autre 
que C. 



i=t' 




Si maintenant S' est une surface 



Fig. 20 



fermée quelconque et non plus un point, ce que nous venons de dire 
s'applique évidemment en remplaçant l'intérieur de 2 par le domaine 
que remplissent les diverses surfaces 2 correspondant aux différents points 



situés sur S' ou intérieurs à S' . 



307. — Lorsque les coefficients a iit a i2 , ... (n° 278) des dérivées de 
l'ordre le plus élevé sont des constantes, de sorte que l'équation des carac- 
téristiques ne contient pas explicitement les variables elles-mêmes, les 
cônes caractéristiques correspondant aux différents points de l'espace, sont 
égaux entre eux. 

De plus, le conoïde caractéristique se réduit au cône caractéristique. 
L'équation des caractéristiques est, en effet, vérifiée lorsqu'on donne aux 
quantités que nous avons désignées par les lettres P t et qui sont 

ici -j--i -i^» -t- , des valeurs constantes, ce qui donne pour t une fonction 

linéaire de a, b, c. Les bicaractéristiques correspondantes sont évidemment 
des droites ( 2 ), qui ne sont autres que les génératrices du cône r. 






[}) Si le conoïde caractéristique se compose de plusieurs nappes, de sorte que 2o 
se compose de plusieurs nappes fermées, il faut, ici, considérer la plus extérieure 
de ces nappes, de sorte que C soit la nappe inclinée vers l'intérieur de la caracté- 
ristique passant par S . 

( 2 ) IL est à peine nécessaire de rappeler qu'en géométrie à n dimensions, on ap- 
pelle droite, une multiplicité à une dimension le long de laquelle les n coordonnées 
sont des fonctions linéaires les une» des autres. 



292 CHAPITUE Vil 

Quant aux multiplicités caractéristiques sur lesquelles -7-, -77-, -y- se 

réduisent aussi à des conslantes, elles donnent évidemment les ondes 
planes, correspondant au cas où la surface S se réduit à un plan et où, 
par conséquent, il en est de même des surfaces S' correspondant à tout 
instant ultérieur, moyennant l'hypothèse, adoptée en ce moment, de la 
constance des coefficients a n 

308. — Lorsque cette hypothèse est vérifiée, on donne le nom de 
sur/ace des ondes à la surface E qui correspond à t' — t = \. Comme 
le conoïde caraclérislique est ici l'enveloppe des ondes planes, la surface 
des ondes peut être considérée comme l'enveloppe d'un plan S' tel que sa 
distance au plan parallèle S menée par soit égale à la vitesse de propa- 
gation d'une discontinuité qui aurait lieu suivant S . 

Lorsque, au contraire, les coefficients des dérivées de l'ordre le plus 
élevé ne sont plus constants, on définit la surface des ondes relative à un 
point déterminé quelconque 0, en donnant partout à ces coefficients les 
valeurs qu'ils ont en : ceci revient à substituer au conoïde caractéristique 
le cône T qui lui est tangent. La construction que nous venons d'indiquer 
en dernier lieu reste d'ailleurs valable. 

L'équation de la surface ainsi engendrée est formée dans tous les traités 
de physique pour le cas des milieux gazeux, celui des milieux élastiques 
isotropes et celui des vibrations lumineuses en milieu cristallisé. Dans les 
deux premiers cas, cette surface se réduit à une sphère ; dans lé dernier 
(qui n'est autre que celui des milieux élastiques satisfaisant aux hypo- 
thèses particulières des n os 274-276), elle est du quatrième degré (sur- 
face des ondes de Fresnel). 

309. — La définition que nous venons de donner de la surface des 
ondes va nous permettre de constater que les bicaractérisliques, telles que 
nous les avons introduites dans ce qui précède, ne sont autre chose que les 
rayons tels qu'on les considère en physique. 

La direction d'un rayon est en effet, définie comme étant celle de la 
droite qui joint le point au point de contact de la surface des ondes rela- 
tive à ce point avec l'onde considérée. Or, celle-ci est représentée dans 
notre espace à quatre dimensions, par la multiplicité S (ftg- *9), laquelle 
est tangente au conoïde caractéristique C suivant la bicaractéristique 00'. 

Supposons, pour simplifier, les coefficients des dérivées d'ordre le plus 
élevé constants : alors la surface S (fig. 19) sera hornolhétique, par rap- 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



293 



port au point 0, à la surface des ondes et la bicaractéristi Tue 00', laquelle 
6era alors une ligne droite, aura bien la direction du rayon, telle que nous 
l'avons indiquée il y a un instant. 

Ce que nous venons de dire subsiste d'ailleurs lorsque les coefficients ne 
sont plus constants ; il faut seulement prendre pour t' un instant infini- 
ment voisin de t 9 . L'identité des bicaractéristiques et des rayons est donc 
établie. 

310. — Les considérations précédentes ne permettent pas, sous leur 
forme actuelle, de rendre comple de toutes les propriétés physiques des 
rayons ( 1 ). Elles montrent cependant, d'ores et déjà, ces lignes comme 
jouant un rôle essentiel dans la propagation du mouvement. C'est ce que 
met encore en évidence la proposition suivante. 

Soient donnés un premier mouvement satisfaisant aux équations, et une 
onde § [fiçj. 19), se propageant dans ce mouvement : onde que nous con- 
sidérerons encore comme déterminée par sa position S à un certain ins- 
tant t . Soit t' l'instant ultérieur où cette onde atteint un point déter- 
miné 0'. Le nouveau mouvement en ce point dépendra exclusivement du 
nouveau mouvement qu'a pris, à Vinstant £ , le pointO(fig. 19) situé sur 
la même bicaractêris tique que 0'. 

C'est ce qui résuite, en effet, des calculs faits aux n os 293 et suivants. 
Ces derniers montrent que, connaissant la multiplicité S et l es éléments 
de la discontinuité au seul point 0, ces mêmes éléments seront déterminés 
en tous les points de la bicaractéristique issue de 0. 

Si, en particulier, la discontinuité n'existe à l'instant t que sur une 
petite portion de la surface d'onde, elle n'existera, à l'instant t', que sur 
une petite portion de la surface S' , à savoir, celle qui est délimitée par les 
mêmes bicaractéristiques que la première. 

31 1. — » Les résultats que nous venons d'annoncer subsistent dans l'un 
et l'autre des deux cas traités précédemment, savoir que le déterminant ait 
ou non un mineur différent de 0. Mais, il ne faut pas l'oublier, nous avons 
supposé, dans le second cas, que la caractéristique considérée partageait 
avec toutes les caractéristiques infiniment voisines, la propriété d'annuler 
tous les mineurs de H. Nos raisonnements seraient en défaut si les carac- 
téristiques qui possèdent cette propriété étaient particulières, c'est-à-dire si, 



(0 Voir, plus loin, n°s 3SO-S51. 



294 CHAPITRE VII 

en un point quelconque, les génératrices du cône V correspondant à ces 
caractéristiques dépendaient de moins de paramètres que les autres. Dans 
ce cas, rien ne pemetlrait plus d'affirmer l'existence des bicaractérisliques. 
Dételles caractéristiques singulières mériteraient sans doute d'être étudiées 
au point de vue analytique ; elles sont bien connues en optique : c'est à 
elles que correspond le phénomène de la réfraction conigne. Contrairement 
à ce qui a lieu, en général, pour les caractéristiques multiples (*), elles ne 
donnent pas lieu à des singularités des solutions (Voir plus loin, n° 327). 

312. — La construction indiquée au n° 304, permet encore de déter- 
miner l'onde dans des circonstances un peu plus compliquées que celles 
dans lesquelles nous nous étions placés en cet endroit. 

Considérous, par exemple, la rencontre de deux ondes, c'est-à-dire le 
cas où deux surfaces de discontinuité S, S' primitivement tout à fait séparées 
l'une de l'autre et se propageant dans un milieu gazeux que nous suppo- 
serons, pour simplifier, indéfini viennent à se couper. Cette intersection 
aura lieu suivant une courbe l évidemment variable avec t. En employant 
encore le langage de la géométrie à quatre dimensions et représentant les 
yl surfaces d'onde par leurs po- 

,( ! s\ ,-? sitions S , S' , sur l'état ini- 

\ 4 i „y. '• ''' ! tial, on peut dire que les 

( _>-"' \ /g?q" multiplicités S , %\ engen- 

\ / drées par les surfaces S n , S' n 

\ & o \ / lorsque t varie, se coupent 

suivant une multiplicité 




deux fois étendue A, dont 
les sections par t = const. 
sont les positions successives 
de la courbe l. Il est aisé de 
se représenter, comme nous 
l'avons fait précédemment, 
le phénomène analogue dans 
le cas où il n'y a que deux 
coordonnées œ, y et où les 
multiplicités § , §' sont des 
Fig* 21 surfaces tracées dans un 

espace à trois dimensions (jig. 21). A serait alors une courbe tracée dans 

cet espace. 

(!) Voir, par exemple, la note de la page 306). 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 295 

Pendant le temps où S , S' seront sécantes et suivant les positions suc- 
cessives de la courbe l, naîtront évidemment deux nouvelles ondes, les- 
quelles ne seront en quelque sorte que la continuation des deux premières. 
Il est clair que les nouvelles multiplicités caractéristiques §ô, §y (flg. 21) 
qui représenteront la marche de ces ondes seront déterminées par la con- 
dition de contenir la multiplicité A et qu'elles s'obtiendront, par consé- 
quent, comme enveloppes des conoïdes caractéristiques ayant pour sommets 
les différents points de A, absolument comme nous l'avions expliqué lorsque 
A correspondait à t = const. et se réduisait à une surface S . 

Des considérations toutes semblables s'appliquent à la rencontre d'une 
onde avec une paroi fixe ou mobile. Cette dernière, par l'ensemble de ses 
positions pour les différentes valeurs de t y formera une hypersurfaee, 
laquelle coupera l'onde suivant une multiplicité A de même nature 
que celle que nous avons tout à l'heure désignée par cette notation. 
Il restera à faire passer par A une seconde caractéristique (onde réfléchie), 
ce qui se fera par la même construction que précédemment. 

Dans ce cas comme dans le précédent, la multiplicité A est, par la ma- 
nière même dont elle est obtenue, extérieure au cône caractéristique ayant 
pour sommet l'un quelconque de ses points, de sorte que (comparer 
n° 305), les nouvelles ondes obtenues seront réelles. 

313. — Le cas de la réfraction correspond, analytiquement parlant, à 
celui où l'espace E 4 serait divisé en deux régions où les équations du pro- 
blème auraient des formes différentes. Une onde se propageant dans l'une 
de ces deux régions rencontrerait alors leur frontière commune suivant 
une multiplicité A, par laquelle il resterait à taire passer une caractéris- 
tique des équations relatives à la seconde région. Ici, toutefois, celte 
nouvelle caractéristique (onde réfractée) peut être imaginaire même lorsque 
la première est réelle. 

Il est clair que la construction d'Huyghens n'est qu'une application de 
cette manière d'opérer. 

31 4* — Enfin, il arrive souvent qu'une onde se rencontre elle-même : 
autrement dit, qu'une surface d'onde primitivement dépourvue de singu- 
larités acquière, au cours de sa propagation, des lignes doubles (*). Cette 



(!) C'est ainsi que les courbes parallèles à une courbe C, ont, en général, des 
points doubles (même si C en est dépourvue), lorsque la distance devient suffisamment 
grande et est reportée vers la concavité de C. 



296 CHAPITRE VU 



ili 
I» 

4:1 

lin 



circonstance ne doit pas, bien enlendu, être confondue avec le phénomène 
de Riemann et Hugoniot, étudié au chapitre IV : elle ne (rouble pas, en 
général, la régularité du mouvement. 



§ 2. — THÉORÈMES D'EXISTENCE 



31o. — Nous avons, dans ce qui précède, constaté que, sur une carac- 
téristique, le calcul des dérivées de chaque ordre conduit à une indétermi- 
nation. Il ne résulte pas de là, qu'il existe une infinité d'intégrales résol- 
vant le problème de Cauchy donné, ni même qu'il en existe une seule. 

Pour le cas d'une équation du second ordre analytique à deux variables 
indépendantes, ce fait a été établi par M. Goursat (*), comme conséquence 
du théorème suivant : 

Etant données une équation aux dérivées partielles analytique à deux 
variables indépendantes, et, d'autre part, deux lignes concourantes 
analytiques dont chacune soit tangente à l'une des caractéristiques issues 
de leur point de concours, l'équation admet une intégrale analytique (et 
une seule) prenant respectivement sur les deux courbes données des 
valeurs analytiques données. 

De ce théorème résulte aisément l'existence d'une infinité d'intégrales 



analytiques résolvant le problème de Cauchy pour une caractéristique. 

316. — Le théorème de M. Goursat a été généralisé par Beudon, loc. 
cit., à l'équation à un nombre quelconque de variables traitée aux 
n os 2T8 et suiv. 

Nous allons démontrer le résultat de Beudon en adoptant des hypothèses 
un peu plus générales. Déjà, en effet, dans le cas de deux variables, il 
n'est pas nécessaire que les deux lignes le long desquelles z est donné 
soient des caractéristiques. Il suffit, comme l'ont montré M. Picard ( 2 ) 
pour les équations linéaires analytiques ou non, puis M. Goursat ( 3 ) en 
supposant les équations analytiques, mais non nécessairement linéaires, que 
cette propriété appartienne à une seule des lignes en question. C'est un 



(!) Leçons sur les équations aux dérivées partielles du second ordre, tome I 
p. 184-193. 
('*) in Dakboux, Leçons sur la Théorie générale des surfaces, tome IV, note 1. 
( 3 ) Equations aux dérivées partielles du second ordre, tome II, pages 303-308. 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 297 

problème de cette espèce qui s'est présenté au n° 180 dans l'étude du 
mouvement rectiligne d'un gaz. 

Nous étendrons d'une manière analogue le théorème de Beudon, en 
considérant deux multiplicités à n — 1 dimensions non tangentes entre 
elles et dont la première sera, en un point que nous prendrons pour ori- 
gine des coordonnées, tangente à une caractéristique. Cette propriété sub- 
sistera d'ailleurs (comparer n° 162), après un changement de variables 
indépendantes, moyennant lequel nous pourrons supposer que nos deux 
hypersurfaces aient pour équations œ n = 0, œ n ~ i = 0. 

Sur chacune d'elles, nous supposerons donnée la série des valeurs de z, 
soit 

(41) \ zz=z *t( œ " x v —f»n-i) poura: n = 

l Z = X(#i' #8' •••» #11-2! œ n) POUr Xn-i = 0. 

Bien entendu, ces valeurs devront coïncider sur la multiplicité (à n — 2 
dimensions) commune aux deux premières : nous pourrons écrire 

(42) ^fo ,a> 2 ,...,a>„_ 2 , 0) =.%(x i9 x v son-» 0) = w(ar 1 ,a? l <r«_ 2 ). 

L'équation aux dérivées partielles étant 

= 0, 

la condition que x n =0 soit tangent à une caractéristique s'exprimera 
(n° 288), par la condition 

tyrin f 

Par contre, nous supposerons l'équation résoluble par rapport hp nn -i. 
La condition = 0, revient à admettre que la multiplicité M n _ 2 définie 

"Pn n - i 

par les équations x n = x n ^i = 0, n'est pas tangente à une bicaractéris- 
lique. Si le cas contraire se produisait, les valeurs données ty, % devraient 
vérifier tle nouvellejcondilionjde possibilité. Nous avons vu, en effet, que 
la dérivée dejo n suivant une bicaractéristique peut se calculer en fonction 
des z, Xi, pi : il faudrait que la valeur ainsi obtenue à l'origine fût égale à 
celle que l'on connaît directement puisque p n est donné (à savoir, égal 

à --J-) sur la multiplicité M„_ 2 . On aurait de même une autre condition 

de possibilité en considérant la dérivée de p nn , et ainsi de suite pour chaque 
ordre de dérivation. 



298 CHAPITRE Vil 

31*7. — Soit donc l'équation du second ordre, résolue par rapport 

3 Pn n - i ' 

(43) Pnn-i = F(®i» # 2 , ••• #n, *, pj ...,Pn, p ;i , ••.>J9rii) 

et supposons que la fonction F soit analytique et holomorphe par rapport 
aux variables dont elle dépend (*), dans un domaine comprenant les valeurs 

bF 

que ces variables prennent à l'origine, la quantité étant nulle en ce 

bpnn 

dernier point. 

Nous allons démontrer que si les fonctions ^ et ^ sont également ana- 
lytiques et holomorphes autour de l'origine, le problème posé admettra 
une solution holomorphe, et une seule. 

Nous pourrons, quand nous le voudrons, simplifier la question en rame- 
nant 4> et £ à être nuls. Il suffira, à cet effet, d'introduire, au lieu de z, la 
nouvelle inconnue 

;!i Z f — Z — <\> — 7 ~r '•» 

il 

(to (ajj , oîj. ..., a? n - 2 ) étant définie par l'équation (42)). Nous pourrons 
également, en retranchant de z le terme ax n x n ~ i, où a est une constante 
convenable (ce qui diminue jo nn -i de cette constante) nous arranger pour 
que F soit nul à l'origine. Dans ces conditions, la fonction F sera repré- 
sentée par un développement convergent ordonné suivant les puissances 
de z, des a: u des pi et des ppt à l'exception de Pnn-u développement qui 
manquera de terme constant et de terme en p nn seul. 

318. — Que cette transformation ait été effectuée ou non, les données 
du problème font connaître les valeurs à l'origine de toutes les dérivées 
de z. 

Tout d'abord, lorsqu'il n'y a pas, à la fois au moins une différenciation 
par rapport à x n , et au moins une différenciation par rapport à a? n - i» ces 
valeurs résultent de la différenciation des équations de condition (41) : 
elles sont nulles si Ton prend <|* = x, = 0. 



(') Le théorème que nous avons en vue a été, comme nous l'avons dit, établi par 
M. Picard, indépendamment de l'hypothèse d'analyticité, pour le cas de deux varia- 
bles. Dans le cas où n est plus grand que 2, l'extension aux données non analyti- 
ques — ou plutôt, la question de savoir comment cette extension est possible — 
Présente des difficultés nouvelles, qui n'ont pas été surmontées jusqu'à présent. 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 299 

Convenons d'autre part, de dire qu'une dérivée partielle de z est anté- 
rieure à une autre : 

1° Si elle est d'un ordre total moindre ; 

2° Si, étant du même ordre, elle comprend moins de dérivations par rap- 
port à x n ; 

3° Si, étant du même ordre et comprenant autant de dérivations par 
rapport à #,ï, elle comprend moins de dérivations par rapport à œ n — t . 

Soit maintenant p nn .-i j/*.... .(où les indices i, j, k... ont des valeurs 
tout à fait quelconques entre 1 et n) une dérivée dans laquelle on a diffé- 
rencié à la fois par rapport à x n et à œ n .. t . Nous calculerons la valeur de 

celte quantité en appliquant l'opération — aux deux membres 

de l'équation (43). Toutes les dérivées qui figureront au second membre 
seront évidemment antérieures à celle que nous cherchons, à la seule 
exception de pnnijk Mais celte dernière s'éliminera à l'origine : car 

elle a pour coefficient , quantité dont la valeur initiale est nulle. 

Le second membre de l'équation obtenue ne comprendra dès lors que 
des quantités déjà connues si nous avons pris soin, ce qui est évidemment 
possible, de ne jamais passer au calcul d'une dérivée sans avoir effectué 
celui des dérivées antérieures. 

Cette première conclusion est donc démontrée. 11 suit de 1» que si le 
problème admet une solution holomorphe, celte solution est unique. 

De plus, nous remarquerons : 

\° Que toutes les équations résultant de la différenciation- de (43) sont 
ainsi utilisées, de sorte que toutes ces équations sont vérifiées à l'origine 
par le système des valeurs des pi ,-&... ainsi calculé; 

2° Que ce calcul ne comporte que des additions et des multiplica- 
tions. 

En vertu de celte dernière remarque, nous pourrons appliquer la mé- 
thode des fonctions majorantes. Nous remplacerons les développements 
donnés de F, ty, ^ par d'autres respectivement majorants des premiers ; et, 
si le problème ainsi modifié a une solution holomorphe, nous pourrons en 

conclure que les valeurs des pijk correspondant au problème donné 

fournissent, elles aussi, un développement de Taylor convergent (lequel 
satisfera nécessairement à l'équation proposée, d'après la première des deux 
remarques qui viennent d'être faites). 

En ce qui concerne les fonctions 4 1 et % données, nous pouvons les sup- 
poser nulles, comme il a été expliqué tout à l'heure. Dans ces conditions, 



300 CHAPITRE VII 

chacune d'elles admellra pour majorante loute fonction représentée par un 
développement à coefficients tous positifs. 

Quant à la fonction F, puisqu'elle manque de terme constant et de 
terme en p nn , elle admettra, d'après une remarque bien connue, une majo- 
rante de la forme 

M 



1 - 



x t -+- x 2 , ... H- œ n -\r % 4- ^ P* + 2u P ik 
i = 1 



-M(l + *p). 



la somme S' se rapportant à toutes les dérivées secondes à l'exception 

de ?)„„_!. 

Beudon, admettant que x n -i ■= était une caractéristique, supprimait 

encore, dans cette expression le terme en p n -i n ._i seul. En raison de la 

présence de ce terme, nous devrons, ici, employer l'artifice indiqué par 

M. Goursat, et qui consiste à remarquer que la fonction F est a fortiori 

l I m x . 

majorée si nous remplaçons, au dénominateur, x n par A où X désigne un 

nombre positif quelconque plus petit que 1. Nous sommes ainsi conduits à 
l'équation 



M 

Pnn-l = —t 



Xi -h ... X ll _ l + ~ -+- S -+- ^ Pi + 2 Pik 



(44) { l r 



-Al(i-^) 



et le théorème sera démontré si nous obtenons, pour cette équation, une 
solution nulle à l'origine ainsi que ses dérivées premières et secondes, et 
se réduisant, tant pour x n = que pour a?„_i = 0, à des fonctions dont 
les développements soient à coefficients tous positifs. 

Nous chercherons une telle solution en prenant z fonction des deux 
variables 

(45) X = x i -h x 2 -h ... -4- x n „ 2 , Y == Xa?„_ , + x n : 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 301 



l'équation (44) deviendra 



M 



«k u * Ml I i l Ô Z \ 



-ID 



+ ( 1+ X)(„-2)^ + («+X>)^] 



où G est le coefficient numérique G = * kr -.. 

Le second membre comprend un terme en -^, le terme ~ ^.rûi- Nous 

déterminerons X de manière que ce terme ait un coeificient plus petit que 
celui du premier membre, soit 

(46) X<\. 

Ï) 2 Z 

Nous pourrons alors faire passer le terme en -» du second membre dans 
le premier et l'équation obtenue sera de la forme 



(«) *(«-¥)&-';<V.*.ar'Sr 



o*g o 8 * tfz 
bX*' bXôY' ôY 2 



où F, est holomorphe par rapport aux variables dont il dépend autour des 
valeurs nulles de ces variables, son développement étant à coefficients tous 

i)^Z 

positifs et manquant de terme en -^s seu ^ 

Le théorème de Cauchy-Kowalewsky nous apprend que cette équation 
admet une intégrale holomorphe nulle, ainsi que sa dérivée par rapport à Y, 
pour Y = 0. Si l'on substitue pour X et Y leurs valeurs (45), on aura une 
solution holomorphe de l'équation (44). Celle solution et, par conséquent, 
les fondions auxquelles elle se réduit pour œ n = 0, x n -\ = on t d'ailleurs 
comme le montre le calcul même qui les donne à l'aide de l'équation (47) (* ) , 



(*) Pour effectuer ce calcul, |il est inutile de résoudre l'équation (47) par 
rapport à gyj, grâce à cette circonstance que, au second membre, le coefficient de 
rya est nul à l'origine. 



IIP 
'lit 



";!' 



302 CHAPITRE VIT 

des développements à coefficients tous positifs, leurs valeurs initiales ainsi, 
que celles de leurs dérivées premières et secondes étant nulles. 
Donc, le théorème est démontré. 

319. — De la proposition précédente, on déduit aisément celle que nous 
avions en vue, à savoir l'existence d'une inûnité de solutions holomorphes 
pour le problème de Cauchy dans le cas d'une caractéristique. 

Supposons encore que la multiplicité caractéristique ait pour équation 
x n — 0. Nous pourrons, en outre, supposer que les valeurs données de z 
sur cette multiplicité soient nulles, ainsi que celles de p n et celles qu'on en 
déduit pour p nn . Il est clair, en effet, qu'on ramènera le cas contraire à 
celui-là par un changement d'inconnue de la forme 

(48) z = z' -+- A H- Bx n ■+■ Cxi 



(A, B, G étant des fonctions de x i% a? 2 , ..., # n -i)- Dans ces conditions, 
l'équation (43) devra être vérifiée, quels que soient a? 4 , # 2 , ..., «?„_, pour 
oc n et z nuls avec les p t et les p ik . 

Mais, de plus, la multiplicité donnée doit être une caractéristique, et non 
plus seulement tangente à une caractéristique à l'origine, c'est-à-dire qu'on 

doit avoir, dans les mêmes conditions, d'une part — >— = 0, d'autre part 

l'équation (16 bis ) (n° 288), laquelle se réduit ici à — = 0. 

ox n 

Ceci revient à dire que tout terme du développement de F renferme en 
facteur l'une au moins des quantités 

z, Pi(i= 1, 2, ...., n) 
p ik {i,k = 1, 2, ...., n — 1) 

Pnk '(k' = \,2,....,n-2) 

Donnons-nous alors arbitrairement les fonctions holomorphes cp 3 , © 4 , .... 

de œ n X£ , a? n _ 2 et considérons la solution holomorphe de l'équation 

(43) qui, pour x n = se réduit à et, pour x n -i = 0, à 

(49) ? 3 ^» + ?**£ + .... 

solution dont l'existence vient d'être établie. Il est aisé de constater que, 
quelles que soient les fonctions <j> 3 , o 4 , ...., celte solution répond à notre 
problème de Cauchy, c'est-à-dire que, outre ses valeurs, celles de sa déri- 
vée p n et de sa dérivée p nn sont nulles avec œ n . Il suffit à cet effet (puis- 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 303 

qu'il s'agit de fonctions holomorphes) de s'assurer que, pour celte intégrale z, 
toutes les dérivées contenant une ou deux dérivations par rapporta x n sont 
nulles à l'origine. Or c'est ce que l'on vérifie sans difficulté en reprenant, 
dans les hypothèses actuelles, les calculs du n° précédent par lesquels on 
obtient ces dérivées. 

Le théorème est donc démontré. 

319 bis . — L'expression (49) représente la valeur la plus générale que 
puisse prendre, sur la multiplicité x H -. t = 0, une fonction holomorphe z 
qui soit nulle, ainsi que ses deux premières dérivées par rapport à x n , 
pour x n == 0. 

Repassons maintenant des calculs tels que nous venons de les faire à ceux 
qui leur correspondent lorsqu'on n'effectue pas la transformation (48). 
Alors les valeurs, pour x n = 0, de z et de ses dérivées des deux premiers 
ordies ne sont plus nulles, mais elles devront encore vérifier : 1° l'équation 

(43) ; 2° la condition - — qui exprime que x n = est une caractéristique ; 

opn n 

3° la condition (16 bis ), nécessaire pour l'existence des dérivées troisièmes. Et 
inversement, ces conditions sont les seules que nous ayons postulées dans 
le raisonnement du n° précédent. 

Celui-ci montre, par conséquent, qu'une distribution (sur la multipli- 
cité x n = 0) des valeurs de p n , p nn satisfaisant aux trois conditions 
en question (où Von donne à z les valeurs ty(fv lt x 2 , ..., x n _ i )) i sera celle 
même qui correspond à la solution du problème traité aux n os 316- 
318, si elle coïncide, en tout point de V intersection des deux multi- 
plicités x n = 0, x n __ l = 0, avec celle qu'on déduit de la deuxième co?i- 
dition (41). 

Lorsque l'équation est linéaire par rapport aux p^ on peut énoncer la 
même propriété pour une distribution de valeurs de p n qui satisfait ait 
même système de conditions à Vexception de (16 bis ), celle-ci étant rem- 
placée par V équation (13) (n° 282). Car, en déterminant p nn par l'équa- 
tion (16) jointe à la condition de coïncider, sur l'intersection des deux 



l'énoncé précédent. 



multiplicités, avec les valeurs correspondantes de — - , on est ramené à 



320. — La proposition établie au n° 318 n'est pas seulement utile à 
la démonstration du théorème du n° 319. Elle est, en elle même, suscep- 
tible d'applications dynamiques. Le problème qu'elle résout est, en parli- 



304 CHAPITRE VII 

culier, celui auquel on est conduit en étudiant, comme au n° 31£, le 
phénomène de la rencontre des ondes. 

Avant cette rencontre, le fluide est divisé en trois régions animées de 
mouvements distincts : nous désignerons par l'indice 1 celui que propage 
l'onde S , par l'indice 2 celui que propage l'onde S' , par l'indice 3 le mou- 
vement intermédiaire. 

Supposons : 

1° que ces mouvements soient tous trois dépourvus de rotation ; 

2° qu'ils soient analytiques ainsi que les multiplicités § , S' . H en sera 
alors de même pour la multiplicité A et aussi pour les ondes S '\ So"' <I u i 
prennent naissance, ainsi que nous l'avons vu, à la rencontre des premières 
et se propagent respectivement, à partir de A, dans les mouvements 1 et 2. 

Cela posé, nous allons montrer l'existence d'un quatrième mouvement 
analytique, satisfaisant aux. équations de l'hydrodynamique et se raccor- 
dant avec 1 et 2 suivant les caractéristiques S "> So'"- C'est précisément par 
ces conditions qu'est déterminé le nouveau mouvement intermédiaire qui 
prend naissance entre les deux ondes correspondantes. 

Il suffira de calculer le potentiel des vitesses * du mouvement cherché : 

* devra d'abord vérifier l'équation (23'). 

D'autre part, toutes ses dérivées premières devront être, sur S " et S '" les 
mêmes que celles qui correspondent aux mouvements 1 et 2 respective- 
ment, puis jue (les discontinuités étant supposées du second ordre au 
moins) vitesses et pressions restent continues. 

IOr nous savons qu'il existe une fonction holomorphe * qui vérifie l'équa- 
« tion(23')et prend, sur S " les mêmes valeurs que le potentiel des vitesses 

du mouvement 1 ; sur S '" les mêmes valeurs que le potentiel des vitesses 
du mouvement 2. 

Le potentiel des vitesses du nouveau mouvement intermédiaire étant 
ainsi choisi, il y aura continuité (au passage de S " et de S/'), non seule- 
ment des valeurs de ce potentiel, mais aussi de celles de ses dérivées, 
comme les conditions de notre problème l'exigent. 

En effet, les dérivées en question, déduites du mouvement 1, forment 
sur la multiplicité § " une distribution caractéristique. Comme, d'autre 
part, l'équation (23') est linéaire par rapport aux dérivées secondes, la 
continuité annoncée aura lieu dans toute l'étendue de § " (en vertu du 
n° 319 bis ) si elle existe en tous les points de A. 

Or, en ces points, elle résulte de ce que les dérivées de * peuvent se cal- 
culer à l'aide des valeurs de celte fonction sur § pour Je mouvement 1, 
et sur §„'" pour le mouvement cherché, valeurs que l'on peut considérer 



LA THÉORIE GÉNÉRALE DES CARACTERISTIQUES 305 

commes données par les mouvements 3 et 2 respectivement ; et que d'autre 
part, il y a, nous le supposons, continuité des dérivées premières entre les 
trois mouvements primitifs. (Comparer la note de la page 174). 

Le mouvement déduit du potentiel des vitesses calculé comme nous 
venons de le dire satisfera donc bien à toutes les conditions du problème. 

321. — Nous nous proposerons, maintenant, de généraliser la propo- 
sition des n os 316-318 aux systèmes à plusieurs inconnues. Soit donc 
un tel système aux inconnues Ç, •*),£. Considérons encore deux multiplicités 
sécantes dont nous pourrons toujours prendre les équations sous la forme 
x n — 0, x n - i = 0, la première étant tangente à une caractéristique, qui 
ne soit pas multiple (n° 284) la seconde quelconque sous la seule condi- 
tion qua leur intersection ne soit pas tangente à une bicaracléristique. 

Nous supposons que le système donné est analytique et régulier et reste 
tel après le changement de variables que nous avons opéré pour donner 
aux équations de nos deux multiplicités la forme précédente. Dans ces 
conditions, si nous cherchons des valeurs de £, r,, Ç qui s'annulent à l'ori- 
gine ainsi que leurs dérivées premières et secondes, nous devrons admettre 
que les premiers membres des équations sont développables suivant les 
puissances croissantes de x it x 2 , ..., x n , £, tq, Ç, pi, q i} r i} J0#, q-^ r ik . De 
plus, si les termes enp nn , q )in , r nn de ces développements sont 



(50) 



et si l'on tient compte de ce qui a été dit au n° 301, les coefficients 
A, B, C, A', B', C, A", B", C" ne seront autres que les valeurs initiales des 
quantités que nous avons désignées sous ce nom au n° 291. Le détermi- 
nant H, égal, à l'origine, à 

ABC 

A' B' C 
A" B" C" 

devra être nul, puisque œ n = est tangente à une caractéristique : autre- 
ment dit, nous pourrons former une combinaison linéaire de nos trois 
équations telle que les termes de la forme (50) y disparaissent entière- 
ment : combinaison qui pourra remplacer l'une des équations données, la 
troisième par exemple. 



kp nn 


-h 


B^nn 


4- 


Cr nn , 


A-'pnh 


■+■ 


Wqnn 


+ 


CV„„, 


A" P nn 


+ 


B'qnn 


-h 


C r nn , 



306 CHAPITRE VII 

-.TT 

Admettons donc que l'on a A" = B" == C" = 0. Les dérivées -^ se ré- 
duisent à 



w S 



ABC 

A' B' a 
ai bi a 



en désignant par a i} b u c*, les coefficients de pi n , qi n , ri n dans la troisième 
équation. 11 résulte de là : 

1° Que les déterminants (51) ne sont pas tous nuls, puisque notre carac- 
téristique est simple ( d ) ; 

2° Qu'en particulier, celui qui correspond h i = n — 1 est différent de 
Ijiji zéro, .puisque l'intersection de nos deux multiplicités n'est pas tangente à 

une bicaractéristique. 

322. — Nous pourrons, dans ces conditions, opérer un changement 
d'inconnues tel que deux d'entre elles soient remplacées par les quantités 



m 

'!! 

lui 
il 

(53) }*e + «V+.eCi 

! 



{52) ?,,=A'« +■»,+(? 

ou, plus généralement, par les quantités 



où Jb, ÈB, C, &', $>', & sont des fonctions holomorphes quelconques se 
réduisant, à l'origine, à A, B, C, A', B', C. 
Quant à la troisième inconnue, ce sera une fonction quelconque 

Si = *t (Êi 1, K, %i* ®h •••> Mn) 



(») S'il n'en était pas ainsi, les résultats auxquels on arriverait seraient de nature 
fort différente, comme le montre immédiatement l'exemple du système 

5^2 = g࣠«K#i» *2. •••> X *> \> f\, ?» P.', 9'.'. *";) + M » 

aar,^^ - 5S^ + (a?1 ' * 2 ' -' ^ n ' *.» * Ç ' ** 2 " r,) + N ' 
(où M et N sont des ionctions données des x) : système qui est impossible si l'on 

■ p^js..». 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 

telle que l'on ait à l'origine, 



307 



(54) 





ABC 


D (fi. 11.. Ci) 


A' B' C 


d 8,11,0 - 


ï>ty <>4> ô^ 

ôf ôrj ôt 



*o. 



(55) 



Comme on a 

y§ = Ap„ „ 4- B?„ „ + Cr„ „ , ^é = A'p„ „ -4- B'?„> 



ôa?' 



fctf 



CV„ n , 



ÎW?2 ô£ 






l'égalité (54) exprime que la troisième des dérivées (55) ne s'exprime pas 
à l'aide des deux premières et, par conséquent, que les équations données 
n'en fournissent pas l'expression à l'aide de dérivées contenant moins de 
deux différentiations par rapport à x n . 

323. — Supposons ce changement d'inconnues déjà effectué. Alors les 
coefficients A, B', seront égaux à un, pendant que B, A', C, G seront nuls : 
par conséquent, le déterminant fonctionnel des premiers membres de nos 



équations par rapport à p nn , q n n, ^nn-i sera initialement égal à -p- 

orY 

c'est-à-dire différent de zéro. On pourra donc résoudre ces équations par 
rapport à p n n, qnn,.^nn- i et les écrire sous la forme 

( P«n = F (x it ï, 7), Ç, p u q u r u pik, que, r ik ) 

(56) \ qnn = * {ocu S, t), K, pu qu r^pik, que, r«) 

( r nn . t = W(x it £, i), ï, pi, q i} n,pi k , qik, r ik ) 

où les seconds membres ne contiennent pas p nn , qnn, ^nn—i, et où l'on a, 
à l'origine, 

5F 5$ _ W 

î>r„ n àr nn &rnn 



(57) 



0. 



Nous allons montrer que, pour déterminer une solution d'un tel sytème, 
ou peut se donner : 

1° Pour les inconnues $ et rj, les conditions de Cauchy, à savoir, les 
valeurs de ces quantités et de leurs dérivées premières pour x n = ; 

2° Pour l'inconnue Ç, au contraire, les conditions analogues à celles du 
n° 316, à savoir, les valeurs de cette inconnue elle-même sur x n = et 



308 CHAPITRE VII 

sur œn-i = (valeurs qui devront concorder, bien entendu, lorsque x n et 
oc-n-i seront nuls à la fois). 

Ces différentes données seront encore supposées analytiques. 

Elles nous feront évidemment connaître à l'origine, parmi les dérivées 
de Ç, toutes celles où il n'y a pas différenciation à la fois par rapport 
à x n et par rapport à x n -i et, parmi les dérivées de \, t\ y toutes celles où il 
y aura, au plus, une différenciation par rapport à x n - 

Pour calculer les dérivées restantes, nous les classerons encore par ordre 
d'antériorité. La définition adoptée pour les dérivées antérieures les unes 
aux autres sera la même que précédemment (n° 318) avec cette conven- 
tion additionnelle que, de deux dérivées du même ordre comprenant le 
même nombre de différentiations par rapport à x n et par rapport à x n . it 
une dérivée de £ ou de t\ sera considérée comme antérieure à une dérivée 
deC 

Le calcul se fera alors sans difficulté par une méthode toute semblable à 
celle du n° 318. 11 utilisera toutes les relations qui résultent de la diffé- 
rentiation des équations données. 

Pour démontrer la convergence des développements ainsi obtenus, on 

ôÊ 
supposera encore que toutes les données initiales (valeurs de£, de ri, de -— 

et de — pour x n = 0, valeurs de Ç pour x n — et pour x n _ i = 0) soient 

oXn 

nulles : résultat qu'on peut toujours obtenir par un changement d'in- 
connues. 

Comme, ici encore, les opérations qui ont servi à obtenir les dérivées 
successives à l'origine se composent exclusivement d'additions et de mul- 
tiplications, nous pourrons remplacer les différentes données du problème 
par des majorantes. Aux données initiales nulles nous pourrons en subs- 
tituer d'autres représentées par des développements à coefficients positifs 
choisis entièrement à notre volonté, ceux des termes constants ainsi que 
des termes du premier et du second ordre étant toutefois nuls. 

Quant à F, 4>. *", leurs majorantes seront de la forme 

«i. - ^^-^-^ — ' — i — i. h ' i — — — — ■ . . i ■ !,. ,, y 

1 — £ ["_£#« 4- S -h *i H- Ç 4- 2(p»-h q% 4- ri) 4- _>] (p ik 4- qîk 4- r ik )\ 

(la somme désignée par le signe S' se rapportant à toutes les dérivées 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 309 

secondes à l'exception de p ntlt q nn , r n n-i) ou, en remplaçant encore œ H 
par T , 

M 

H — 

- m ( 1 +t) 

Si nous cherchons des solutions dépendant des deux quantités 
X = œ i 4- #2 -h ... -h x n -2, Y = Xa?„ _ ! -|- ^„, 
ces solutions seront déterminées par les équations 

ô 21 — ^ — i d _!? 

ôY 2 "" i)Y a ôY 2 

_ M 

i * Lri-4-X^ (a+ - 71 - + -^ i (n-l)(n--2)b'(S + ^ + !:) ( 

1 ~" R V { " 4 ~ j - ôY h 2 ôX 2 r 



M 






lesquelles seront vérifiées (en posant encore C = - } ^j 



par 



6 : ==ii = ÀÇ, 



Xô 2 ^ 
ôY 2 



=-»( i+ ia 



M 



([ X +£ + (»+l)[ç + (»-2)£ + (t+X)*r | 

R ) ^S + ^-^'+^y] +(X=(2X+3) + l)^] j. 
Or, dans cette dernière équation, si X satisfait à l'inégalité 
M2\ + 3)<5, 



310 CHAPITRE VII 

le terme en -y? aura un coefficient moindre dans le second membre que 

dans le premier, où nous pourrons le faire entièrement passer. 

Dès lors, le raisonnement devient absolument identique à ce qu'il était 
dans le cas d'une seule équation et l'existence d'une solution holomorphe 
à coefficients positifs est établie. 

324. — On déduira de là l'existence d'une infinité de solutions pour 
le problème de Gauchy, lorsque la multiplicité œ n = est une 
caractéristique. Pour tenir compte de ce que cette circonstance a lieu en 
tous les points de la multiplicité en question et non plus à l'origine, il 
. faudra exprimer qu'il existe en chacun d'eux une combinaison linéaire 
des trois équations données dans laquelle les dérivées par rapport à 
pnn, gnn, T nn s'éliminent. Si (les équations étant toujours à premiers mem- 
bres holomorphes), nous supposons pour fixer les idées le mineur a" dif- 
férent de 0, cette combinaison linéaire pourra être substituée à la troisième 
-équation donnée. 

S Une transformation tout analogue sera alors faite sur les inconnues : 

dans les deux premières équations, les dérivées par rapport à p nn , £nn»*"n in- 
considérées en un point quelconque de notre multiplicité seront des fonc- 
tions holomorphes de x it x 2 , a? n — i. En désignant par Jt>, $, G, Jb', $', & 
ces dérivées, nous pourrons prendre pour deux de nos nouvelles inconnues 
les combinaisons (53). 

Nous aurons ainsi réduit nos équations à la forme (56), les condi- 
tions (57) étant vérifiées, cette fois, en tout point de la multiplicité a? n = 0. 
D'autre pari, nous pouvons admettre, moyennant une triple transforma- 
lion analogue à (48), que les données initiales £, t\, l, p n , q n , r n , sur 
celte mulliplité soient nulles, ainsi que les valeurs qu'on en déduit pour 
p.nn, qnn, *Vm. Ces valeurs nulles devront donc vérifier les conditions (53), 

(57) et aussi la condition (32), soit ici — = : autrement dit, chaque 

• &r>i 

terme de F ou de * devra contenir en fadeur une des quantités 



(58) 
(59) 



( ?i r h Ç , Pi, qu n (i*=i, 2, ..., n) 

\ [i = 1,2, .... n ) . ... \ 

/ Pik, que, r ik ( _ ; (r,^.! excepte) I; 

l fî.5 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 31 i 

chaque terme de *F, une des quantités (58) ou : 
(60) xf in , x n r nn , rln. 

II résulte aisément de là que si l'on prend comme données initiales : 

1° sur a?„ = : |, 7], Ç, p n , q n nuls ; 

2° sur x» _ i = : Ç égal à l'expression (49) (n° 319), 

les quantités r n , p nn , <?»n, r nn seront identiquement nulles aveca: n , quels 
que soient o 3 , © 4J .... On le prouvera, comme précédemment, en suivant 
Tordre même du calcul par lequel nous avons obtenu les dérivées succes- 
sives. 

324'°'% — H est clair qu'on peut tirer de là des conséquences toutes 
semblables à celles qui ont fait l'objet du n° 319 bis . Si nous nous plaçons, 
pour simplifier, dans le cas où les équations sont linéaires par rapport aux 
dérivées secondes, nous pouvons dire que lorsqu'une distribution de valeurs 
de r n sur la multiplicité x n = (combinée avec une série donnée de va' 
leurs de £, ?), s, p», q n ) rend cette multiplilè caractéristique, et satisfait 
à Vèquation (30) (w° 292) (condition d'existence des dérivées secondes) 
cette distribution sera précisément celle qu'on obtiendra en résolvant le 
problème du n° 323, si la coïncidence a lieu sur V intersection des deux 
multiplicités x n = 0, x n _ i = 0. 

325. — Comme le théorème du n 08 316-318, celui que nous venons 
de démontrer auxn os 321-323 est susceptible d'une interprétation hydro- 
dynamique simple. 

Nous avons vu plus haut comment, étant donnés le mouvement initial 
d'un gaz et le mouvement de la paroi, on pouvait obtenir l'accélération 
initiale des points voisins de cette paroi. Le nouveau mouvement ainsi 
créé se propage, d'ailleurs, par une onde dont l'équation aux dérivées par- 
tielles (23) (ou, ce qui revient au même, l'équation (4) du n° 240), 
permet de trouver la position à chaque instant, une fois supposé connu le 
mouvement du fluide au delà de celte onde (lequel fournit la valeur de p). 

Supposons ce dernier mouvement analytique ainsi que le mouvement 
donné de la paroi. Il en sera alors de même pour le mouvement de la 
surface d'onde S. Le mouvement qui prendra naissance entre cette surface 
et la paroi devra être tel : 

1° qu'il y ait constamment contact entre le fluide et la paroi, c'est-à-dire 
que pour 



(61) 



+<,(«, b,c) = 



312 CHAPITRE VII 

(équation de la surface dans l'élat initial) on ait 
ty(œ, y,z t *)=0. 

2° qu'il y ait raccordement, le long de l'onde, entre le nouveau mouve- 
ment et le mouvement primitif. 

Prenons un nouveau système de variables indépendantes tel que x z et x K 
s'annulent, Tune, pour <\> (a, ^> c ) = 0> l'autre, le long de l'onde. 

Opérons, d'autre part, un changement d'inconnues tel que la dernière 
d'entre elles soit remplacée par la fonction ^{x y y, z, t). Donnons-nous 
alors : 

Pour œ 3 = 0, la condition que cette inconnue soit nulle ; 

Pour a? 4 = 0, la condition que toutes les inconnues aient les mêmes 
valeurs que dans le mouvement primitif ainsi que les dérivées premières de 
deux d'entre elles, celles qui ne se réduisent pas à avec a? 3 . S'il en est 
ainsi, la coïncidence s'établira d'elle même pour les dérivées de la troisième 
inconnue d'après un raisonnement tout semblable à celui qui a été fait plus 
haut (n° 320), de sorte que la discontinuité sera bien du second ordre, la 
seule condition pour cela étant que celte coïncidence existe aux points qui 
satisfont à la fois à x z = et à a? 4 = 0, c'est-à-dire que la vitesse nor- 
male de la paroi soit initialement égale à celle des molécules voisines du 
fluide. (11 suffira d'appliquer la proposition énoncée au n° 324 bis ). 

Le problème ainsi posé rentre dans la catégorie traitée au n° 323. Il 
reste seulement à s'assurer : 

1° que l'intersection des deux multiplicités (x 3 = 0, x k = 0) n'est pas 

1 tangente à une bicaractérislique. — Ceci est évident, puisque cette inter- 

section correspond à t = const., alors que t varie sur les rayons définis 
par les équations du n° 296. 

2° que, si A, B, C, A', B', C ont la signification indiquée au n° 321, on 
a l'inégalité (54). Ceci revient à dire qu'on ne peut pas former, avec les 
équations du problème, une combinaison faisant connaître la dérivée 
seconde de ty par rapport à x k : ou, ce qui revient au même, l'expression 

*î ?!? 54 ^R 54 °!* 
àx IP ~*~ ty 8£ + oi 'li l ' 

Mais, dans le cas contraire, la discontinuité compatible avec ces équa- 
tions serait forcément tangenlielle et nous savons qu'il n'en est pas ainsi. 

Le problème d'analyse auquel nous avons été conduits est donc bien 
celui qui a été résolu tout à l'heure. La solution ainsi obtenue satisfera 
d'ailleurs initialement au principe d'impénétrabilité (c'est-à-dire que a, 6, c 



jii 



LA THÉORIE GRNÈRALE DES CARACTERISTIQUES 



313 



pourront être exprimés en fonction de oc, y, z, t) lorsque la vitesse normale 
dé la paroi sera inférieure à la vitesse du son. 



326. — Par contre, le problème de la rencontre des ondes, traité au 
n° 320 dans l'hypothèse d'un potentiel de vitesse, n'est pas, en général, 
immédiatement résolu par des considérations semblables aux précédentes. 

Soient, en effet, deux mouvements 1 et 2 (fîg. 21) donnés, et soit à 
chercher un mouvement 4 se propageant dans les deux premiers suivant 
les ondes g " et S " ; (fiQ- 21) qui se coupent suivant la multiplicité A. 

Nous pourrons, en vertu de ce qui précède, après avoir effectué un chan- 
gement d'inconnues convenable ayant pour effet de substituer hx, y, z de 
nouvelles inconnues £, 7), Ç, déterminer celles-ci par les équatioi s internes 
du mouvement et par les conditions suivantes : 

\ ° sur § ", X devront prendre les mêmes valeurs que dans le mou vemen 1 1 ; 

2° sur la même multiplicité, les dérivées premières de \ et de t) auront 
également les valeurs qui résultent du mouvement 1 ; 

3° sur S '", Ç prendra les mêmes valeurs que dans le mouvement 2. 

De ces conditions résultera, comme précédemment, la continuité des 
dérivées de t, au passage de S ". 

Mais il resterait à établir la continuité de £, t\ et de toutes les dérivées 
premières au passage de g '" ; et celte continuité ne résulte nullement de 3°. 
Elle entraîne, en effet, cinq conditions à vérifier en chaque point de S '" et 
l'unique équation différentielle dont nous connaissions l'existence sur cette 
multiplicité (l'équation 30) entraîne simplement cette conséquence que ces 
cinq conditions se réduisent à quatre. 

Si l'on développe par la formule de Taylor, suivant les puissances crois- 
santes de t — i (en désignant par t la valeur de t qui correspond au point 
considéré de A) les premiers membres de ces quatre conditions et que l'on 
égale à les coefficients successifs, on aura une série de conditions de com- 
patibilité de tous les ordres qui devront être vérifiées en chaque point de 
rencontre des deux ondes : faute de quoi les nouvelles discontinuités 
seraient nécessairement en nombre supérieur à deux. Si, par exemple, il 
s'agit du problème de l'Hydrodynamique, aux deux ondes S " et So'" se 
joindrait une discontinuité stationnaire ayant lieu suivant la surface de 
rencontre, c'est-à-dire suivant la projection de A sur un plan t = const. 

Seulement on doit tenir compte de ce fait que dans les conditions où 
nous nous sommes placés au n° 312, les discontinuités qui existent entre 
les mouvements i et 2 ne sont pas quelconques. On suppose en effet, 
qu'avant la production du phénomène qui nous occupe, il n'existait que 



314 CHAPITRE VU 

deux ondes S et S' et, entre elles, un mouvement unique, le mouvement 3. 
Ceci revient à dire que l'on a des conditions de compatibilité analogues à 
celles qu'il s'agit de vérifier, mais relatives aux multiplicités § et §' . Il 
resterait à chercher si l'on peut en déduire les mêmes conditions pour 
S " et §</". C'est d'ailleurs ce qu'on constate en général sans difficulté pour 
les conditions du second ordre. 

C'est d'autre part, ce qui a lieu certainement pour les dérivées (d'un 
ordre quelconque) par rapport à t seul, en vertu du théorème auquel nous 
avons fait l'allusion au n° 249 et sur lequel nous revenons dans la note m 
à la fin de l'ouvrage. 

32*7. — Nous venons de considérer le cas d'une caractéristique annu- 
lant le déterminant H sans annuler ses mineurs. Les résultats analogues 
relatifs à l'hypothèse contraire (celle du n c 299) apparaissent d'eux- 
mêmes. Il est clair que, moyennant un changement d'inconnues, on pourra 
considérer les équations données comme résolues par rapport à p nn , q>m- i 
r nn -i, les expressions ainsi obtenues pour, ces quantités étant telles que 
leurs dérivées par rapport à q nnt r lin soient nulles à l'origine. 

Dans ces condrlions, on pourra se donner les valeurs des trois inconnues 
et de r n pour x n — et celles des deux premières inconnues pour œ n _ j = 0. 
La solution du problème ainsi posé s'étudiera par des procédés tout sem- 
blables à ceux du n° 323. 

Il est à observer que ce résultat est indépendant de l'hypothèse faite au 

I n<> 299 sur les, caractéristiques voisines de celles que l'on considère ('). 

Elle suppose, toutefois, bien entendu, des conditions d'inégalité analogues 
à celles du n° 322, mais qui n'auront plus la même signification géomé- 
trique, les bicaractéristiques pouvant n'être plus définies. 



§ 3. — CAS DES EQUATIONS LINÉAIRES 



328. — Parmi les systèmes d'équations appartenant à la catégorie que 
nous venons de considérer, il y a lieu d'envisager en particulier le cas des 
équations linéaires. C'est à elles qu'on est ramené toutes les fois qu'au lieu 



(») L'évanouissement simultanée des mineurs de H peut même n'avoir lieu qu'en 
un seul point de celle-ci, l'origine des coordonnées. 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 315 

d'étudier les mouvements les plus généraux des corps, on se borne aux 
mouvements infiniment petits. 

C'est, par exemple ainsi qu'on est amené à la plus simple (après l'équation 
de Laplace) et la plus importante de ces équations, savoir : 

1 ô 2 4> 

où a est un nombre donné leqOel représentera, en vertu des formules éta- 
blies dans ce qui précède la vitesse de propagation d'une onde dans un 

mouvement régi par cette équation. C'est à celle-ci ( avec a 2 =( -fi 1 1 

que se réduit l'équation (23') du n° 290 (équation du mouvement d'un gaz 
lorsque ce mouvement dépend d'un potentiel des vitesses), si l'on suppose 
le mouvement infiniment peu différent du repos, c'est-à-dire les dérivées 
de * infiniment petites, de manière qu'on puisse négliger les termes du 
second ordre en ces quantités. 

329. — D'une manière générale, on aperçoit immédiatement une sim- 
plification notable apportée dans la détermination des caractéristiques par 
l'hypothèse que l'équation est linéaire. 

Les coefficients a ik sont alors, en effet, des fonctions des seules variables 
indépendantes x v a? 2 , ... œ n et ne contiennent plus, contrairement à ce qui 
arrive dans le cas général, ni la fonction inconnue, ni ses dérivées premières. 
Il en résulte (n° 283) que les caractéristiques peuvent être définies, abstrac- 
tion faite de toute solution déterminée de l'équation. En particulier, à 
chaque point (a?i-, ar a , ... # n ) correspond un conoïde caractéristique parfaite- 
ment déterminé dès que l'on a écrit l'équation. 

11 est clair que, chaque fois qu'on résoudra relativement à celle-ci un 
des problèmes aux limites qui se posent en mécanique, la formule de réso- 
lution devra faire intervenir le conoïde caractéristique lorsque celui-ci sera 
réel. Nous avons vu, en effet, (n° 306) qu'il suffit de s'être donné les élé- 
ments qui déterminent cette solution à l'intérieur du conoïde caractéristique 
ayant pour sommet un point déterminé {fig. 20) pour la connaître en 0. 

330* — Lorsque le milieu considéré est illimité et qu'on donne dans 
tout l'espace, les positions et les vitesses des molécules à un instant déter- 
miné £ , la détermination du mouvement ultérieur conduit au problème de 
Cauchy dont nous nous sommes occupés dans ce qui précède. La résolution 
de ce problème a pu être effectuée dans un assez grand nombre de cas, 



f 



£ 



316 CHAPITRE VII 

Notre intention n'est pas d'exposer en détail ces solutions ( £ ) : nous nous 
contenterons d'indiquer le principe commun sur lequel elles reposent, et 
qui n'est autre que la généralisation de la méthode de Riemann, telle que 
nous l'avons rappelée au n 6 171. 

Il est tout d'abord aisé d'écrire dans le cas général, la formule qui corres- 
pond à la relation (35) du n° 171 pour l'équation à deux variables à 
caractéristiques réelles (ou à la formule analogue de la théorie du potentiel). 
Si 

(63) 0(z) = 2 aïkPik + ^ aiPi + lz == ° 

%ik i 

est l'équation linéaire donnée, les a ik , les ai et l étant les fonctions données 
de a? lf œ 2 ..., x n , une série d'intégrations par parties évidentes permettra 



d'écrire 

(64) u$(z 
en posant 

(65) M t = u 



(66) CM = 2 



— *Ç(«) 




00? 2 




U 2 a ikPk 

k 


-*2 


4 (a " M) 


+ a t uz, 


i,k 


(ai* w) — 


2sM a - 

i 


u) -f- /w. 



L'équation Ç(w) =0 sera encore dite Y adjointe de la proposée: 
Il est, d'ailleurs clair que le résultat précédent n'est nullement particulier 
au cas d'une équation du second ordre et qu'on peut l'obtenir quelque soit 
l'ordre de l'équation proposée. 

Il s'étend d'ailleurs tout aussi aisément à un système d'un nombre quel- 
conque p d'équations à un nombre égal d'inconnues, en introduisant, dans 
le système adjoint, p nouvelles fonctions 'u lt u 2 , ... u p par lesquelles on 



(!) Voir surtout Poisson, Mémoire sur l 'intégration de quelques équations aux 
différences partielles et particulièrement de V équation générale du mouvement des 
fluides élastiques (lu à l'Ac. des Se. le 19 juillet 1819) ; Kirchhoff, mécanique, 23 e 
leçon, p. 314 ; Zur Théorie der Lichtstrahlen, Sitzungsberichte der K. Ak. der 
Wiss. ; 1882, p. 641 et suiv. (trad. par Duhem, Ann. Ec. Norm. supérieure, 1886) et 
Optik ; Volterra, Att. Liocei, 1892 et Acta Math; Tedone, Att. Lincei, 1896; 
Le Roux, Ann. Ec. Norm., 3 e série, t. XII et journ. de Mathém. 1898-1900 ; d'ADHÉ- 
mar, Bull. Soc. Math. Fr. 1901 et C. R. Ac. Se. 1902; Coulon, Soc. Se. Phys. et Nat. de 
Bordeaux, passim et thèse sur l'intégration des équations aux dérivées partielles 
par la méthode des caractéristiques, Paris, Hermann (1902). 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



317 



multiplierarespectivement les premiers membres des équations données. 
Nous nous bornerons toutefois au cas d'une seule équation du second 
ordre. Nous nous placerons même souvent pour la commodité du langage, 
dans le cas d'une équation à trois variables indépendantes, mais les raison- 
nements seront sauf indication contraire applicables, quel que soit le 
nombre de ces variables. 

331. — Pour résoudre le problème de Cauchy relatif à notre équation, 
l'inconnue et ses dérivées étant données sur une certaine multiplicité, nous 
devrons supposer, conformément à ce qui précède, que cette multiplicité 
n'est pas tangente à une caractéristique. 

En général (*), lorsque le problème de Cauchy se pose en physique 
mathématique, une condition plus précise est vérifiée, celle même que nous 
avons déjà rencontrée au n° 305. Nous plaçant toujours dans le cas de 
trois variables le plan tangent à la multiplicité en question est extérieur 
au cône caractéristique : un plan parallèle à celui-là coupe toujours ce cône 
suivant une courbe fermée. 

Un fait tout analogue a lieu pour les équations à plus de trois variables 
indépendantes. Par exemple dans la plus importante de celles-ci l'équa- 
tion à quatre variables (62), la forme quadratique qui, égalée à 0, fournit 
l'équation du cône caractéristique est une somme de carrés, tous de même 
signe, à l'exception d'un seul, lequel porte sur le paramètre ic 4 correspon- 
dant à la variable t. Or, le problème de Cauchy se pose précisément alors 
relativement à la multiplicité t = : celle-ci est coupée par le eône carac- 
téristique ou, plus généralement, par le conoïde caractéristique, ayant 
pour sommet un point extérieur quelconque suivant une multiplicité' 
fermée (savoir, en l'espèce, suivant une sphère). 

Les données relatives aux points intérieurs à cette multiplicité fermée 
sont, nous le savons, les seules qui interviennent dans la détermination de 
la valeur de l'intégrale au sommet du conoïde. 

332* — Considérons donc (dans le cas de trois variables) une surface S 
située comme nous venons de l'expliquer par rapport aux conoïdes carac- 
téristiques et le long de laquelle nous nous donnerons les valeurs de l'in- 
connue et de ses dérivées premières. 

Soit S t une autre surface délimitant avec la première une portion £> de 



(*) Comparer plus loin, n° 340. 



318 



CHAPITRE VU 



"H 



l'espace. Si, dans celle-ci, la fonction u, solution de l'équation adjointe, est 
régulière, nous pourrons, en multipliant par l'élément de volume et inté- 
grant dans S, écrire, d'après le théorème de Green (*) 



(67) 



u^(z)dx i dx i dx 3 
docs dx 3 -+- M 2 dx 3 dœ 1 -+- M 3 dx x dx 2 



III 

-SI- 



(où l'intégrale double est étendue successivement à S et à S, et où X n X 3 
désignent des coordonnées curvilignes prises sur ces surfaces); ou, si l'on 
veut, 



(68) III u^{z)dx i dx 2 dx z = I / j| ^M* cos (N, x t ) 



dS 



où dS désigne successivement l'élément superficiel de S et celui de Sj et 
N, la normale correspondante dirigée extérieurement à S. Rien d'essentiel 
ne sera changé à ce qui précède si le nombre n des variables indépendantes 
est supérieur à trois. La seule difficulté qui se présentera sera l'introduc- 
tion de la géométrie à n dimensions. Au lieu des surfaces S et S t on aura à 
considérer des multiplicités n — 1 fois étendues ou hypersurfaces : la 
formule (67) deviendra 



(67') 



If!" 



F(z) dx i dx 2 dx n 



OfA^ ... Ct^n — i 

(où le premier membre est une intégrale n u i' le et le second une intégrale 



(i) Voir Picard, Traité d'Analyse, 2 e édition, t. I, 1™ partie : chap. iv n° 15 et 16 
et chap. v, n° 8. 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



319 



n. — i u P le ). Dans celte formule les quantités rç sont, au signe près, les 
déterminants fonctionnels de n — 1 quelconques des œ t par rapport aux 
n — 1 coordonnés curvilignes X lf X 2 , ... l n _ { choisies sur la multiplicité S 
(ou S t ) : autrement dit, si par chaque point de celle-ci on mène une ligne 
dont s désigne l'arc, les quantités 7r f sont définies par la condition que Ton 
ait, quelle que soit celte ligne 



(69) Wl ^ H - 7 r 2 Ô 3 + 



H" ^n — = ± 



L) \pQ^y 3? 2 , ... 0C n ) 

D(X 1 , X â , ... In-n s)' 



Ces quantités peuvent être considérées comme celles que nous avons dési- 
gnées sous ce nom au n° £87. Elles sont proportionnelles aux cosinus 
directeurs de la normale à dS, ou aux dérivées partielles du premier 
membre ïl(a? lf ... x 2 , œ n ) de l'équation de la multiplicité. 

Si la normale N est dirigée intérieurement au domaine S, ou si la fonc- 
tion n est positive à l'extérieur de ce domaine et négative à l'intérieur, le 
signe à prendre dans l'équation (67) ou dans l'équation (69) est tel que les 
wi soient égaux aux cosinus directeurs ou aux dérivées partielles dont il 
vient d'être question, à un même facteur positif près. 

Nous désignerons encore par A l'expression 

(18) A = ^ OteTCfic* 

de sorte que les caractéristiques sont définies par l'équation A = 0. On aura 

(70) ^ * ôA 

et, par conséquent, 






(71) 



i [_ ik \ i / J ik 

1 vi te *>A i v ô « î>A T 

2 ^J ba?t 5rct 2 ^ toi ôiw 

(7 2 ) t=2^-2-^- 

Introduisons maintenant, avec M. d'Adhémar (*), la direction qui a ses 



(i) C. R. Ac. Se, 11 février 1901. 



320 CHAPITRE VII 

cosinus directeurs proportionnels aux quantités l — , et qui sera dile la 

conormale à dS : autrement dit, la direction définie par les proportions 

dx i _ dx 2 dx n i, 

(73) 1 bA ~ ra 1 ôA ~ h ' 

2 Ô7r t 2 ôir 2 " 2 OTT n 

s étant un paramètre et h une quantité arbitraire dont nous pourrons, par 
exemple, disposer de manière que le plus grand des rapports -~ > — » •••» -." 

— et, par conséquent le plus grand des rapports ~, ... ~-~ K — ail sa 
valeur absolue comprise entre deux limites positives, finies et différentes 
de zéro (par exemple, en prenant pour ~, ..., -r- n les cosinus directeurs 

de la direction précédente). 

D'après sa définition même, la conormale est (*) le diamètre conjugué du 
plan tangent à dS par rapport au cône caractéristique (représenté par 
l'équation fangenlielle À = 0). 

Elle est tangente à l'élément dS lorsque celui-ci est caractéristique et 
dans ce cas seulement (comme on le voit en multipliant les termes des 
fractions (73) respectivement par ie 1# ir 2 , ... ir n el ajoutant) : elle n'est 
alors autre que la direction bicaractéristique tangente à cet élément. 

Moyennant la dénomination précédente et la formule (71), l'équation 
(67') s'écrit 




utf(z) dx t dx 2 . . . dx n 
(74) < 

1 / I '" I L h \ C ~ïà~ z <&) ~ hhuz AA--- rfX »-i- 



333. — Si nous voulons déterminer la fonction u et la multiplicité Sj 
de manière que lès valeurs de u et de ses dérivées sur St s'éliminent du 



(i) Du moins en supposant que la forme quadratique A a son discriminant diffé- 
rent de zéro dans le domaine considéré et, en tout cas, sur toute caractéristique 
simple. 

( 2 ) Voir Goulon, thèse, p. 35. 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



321 



résullat, il faudra tout d'abord, si u et ses dérivées ne sont pas nulles sur 
cette même multiplicité (*), que celle-ci soit caractéristique. Sans cela, en 
effet, la formule précédente contiendrait, d'une part les valeurs de z y et 
d'autre part celles de sa dérivée conormale, lesquelles seraient entièrement 
indépendantes les unes des autres, puisque la conormale serait extérieure 
à la surface. 

Supposons donc que %^ soit caractéristique, et, prenant d'abord le cas 
de n = 3, rapportons S t à des coordonnées curvilignes dont l'une X soit 
constante sur les bicaractéristiques, tandis que l'autre s définira la position 

d'un point variable sur chacune de ces courbes, les dérivées ~ étant toutes 

finies et non toutes infiniment petites, d'après la convention faite sur h 
au ri précédent. Alors dans le second membre de (74), la portion relative 
à S,, savoir. 



(75) ;//■[*("£-*£) + *"]** 

pourra se transformer par intégration par parties en une intégrale simple 

(76) / huzâX 

prise le long du contour T de S 1? jointe à la suivante 

(77) f f z \l h *L + u (£ - lYI «TU <h. 



ff'[»£+~(£- h ï\ 



(*) D'autre part, u (s'il n'est pas identiquement nul) ne peut s'annuler en même 
temps que ses dérivées premières sur S lt sans que celle-ci soit caractéristique. La 
solution du problème de Cauchy est, en effet, unique pour une multiplicité non 
caractéristique : c'est ce que nous avons établi précédemment en supposant l'inconnue 
analytique et holomorpbe. Pour u continu et dérivable jusqu'à un certain ordre, 
mais non analytique, le même fait résulterait de l'extension (au cas de n variables 
indépendantes) d'une démonstration de M. Holmgren (Voir la note I à la fin de 
l'ouvrage). 

Resterait enfin le cas où Sj serait pour u une multiplicité singulière. Mais ainsi 
que nous le verrons plus loin (n° 848), ce cas ne peut pas non plus se présenter 
(du moins pour les types usuels de singularité) si Sj n'est pas caractéristique. 



322 CHAPITRE Vil 

Nous choisirons la fonction u de manière à ce qu'elle vérifie, sur chaque 
bicaractérislique, l'équation différentielle 

<*»> < M + «(§- L ) = - 

laquelle détermine u par une quadrature sauf un facteur constant qu'on 
peut choisir arbitrairement pour chaque valeur de X. 

Tout ceci subsiste évidemment pour n quelconque. Il y aura seulement 
n a — 2 coordonnées X (la coordonnée s restant unique) et le contour r de S t 
ne'sefaplus une courbe, mais une multiplicité n — 2 fois étendue. L'in- 
tégrale relative à Sj se réduira à une intégrale n — 2 u P Ie 



ffl 



(76') / / ... I huzd\d\...d\n-, 



prise suivant rejointe à une intégrale analogue à (77), laquelle disparaîtra 
du moment que nous déterminerons u par l'équation différentielle (78). 

334. — Nous avons laissé jusqu'ici la caractéristique S t quelconque. 
Supposons maintenant qu'on ait pris pour Sj le conoïde caractéristique C 
ayant pour sommet un point déterminé 0. 

Dans ce cas, il résulte de l'équation (78) que u devra être infini en 0. 
En effet, supposons, pour fixer les idées, que le paramètre s soit choisi, 
sur chaque bicaractéristique, de manière à s'annuler en ce point. Alors, 
a? 4 , x 2 , ..., x n devant être égaux aux coordonnées de pour s = 0, quels 
que soient les paramètres \, À 2 , ..., X n _ 2 , leurs dérivées par rapport à ces 
paramètres sont nulles avec s, par conséquent, de l'ordre de s. Les détermi- 
nants fonctionnels irç de n — 1 quelconques des coordonnées x par rapport 
aux n — 2 paramètres X et à s sont donc de l'ordre de s n ~ 2 et il en est de 
même de L ainsi que de h si (comme nous en avons convenu plus haul) 
nous prenons cette quantité de l'ordre du plus grand des 7Tj. 

Par exemple, pour n = 3, il est clair que, les points d'un cône étant 
représentés par leur distance au sommet et un paramètre qui définit la gé- 
nératrice, l'élément superficiel du cône contiendra en facteur la première 
de ces deux quantités. 

h étant de l'ordre du plus grand des tc if le rapport j- est fini en 0. La 



LA. THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



323 



quadrature à laquelle conduit l'équation différentielle (78), soit 

/-s (s- 1 )* i /s* 



= 7T 

n — 2 
donne alors un résultat infini de l'ordre s % . 

Dans ces conditions, pour appliquer la formule fondamentale, no:is 
retrancherons de notre volume d'intégration la partie qui avoi sine immé- 
diatement le point 0. En nous 
plaçant encore dans le cas de 
n = 3, une petite portion du 
conoïde C sera ainsi enle- 
vée, portion limitée par une 
courbe y {fig- 22) : on peut 
pour fixer les idées, admettre 
que y est l'intersection du 
conoïde C par une sphère S 
de centre et de rayon très 
petit. 

S 4 aura alors deux fron- 
tières : son intersection r 
avec Set la multiplicité y* 
C'est le long de ces deux frontières que devra être prise l'intégrale 
n — 2upie (7g) à laquelle se réduit (74) moyennant l'équation différen- 
tielle (78). 

Le long de r cette intégrale, est connue, puisqu'on connaît z et ses dé- 
rivées premières. 

On aurait donc l'expression de z par la généralisation naturelle de la 
méthode de Riemann si, la fonction u étant régulière dans tout le volume 
d'intégration à l'exception du voisinage de 0, et le rayon de S tendant vers 
zéro, l'intégrale (67') étendue à 2, augmentée de l'intégrale (76') étendue 
à y, se réduisait hz . 




Fig. 22 



335. — Mais les choses ne se passent point ainsi. Considérons, par 
exemple, l'équation (62). C'est, dans la catégorie d'équations que nous 
envisageons en ce moment, la première pour laquelle le problème de 
Cauchy ait été résolu, grâce aux travaux de Poisson et de Kirchhoff. Les 
variables indépendantes sont alors au nombre de quatre, dont les trois pre- 



324 CHAPITRE VII 



mières, qui représentent des coordonnées cartésiennes dans l'espace ordinaire, 
seront nommées x it œ v œ z , tandis que la quatrième continuera à être 
désignée par t. Nous supposerons que S a pour équation t = 0, de sorte 
qu'on devra se donner, pour t = 0, les conditions 

z = f 

i>Z f 

où / et f t sont des fonctions connues de oc x , œ 2 , a? 3 . 

La méthode employée pour exprimer, en fonction de ces données; la 
valeur de z pour x = a? ,, x 2 = x° 2 , x 3 = x° :i , t == / , consiste à prendre 

u = - F(r + a!) 
F élant une fonction quelconque et r désignant la dislance (comptée dans 



l'espace ordinaire) du point {œ lt x 2 , x z ) au point (x° y 



r = \/{x l — œ\f -h (a? 2 — ^° 2 ) 2 -h (# 3 — #° 3 ) 2 . 

Celte quantité satisfait bien à l'équation adjointe, identique ici à la pro- 
posée elle-même. Elle vérifie également, quelle que soit la fonction F, la 
condition (78) : elle est en effet, sur le cône caractéristique, proportion- 

1 

neîle à - et c'est précisément une telle proportionnalité qu'indique l'équation 

différentielle (78). 

Seulement, cette fonction n'est pas uniquement singulière (comme le 
voudrait la théorie précédente) en un seul point de l'espace à quatre dimen- 
sions. Elle est, en effet, infinie pour œ i = x° it x 2 = a?° 2 , x z = x° 3 , quel 
que soit t et non pas uniquement pour la valeur t donnée qui correspond 
au sommet du cône caractéristique. Nous devrons donc retrancher de 
notre volume d'intégration, non pas exclusivement le voisinage immédiat 
du sommet du cône, mais, par exemple, l'ensemble x des points (x lt x 2 , a? 3 , t) 
satisfaisant à l'inégalité 

(*! - O 2 + (a?, - œ\Y -t- fa — rt) 1 < s 2 - 

Conformément à la convention du n° 100 bis , cette région est représentée 
sur la figure 23, par l'intérieur d'un cylindre a (auquel elle se réduirait si 
l'on n'avait à considérer que les coordonnées x i% x 2 et t, la variable x 3 
étant supprimée). 

La frontière cr de la région t interceptera, sur notre cône, la multiplicité y 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



325 



(qui ne sera autre que la surface d'une sphère de rayon e, avec t = t Q ) 

et sur S une multiplicité ^' (sphère de rayon eavec t = 0). 
Le polynôme ${z) ayant ici l'expression 



»M = *-£S- 



et le conoïde caractéristique étant 

(a?i _ œ o t y + (^ - x\f + (x 3 - x\f -a*(t- t f = 
les bicaractéristiques correspondantes, ne sont autres que les génératrices. 

O 




Fig. 23 

Nous obliendrons donc sur 0, le système de coordonnées curvilignes 
exigé par les raisonnements précédents en employant (dans l'espace ordi- 
naire) les coordonnées polaires d'origine O, c'est-à-dire en posant 

x l = a? i 4-r sinXj cosX 2 , ,2; 2 = £& 2 -\-r sinXj sin)^ 2 , x 3 = x° 3 -h reosX r 
(0<£-\<*, 0<X 2 <2tt). 

Nous pourrons alors prendre s = r, et l'on trouvera aisément 



h = 



r 2 sin X, 



Dans ces conditions, u étant donné par la formule (79), l'intégrale 



328 CHAPITRE VII 

En particulier, ceci a lieu pour t = * 01 et l'on a 

(82) z = <?{at ) + t [ ?1 (at ) 4- a^'(al )} 

On voit qu'ici la valeur de z est exprimée, non pas en fonction de toutes 

ï)Z 

celles que prennent zeï — sur S dans tout l'intérieur du conoïde caracté- 
ristique, mais seulement des valeurs prises par ces quantités sur ce conoïde ; 
Cette circonstance est due à la forme particulière de l'équation (62) et ne 
6e présente pas pour une équation du second ordre prise au hasard ( 1 ). 

336. — On remarquera que, de la forme même de la solution qui vient 
d'être obtenue, il résulte que la méthode ne pouvait pas réussir sous la 
forme primitive indiquée au n° 334. Elle aurait, en effet, conduit à 
exprimer la solution sous forme d'une intégrale analogue au second membre 

de (74), c'est-à-dire portant sur les valeurs de z et de — dans toute la 

partie S de S intérieure au conoïde caractéristique. 

On pourrait bien, il est vrai, transformer l'intégrale (82) en une autre 
qui soit prise dans toute la région S , mais il faudrait pour cela que l'élé- 

ment d'intégration contienne les dérivées de z et de — par rapport aux 

coordonnées prises sur S (autrement dit, par rapport à œ v a? 2 , a? 3 ). 

En un mot, le second membre de la formule (82) est irréductible à celui 
de (74), 

Il ne peut donc exister de solution de l'équation (62) vérifiant les diverses 
conditions que nous avions postulées au n° 334. 

33'7. — Ces divers résultats ont été généralisés à des catégories assez 
étendues d'équations dans les travaux cités plus haut. Nous nous contente- 
rons d'indiquer le cas le plus simple, celui de l'équation 



(83) 






bar 



1 b^z 



= 



qui n'est autre que l'analogue de (62) pour le cas de deux dimensions et 



(*) La supposition qu'on ait pris pour S la multiplicité t = n'a évidemment rien 
d'essentiel et les considérations précédentes subsisteraient, avec des résultats un peu 
moins simples, pour S quelconque. 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



329 



pour laquelle le problème de Cauchy (la multiplicité S vérifiant toujours 
les conditions imposées au n° 331) a été résolu par M. Volterra. La fonc- 
tion u, choisie par ce dernier, est alprs celle qui se déduit de la quantité 



(84) 



log ( — 



sJaH" 



oo% 



\/x\ 



en changeant œ iy oc. 2 , t en x i — x° lf x % — œ° 2 , t — t . 

Elle admet, on le voit, le conoïde caractéristique comme surface singu- 
lière. Mais il est aisé devoir que cette singularité ne compromet pas l'appli- 
cation de notre formule fondamentale : la seule partie que Ton doive 
retrancher du volume d'inlégration est encore celle qui est comprise à 
l'intérieur d'un petit cylindre ayant pour axe la droite 

OC t ■ ' • X ±y t-Vo ■■ ~ 00 g» 

La formule (74) fera alors connaître l'intégrale simple 



/ 



zdt 



prise suivant celte droite, de t = à t = t Q . 

Il ne restera plus qu'à prendre la dérivée de cette quantité par rapport 
à t pour obtenir la valeur de z . 

La solution obtenue ne peut plus, comme celle de l'équation (62), se 
mettre sous la forme d'une intégrale étendue à la partie de S située sur la 
surface du cône caractéristique : les valeurs des données dans tout Yinté- 
rieur de ce cône y figurent nécessairement. 

Par contre, on peut faire sur cette solution des remarques toutes sem- 
blables du n° précédent et en déduire que la méthode ne pourrait pas 
réussir sous la forme indiquée au n° 334. 

338. — Qu'il s'agisse, d'ailleurs, du problème dont nous venons de 
parler ou de celui qui est relatif à l'équation (62), les considérations pré- 
sentées jusqu'ici subsistent dans le cas limite où S est caractéristique : par 
exemple, on pourrait prendre pour S un conoïde caractéristique, en se 
contentant toutefois de déterminer z à V intérieur de ce conoïde. 

Dans ce cas, comme la conormale à S serait tangente à S, la connais- 
sance des valeurs de z sur la multiplicité en question suffirait, puisqu'elle 
entrainerait celle de la dérivée conormale. 



330 CHAPITRE Vil 

Ainsi, une intégrale de l'équation (62) ou de l'équation (83) est déter- 
minée, à l'intérieur d'un conoïde caractéristique, quand on donne ses 
valeurs sur ce conoïde. En particulier, elle ne peut s' annuler sur le conoïde 
(sauf le cas de singularité, tel que nous l'avons, par exemple, rencontré 
pour l'expression (84), au n° précédent) sans être identiquement nulle dans 
tout V intérieur. 

Ce résultat correspond évidemment à celui que nous avons trouvé au 
n° 172 (ch. iv). 

339, — Nous remarquerons également que la méthode s'étend d'elle- 
même au cas où l'équation linéaire a un second membre, c'est-à-dire où 
l'on égale le premier membre de l'équation (63) non plus à zéro, mais à 
une fonction donnée quelconque 9* de x i , œ^ ... œ n . Dans ces conditions, 
l'intégrale »"/>** qui figura au premier membre de l'équation (74) ne sera 
plus nulle, mais sa valeur sera connue. Pour l'équation (62), ceci conduirait 
à compléter la formule (82) par l'intégrale 



~ dx l dx 2 dx z 



étendue au conoïde caractéristique. Dans le cas de l'équation (83) on au- 
rait à considérer, outre une intégrale double prise sur le conoïde caracté- 
ristique, une intégrale triple étendue au volume intérieur à ce cône. 

340. — Dans tous les cas, un calcul direct montrera que les expressions 
obtenues par les méthodes précédentes vérifient bien toutes les conditions 
demandées, pourvu que la multiplicité S satisfasse aux hypothèses du 
n°331. 

Le problème de Cauchy est donc, dans ce cas, toujours possible, que les 
données soient ou non analytiques. 

Il n'en est plus de même si les hypothèses du n° 33 1 ne sont pas vérifiées, 
si la multiplicité S coupe le cône caractéristique issu d'un de ses points. 
C'est, par exemple, ce qui se présente dans la généralisation donnée par 
Ivirchhoff (') de la solution du n° 335 ou dans les recherches analogues 
développées par M. Volterra ( 2 ) sur l'équation (83). 



(') Zur Théorie de)' Lichtstrahlen et Optik. 

( 2 ) Sur les vibrations des corps élastiques isotropes, n° 6 (Acta Math. t. XVHIj. 




LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



331 



Pour de telles formes de S, le problème de Cauchy cesse d'être possible 
en général. C'est ainsi que, dans les solutions données par Kirchhofî et 
M. Volterra, apparaissent une infinité de conditions de possibilité. En réalité, 
dans les problèmes qu'ils ont traités, on peut, comme on s'assure aisément, 
se donner les données de Cauchy — c'est-à-dire s et ses dérivées premières — 
sur une partie seulement de S, z seul étant (comme aux n° 180-181 du 
ch. îv) donné sur l'autre partie. Les formes correspondantes de S sont 
d'ailleurs telles que la démonstration de Cauchy-Kowalewski (relatif à 
l'existence de la solution pour des données analytiques n'est plus applicable. 

Mais, même dans le cas où cette démonstration est possible — par exemple 
lorsque, relativement à l'équation (62), on prend pour S la multiplicité 
x t = — on constate que la possibilité du problème cesse en général, avec 
l'analyticité des données si la condition du n° 33 I n'a pas lieu. 



341. — Nous bornerons là les indications sur la résolution du problème 
de Cauchy et nous allons étudier une autre question présentant un rapport 
étroit avec celles qui ont fait l'objet des chapitres précédents. 

Nous avons constaté que les ondes par lesquelles se propagent les dis- 
continuités dans les milieux en mouvement ne sont autres que les carac- 
téristiques des équations différentielles qui déterminent ces mouvements. 
Nous nous sommes placés, à cet effet, dans l'hypothèse formulée au n° 71 
et d'après laquelle les quantités considérées et leurs diverses dérivées 
devaient toutes tendre vers des limites parfaitement déterminées de chaque 
côté de la discontinuité. 

Il y a lieu de se demander si des conclusions analogues subsistent dans 
l'hypothèse contraire, c'est-à-dire en admettant qu'il y a non seulement 
discontinuité entre deux mouvements compatibles, mais singularité de l'un 
de ces mouvements considéré en lui-même, quelques unes des inconnues 
ou de leurs dérivés devenant infinies. C'est ce qui arrive, par exemple, 
pour la solution (84) de l'équation (83). 

Les résultats auxquels nous parviendrons seront d'ailleurs importants en 
ce qu'ils nous permettront de relier la théorie des ondes telle que nous 
l'avons exposée dans les chapitres précédents, à celle que l'on rencontre 
dans diverses branches importantes de la Physique, particulièrement en 
Acoustique et en Optique. 

On sait qu'alors, au lieu de considérer, comme nous l'avons fait, la pro- 
pagation proprement dite du mouvement, c'est-à-dire la manière dont il 
commence successivement aux différents points de l'espace, on suppose ce 
mouvement déjà commencé et arrivé à une sorte d'état permanent. Dans 



332 CHAPITRE VU 

ces conditions, la définition de la surface d'onde, telle que nous l'avons 
envisagée dans ce qui précède, n'est plus applicable. Mais, d'autre part, le 
mouvement étudié n'est pas quelconque : c'est une oscillation périodique 
et la surface d'onde est alors le lieu des points de l'espace où la phase d'os- 
cillation est la même. Comme précédemment, bien entendu, l'ensemble des 
faces d'ondë correspondant à une même phase, lorsqu'on fait varier le 
temps, forme, dans l'espace E 4 , une multiplicité triplement étendue qui 
représente la marche de l'onde et permet d'en définir la vitesse de propa- 
gation. 

Nous verrons un peu plus loin pourquoi on est ainsi conduit aux mêmes 
ondes que dans la théorie d'Ilugoniot, — à savoir aux caractéristiques — 
et nous verrons également s'introduire, comme possédant la propriété fon- 
damentale des rayons tels qu'on les considère en Physique, les bicaraclé- 
ristiques définies dans le présent chapitre. 

342. — Admettons donc, avec M. Delassus, (*) qu'une équation linéaire 
du second ordre donnée 

(63) &{z) = ^ <*ikPik + 2 ^ pi -+- Iz = 

t'i k i 

possède une solution de la forme 

(85) z = ZF(n) 

où Z, II sont des fonctions régulières, — j'entends par là des fonctions 
finies, continues et dérivables — mais où la fonction F admet une singu- 
larité pour n = 0. Substiluant cette quantité, il vient aisément 

(86) AZF"(n) -+• ( ]£ ~ ~ -h MZ ) F'(H) 4- 0(Z). F(n) = 

les tu étant les dérivées des partielles de II et A étant toujours défini par 
l'équation (18) du n° £87, pendant que F', F" sont les dérivées première 
et seconde de la fonction F, et que l'on a 



*^2*5ïïk+;2*W(<i>-* 



Annales Scient, de VEc. Norm. Sup., 3« série, t. XIII, p. 357 et suiv., 1896. 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



333 



Nous n'allons point laisser la fonction F tout à fait quelconque : nous 
supposerons celle fonction telle que F' soit infiniment grand par rapport à 
F, et F" par rapport à F', pour [I voisin de 0. Cette condition est remplie 
par toutes les formes usuelles de fonctions d'une variable singulières à 
l'origine telles que 

F (n) = IP (p non entier positif), 
F(n) = logn, 
F(n) = up \ogu. 

Dans ces conditions, il est clair que le coefficient de F" (II), dans l'équa- 
tion (86) doit s'annuler avec n. On a donc (pour n = 0) 



(87) 



A = 



et la multiplicité singulière n = doit être une caractéristique (*). 

Il en serait encore de même si l'intégrale cherchée ne se composait pas 
exclusivement de l'expression (85), mais comprenait en outre un terme 
régulier quelconque. 

343. — Inversement, étant donnée une multiplicité caractéristique 
n = 0, — telle, par conséquent, que le premier membre de l'équation 
s'annule avec n et que l'on ait 

A = BX 

(où X est une nouvelle quantité régulière), — proposons nous de trouver 
à l'équation donnée une solution de la forme 



(88) 



*==ZF(n) + z { 



z\ étant une fonction régulière. 
Nous prendrons pour fixer les idées 



F(n).= IogII. 



0„ aura alors ^ = -L 



(*) Cette conclusion ne serait pas en défaut si Z était nul avec II. Dans ce cas, en 
efîet, il conviendrait de recommencer le raisonnement en remplaçant Z par 



Z t = _ et F (II) par IIF (II). 



334 CHAPITRE Vil 

Par conséquent, en écrivant que les termes de l'ordre de F' disparaissent, 
on aura (pour 11 = 0) la condition 

i 

Celte condition peut être considérée comme une équation aux dérivées 
partielles linéaire du premier ordre à laquelle doit satisfaire la fonction Z, 
il est clair ( l ) que les caractéristiques de cette équation seront situées sur 
notre surface singulière et ne seront autres que les bicaractéris tiques 
correspondantes. 

On voit, par conséquent, que la condition (89) est relative à la distribu- 
tion des valeurs dé Z lui-même (et non de ses dérivées) sur l'hypersurface 
n = : si l'on pose, comme précédemment, 

dœ l dx % _ dx n , 

(14') JWÎ ~ 7âÂ\ T^ÂY - ds > 

Z aura la valeur 

C(Â> — M) ds 

(90) Z = Z / 

où Z est un facteur indépendant de s, qu'on peut encore choisir arbitrai- 
rement en un point de chaque bicaractéristique. 

Z étant ainsi choisi (et supposé d'ailleurs régulier), le premier membre 
de la condition (89) s'annulera avec n : il sera, par conséquent, de Ja forme 

IJ£, 

$ élanl une fonction régulière. 

Quant aux termes logarithmiques, la condition nécessaire et suffisante 
de leur disparition est évidemment que Z soit lui-même une solution de 
l'équation proposée. 

S'il en est ainsi, il restera, pour déterminer z x , l'équation 

(91) #(*,) = — S. 

£ étant, comme nous l'avons dit, une fonction régulière, les théorèmes 
généraux nous apprennent ( 2 ) que celte équation admet une solution éga- 
lement régulière. 

(*) Comparer n° 33*. 

( 2 ) Du moins dans le cas où tous les calculs sont analytiques. 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 



335 



Pour résumer, nous voyons qu'il faudra : 

■1° Choisir pour la multiplicité n = une caractéristique, conformément 
au théorème de M. Delassus; 

2° Calculer, sur cette multiplicité, la distribution des valeurs de Z par 
l'équation (89) ou, ce qui revient au même, par la formule (90). 

3° Trouver une solution de l'équation proposée, prenant pour II = les 
valeurs ainsi calculées. 

4° Déterminer une fonction régulière z x par l'équation (91). 

Nous savons d'ailleurs, par ce qui précède, que si les calculs sont analy- 
tiques, l'opération 3° est possible d'une infinité de façons. 

344. — Lorsque le nombre des variables indépendantes est de deux, 
les solutions logarithmiques ainsi obtenues jouent un rôle fondamental 
dans l'étude de l'équation, et cela tout particulièrement dans le cas où les 
caractéristiques sont imaginaires. 

On peut alors (*), par un changement de variables réel, mettre l'équa- 
tion sous la forme 



(92) 



$(z) = kz -+- a 



bZ 



$Z 
î>y 



CZ = 



A désignant le symbole de Laplace à deux variables 



tfz 



tfz 



\\a, b, c, des 



fonctions données de x et de y. Les caractéristiques sont, dans ces condi- 
tions, x — iy = const. ; x -+- iy = const. 

Cherchons une solution uniforme qui devienne logarithmiquement infinie 
au voisinage d'un point donné (x , y ). 

Si nous supposons a, h, c analytiques, rien ne nous empêchera d'appli- 
quer les raisonnements qui précèdent aux multiplicités 



oo — a? — i (y — y 9 ) = 0, x' 



* (y — vu = ° 



et, ce seront les logarithmes de x — x — i{y — y ), d'une part, de 
x — x -\- i{y — y ) de l'autre, qui interviendront dans la solution cher- 
chée : celle-ci aura donc la forme : 

Z log [x — x — i{y — y )] -+■ Z' log [x — x -+- i(y — y )] -+- z t . 



(i) Picard, Traité d> Analyse. 



336 CHAPITRE Vil 

Mais on a 

log (a? — x — i{y — y Q )] = log f - îw, 
log [x — œ -+■ i{tj — y )3 "== log r+w, 

en désignant par r la dislance des deux points (a? , y ), (#, y) et par w 
l'angle que cette dislance fait avec l'axe des x. 11 esl clair que la solution 
ne saurait être uniforme si w n'en disparaît point, c'est-à-dire si Ton n'a 
pas identiquement 

T = Z. 

Nous avons donc finalement à trouver une solution Z de l'équation (92) 
définie par la double condition de prendre des valeurs données, pour 
x — x — i(y — y ) = et des valeurs données pour x — x Q -\- i(y — y ) = ; 
ces valeurs étant d'ailleurs toutes analy tiques. i C'esl, comme nous l'avons 
vu, le problème qui a été résolu par M. Goursat et, pour le cas d'un plus 
grand nombre de variables, par Beudon. 

Nous obtenons ainsi une solution de la forme 

(93) 2Z log r-hZi 

c'est-à-dire une des solutions dont l'existence a été établie par M. Picard 
dans le cas spécial où « et & sont nuls (*). Seulement nous avons été obligés 
de nous borner aux équations à coefficients analytiques : non qu'il soit 
rien supposé à cet égard dans les développements du n° 343, mais parce 
que nous les avons appliqués dans le domaine complexe. La méthode de 
M. Picard, au contraire, fondée sur des approximations successives, ne 
suppose rien sur la nature analytique des coefficients. 

Observons toutefois que même pour a, b, c non analytiques, notre mé- 
thode conduit, dans des cas très généraux, au résultat cherché. Si, en 
effet, a, b, c admettent des dérivées jusqu'à un certain ordre p autour de 
(x , y ), la formule de Taylor leur sera applicable autour de ce point, c'est- 
à-dire qu'on pourra les représenter par des polynômes a, p, y en x,y,h des 
quantités près qui seront d'un ordre supérieur h p en x — a? , y — y . 

Remplaçons alors, pour un instant, a, b, c par a, p, y. L'équation ainsi 



(*) La méthode précédente a été obtenue d'une manière indépendante, par M. He- 
drick {Uber den analyrtischen Characterder Lôsungen von Diflerentiàlgleichungen, 
Goettingen 1901) et par nous même (voir Notice sur les travaux scientifiques de 
M. Jacques HadUmard, février 1901, et aussi Congrès international des Mathéma- 
ticiens) (Paris, 1900,; Gauthier- Villars, 1902). 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTÉRISTIQUES 



337 



modifiée admettra une solution z' de la forme (93). Le résultat de substi- 
tution de z' dans l'équation donnée sera une quantité continue et dérivable 
jusqu'à l'ordre p — 1. Il ne restera plus qu'à augmenter s' d'une quantité 
z" définie par l'équation 

£(*")=_ 0?(*'), 

équation dont les théorèmes de M. Picard ( l ) permettent de trouver une 
solution régulière, en en indiquant l'ordre de dérivabilité. 

La seule question — que nous n'entreprendrons d'ailleurs pas d'élucider 
— est de savoir si cet ordre est le plus élevé possible, étant données les 
hypothèses faites sur les coefficients. 

Les intégrales de la forme (93) jouent dans l'étude de l'équation (92) le 
même rôle que la fonction log r dans l'étude de l'équation de La place. 
Considérons, en effet, l'adjointe de (92), savoir l'équation 



» = Aw — m ( au ) 



La formule fondamentale donne ici 



*y 



(bu) 4- eu = 0. 



/ / [u9(*) — x<}(u)]dxdy 

= I j u t^ — z -T^r — [a cos (N, oc) -+- b cos N, y)\ zu ! ds 

S étant la frontière du domaine plan S ; s, l'arc de S ; N, la normale à S. 

Mais l'équation Ç(w) — admet une solution de la forme (93). Suppo- 
sons celle-ci choisie de manière que le coefficient 2 Z soit égal à 1 au point 
(# , y ) (ce qui est possible, car, d'après nos calculs, Z est nécessairement 
différent de en ce point) et choisissons la pour la fonction u. 

En étendant l'intégration, d'une part à une courbe quelconque ( s ) S qui 
entoure le point (a? , y ) d'autre part, à un cercle de rayon très petit ayant 



( 4 ) Journal de Mathématiques, 5 e série, tome VI, 1900 ; p. 138 et suivantes. 
( 2 ) Ou même à un système de plusieurs courbes, pourvu que l'aire ainsi limitée 
comprenne (x , y ). . 



338 CHAPITRE Vil 

pour centre ce point, on trouve, absolument comme dans la théorie du 
potentiel logarithmique ordinaire 

Celte formule est entièrement analogue à celle que nous avons rappelée 
dans le eh. 1 (n° 1) : comme en cet endroit, nous pouvons évidemment en 
déduire les conséquences suivantes : 

Une équation (92) à coefficients analytiques n'admet que des solutions 
analytiques. 

Si deux solutions d'une équation (92) à coefficients analytiques, 
définies de part et d'autre d'une ligne L, prennent sur cette ligne les 
mêmes valeurs et qu'il en soit de même de leurs dérivées normales, ces 
deux fonctions sont le prolongement analytique l'une de l'autre. 

Si enfin on se rappelle que le lerme régulier z { qui figure dans la solu- 
tion (93) peut être modifié par l'addition d'une solution régulière quel- 
conque de l'équation proposée, on sera conduit à déterminer un tel terme 
additif pour la fonction w n de manière à ce que la solution correspondante 

u = II lcg r -f- u t 

de l'équation adjointe s'annule sur le contour S, ou de manière à ce que sa 
dérivée normale y soit constante, u jouera alors le rôle d'une véritable 
fonction de Green pour la résolution du problème de Dirichlet ou du pro- 
blème de Neumann relatif à l'équation (92). 

345. — On peut se demander ce que deviennent les calculs que nous 
venons d'effectuer lorsque l'équation a ses caractéristiques réelles. 

Supposons alors les variables choisies de manière que ces caractéristiques 
soient x = const., y = const. Alors la quantité 

log r = 1 [log [{x — a? ) - i(y — y 6 ] H- log [x — x -+- i(y — y,)]] 

devra être remplacée (au facteur 2 près) par le logarilhme du produit 
{x — x ) (y — y ). 

Or, les caractéristiques étant les parallèles aux axes, l'équation a (n° 164) 
la forme 

ô 2 * bZ , Ï)Z A 

ùx ï>y bx ày 



LA THEORIE GENERALE DES CARACTERISTIQUES 339 

Si elle doit admettre la solution 

* = Z log [(as — 0%) (y — y Q )] -+- z, 

la fonction Z, elle-même solulion de l'équation, devra, en outre, vérifier 
sur les caractéristiques les relations (89), lesquelles se réduisent en l'espèce : 
sur la caractéristique x = x , à 



ôZ 

sur la caractéristique y — y , à 



aZ = 



^H-6Z = 0. 

Nous pouvons prendre encore Z = 1 pour a? — - # , y = y . Nous voyons 
alors que la fonction Z n'est autre que la fonction de Riemann définie au 
n°171. 

346. — Lorsqu'on passe au cas de trois variables indépendantes, les 
solutions qu'il est important de considérer ne sont plus celles dont nous 
venons de parler, mais celles qui, aux environs de r = 0, sont infinies 

1 

comme -• 
r 

Ceci conduirait à prendre, pour la fonction F précédemment introduite, 

1 

la forme F == — . Mais il est aisé de voir que si l'équation donnée et la carac- 
téristique II = sont prises d'une manière quelconque, il n'existera pas, 
en général, d'intégrale de cette espèce. 
Il suffit, pour cela, d'observer que, dans l'expression 



z = 



singulière sur la multiplicité n = 0, les valeurs prises par Zsur cette mul- 
tiplicité déterminent à elles seules la singularité, attendu qu'en ajoutant 
à Z une fonction régulière qui s'annule avec II et qui soit, par conséquent, 
de la forme IIS, on ne modifie l'expression z que de la quantité régulières, 

2 
Or, une fois le coefficient de F", — c'est-à-dire de — 3 -, — annulé grâce 

1 1 

au choix dell, il reste à faire disparaitre les termes en — 2 et en - . Nous au- 
rons ainsi deux conditions aux dérivées partielles, lesquelles porteront 



340 CHAPITRE VII 

toutes deux, comme nous venons de le voir, et comme on le vérifie sans 
peine directement, sur la distribution des valeurs de Z le long de notre 
multiplicité II = 0. En général, ces deux équations aux dérivées partielles 
n'auront point de solution commune non identiquement nulle. 
Par contre, il existera des solutions de la forme 

Z Iog H h- §_ 

et il est même aisé de les déduire de celles qui ont été obtenues précédem- 
ment. Considérons, en effet, la caractéristique dont nous partons comme 
faisant partie d'une famille de caractéristiques, dont l'équation générale 
sera 

n (#,, x 2 , ..., œ n , X) = 0. 

Pour chaque valeur de X, nous pourrons- construire, par la méthode pré- 
cédente, la solution 

Z Iog n -h Zi. 

En dérivant l'expression ainsi obtenue par rapport à X, nous aurons une 
nouvelle solution de l'équation, laquelle s'écrira 

Z &n ôZ . „ toi 

Cette solution aura donc bien la forme demandée si l'on n'a pas -* = 0. 

Par exemple, en dérivant par rapport à œ ou à y les solutions (93) du 
n° 344, on obtiendra, pour l'équation (92), des solutions de la forme 

- 2 -+- Q iog r 4- x l9 

(P et Q étant des fondions régulières, avec P(-z > Po) — 0) lesquelles ont 
été également considérées par M. Picard (*). 

347. — Les résultats précédents se généralisent d'eux-mêmes au cas 
d'équations d'un ordre quelconque. 

Par contre, ils ne subsistent plus si la caractéristique considérée est double 
(n* £84), c'est-à-dire satisfait aux conditions 

£-o, (<== «, a, ... ») 

(i) G. R. Ac. des Se. ,'1891. 



LA THÉORIE GÉNÉRALE DBS CARACTÉRISTIQUES 



3 M 



Supposons, en effet, qu'il en soit ainsi, et aussi (ce que l'on peut évidemment 
faire sans diminuer la généralité) que toutes les multiplicités n = const. 
soient caractéristiques, de sorte que la quantité désignée plus haut par Jb' 
sera identiquement nulle. Alors, une fois le terme en F' annulé, le terme en 
F ne pourra disparaître que pour Z = 0, à moins que l'on n'ait pour II = 0, 

M = 0, 

Si, par exemple, on a pris II comme variable Xn, on devra avoir, dans 
l'équation <63) 

a« = 0. 

Par contre, si cette condition est vérifiée il est, en général, possible de 
former des intégrales présentant la singularité indiquée. Ainsi, pour l'équation 
(à deux variables indépendantes) 



AA# 4- a — (A*) -+- b — (A*) H- c — r -h 2d— — + e-r + 2/— 

te 



bx 



qui satisfait à la condition précédente, on démontrerait aisément, par ce pro- 
cédé, l'existence de solutions de la forme 

z = r 2 log r.Z 4- Zi 

lesquelles joueraient, pour cette équation, le même rôle que les solutions (93) 
pour l'équation (92). 



348. — On étend aisément les considérations précédentes aux systèmes 
d'équations. Soit, par exemple, le système linéaire 

2 <*ikPik + 2 btk ?«* + 2 Cik r * + 2 aiPi "^ 2 bi ^ + 2 C£n 

+ gt 4- *ij 4- K = 0, 

4-y$4-^vj4-rç = o, 

2 a >*+2 i '' i ^ ifc+ 2 c ' ifcrifc " h 2^ * " + 2 bf| î£ "OS "* n 

où, comme aux n° 201, i, "n, £ sont les inconnues; les p, les # et les r, 
leurs dérivées premières et secondes. 



(94) 



342 CHAPITRE Vil 

Cherchons une solution, singulière sur la multiplicité II = dans laquelle 
les parties principales des inconnues soient respectivement 
É = EF(ll), 7] = H F(n), ç=--ZF(n), 

La fonction F étant toujours supposée vérifier les mêmes hypothèses 
qu'au n° 343, les termes en F" devront disparaître et l'on aura, pour n == 0, 

f SA ••+■ HB + ZC = 0, 

(95) I SA' 4- HB' + ZC = 0, 

( EA" -+■ HB" -t- ZC" = 0, 

où A est l'expression Jv a ik TZiTz k et B, C,... les expressions analogues 

formées comme au n° 391. 

Le déterminant de ces équations devra, par conséquent, être nul ( l ) de 
sorte que la multiplicité singulière devra être e?icore une caractéristique. 

Si nous nous plaçons dans l'hypothèse du n° 393 où les mineurs du 
déterminant en question ne sont pas tous nuls et que nous désignions, 
comme précédemment, ces mineurs par lesnolalions a, p, y... les équations 

(95) donneront (pour n = 0) 

(96) B = «p, H = p P , Z = ÏP 

p étant une indéterminée : moyennant quoi les premiers membres de ces 
équations seront nuls avec n et, par conséquent de la forme 

Knp, K'np, K"n P 

K, K 7 , K" étant des fonctions régulières connues. 

F" 1 

Soit encore F (II) = log II, de manière que l'on ait ^r = — . La dis- 
parition des termes singuliers en F' dans l'équation que l'on obtient en 
multipliant les premières respectivement par a, a', a" (afin d'éliminer F") 
fournit une équation entièrement analogue à l'équation précédemmenl 
écrile (33) au remplacement près des quantités^™, Çnn, Vnn par S, H, Z. Dès 
lors, si nous substituons à ces dernières quantités leurs valeurs (96), il est 
clair que nous aurons une équalion en p semblable à l'équalion obtenue 
au n° 393 et à laquelle on pourra appliquer toutes les conclusions pré- 
cédemment établies relativement à cette dernière. Ainsi, cette équation 
définira à la distribution des valeurs de p sur la multiplicité singulière et 
aura pour caractéristiques les bicaractéristiques du système (94). 
On déterminera ainsi les valeurs de S, H, Z sur II = 0. 

(*) Il n'y a pas à se préoccuper du cas où S, H, Z seraient nuls avec II, pour la 
même raison qu'au n° 34t. (Voir la note de la page 333). 



LA THÉORIE GENERALE DES CARACTÉRISTIQUES 



343 



349. — Pour voir si l'on pourra obtenir dans ces conditions une solution 
du problème, nous supposerons effectuée la transformation que nous avons 
indiquée aux n° 322-323. Autrement dit, notre caractéristique ne sera 
autre que x H = ; de plus, l'une de nos trois équations ne contiendra plus 
les dérivées secondes par rapporta^; les deux autres con tiendront ces 
dérivées, l'une dans le seul terme p, m , l'autre dans le seul terme q nn (*). 

Si nous groupons nos différents termes d'après leurs ordres de différen- 
ciation par rapport à x n seul, nous pourrons écrire ces équations sous la 
forme 

s - * (â) + +. (a + *> (S) + *® + *-w + * » = •> 

a - * (â + *'• (à) - *'* ® - '■« + *.<5>+*.« - °- 

où »,, «J^, x.i> ?i» 4*'i» x!'i' ?"i» '^"î» /."i désignent des polynômes différentiels 
linéaires du premier ordre, portant chacun une fonction, dans lesquels 
n'interviennent que des différenciations par rapport aux variables autres que 
x n\ <? 2 » 4^2» •••» V%i X*a» des polynômes différentiels du second ordre égale- 
ment dépourvus de différenciations par rapport à to n . 

C'est dans les équations ainsi écrites que nous devrons substituer les 
valeurs 



(97) $ = ElogO>n-r- S lf 



H log œ n 



Ç = Z log a?rt^h C t 



des inconnues. Le facteur log x n devant être traité comme une constante 
dans toute différenciation par rapport à une variable autre que a? n , on aura 
évidemment comme résultat 



(98) 



^[<?"i(a)-+«(H)+x ff i(Z)] 



... = o, 

■... = 0, 
= 0, 



(*) Plus exactement, pour obtenir ce résultat on devra s'arranger pour que toutes 
les multiplicités x n = const. soient des caractéristiques et opérer un changement 
d'inconnues défini, non par les foi 'mules (52), mais par les formules (53), les fonctions 
Jb, £B, C, Jt>' £B' & étant égales, pour tout système de valeurs de x u x*, ... x K , aux 
coefficients a nn , b nn , c nn , a' nn , b' nn , c' B n. 



344 CHAPITRE VIT 

où nous n'avons écrit que les termes en -y- et en — . La disparition des 

premiers dans les deux premières équations montre que S et H doivent 
s'annuler avec x n : c'est ce qui correspond aux formules (96). Dans ces 

conditions, la disparition des termes en — dans la troisième équation exige 

x n 

que l'on ait pour n = 0, 

X \(Z) = 0. 

C'est l'équation aux dérivées partielles trouvée tout à l'heure, qui détermine 
la distribution des valeurs de Z sur la multiplicité x n = 0. Si elle est 
vérifiée, notre troisième équation (à laquelle se réduit ici la combinaison 
linéaire formée au n° précédent) ne contient plus d'autres termes singuliers 
que les termes logarithmiques. 

Ecrivons qu'il en est de même des deux équations restantes. S et H étant 
nuls initialement, on a 

;! 

(99) 3 = «wE J n = x n U l 

où sont E, et H l de nouvelles fonctions régulières. Il vient alors, en égalant à 

zéro les termes en — (lesquels, moyennan l les relations (99) sont fournis tan t 

par les termes en — que par ceux en ~^~ des deux premières équations (98), 

Xn X n 

a 1 + Xl (Z) = o, 

H, +x'.(Z) = 0. 
Z étant connu pour x n = 0, les deux relations précédentes font connaître 
les valeurs initiales de H. et de IL. c'est-à-dire de -^ et de - — . 

1 ' ÙX n ÙX n 

Si nous nous rappelons que S, H, Z doivent former eux-mêmes une 
solution du système donné (afin de iaire disparaître les termes logarith- 
miques), nous voyons que nous sommes conduits à déterminer une telle 
solution en nous donnant les valeurs de nos trois inconnues et des dérivées 
premières de deux d'entre elles sur la caractéristique x n = 0. Or, nous 
avons vu au n° 323 qu'a ces données nous pouvions adjoindre les valeurs 
de Z sur une multiplicité sécante à la première. 

Donc il existe une infinité de solutions de la forme (97) dépendant 
d'une fonction arbitraire de n — i variables et d'une seconde fonction 
arbitraire de n — 2 variables puisque Z peut être choisi arbitrairement en 



LA THÉORIE GÉNÉRALE DES CARACTÉRISTIQUES 



345 



tous les point d'une multiplicité n — 2 fois étendue située sur notre carac- 
téristique et coupant chaque bicaractéristiquo en un point. 

350. — Nous serons conduits aux ondes qui interviennent dans la 
théorie des mouvements périodiques si nous donnons à la fonction F la forme 

F(n) = sin{AlI 

fx étant un paramètre arbitraire. 

La fonction F ainsi choisie est holomorphe, quel que soit jx et constam- 
ment comprise entre -+- 1 et — 1. Elle ne rentre donc pas, à proprement parler, 
dans la catégorie qui vient d'être envisagée. Cependant — et c'est là une 
notion qui acquiert une grande importance dans beaucoup d'applications 
physiques de l'Analyse — tout en étant théoriquement toujours régulière, 
elle doit être considérée comme pratiquement singulière lorsque f* a de 
grandes valeurs: elle présente, en effet, un certain nombre de propriétés 
qui la rapprochent des fonctions pourvues de singularités. Elle est toujours 
continue et n'offre jamais de variations brusques, au sens absolu du mot ; 
mais elle passe cependant de la valeur -h 1 à la valeur — 1 lorsque sa 

variable indépendante II s'accroît de la petite quantité — . Elle a une dérivée, 

laquelle n'est jamais infinie ; mais les valeurs de celte dérivée sont trè.s 
grandes par rapport à celles de la fonction, savoir de l'ordre de jx ; celles de 
la dérivée seconde sont de même très grandes comme [x 2 ; etc. 

D'après cela, si (en nous bornant au cas d'une seule inconnue) nous sup- 
posons que l'équation (63) a une solution de la forme (*) 



(100) 



z = Z sin {xll -t- z t 



et si fx est très grand, les dérivées de n, de Z et de z i (ainsi que ces quan- 
tités elles-mêmes) n'étant pas très grandes, il faudra que dans le premier 
membre de l'équation (86), les termes en F", qui sont de l'ordre de fx 2 , et 
les termes en F', qui sont de l'ordre de [x, s'annulent séparément. La pre- 
mière de ces conditions donne 



(12') 







et cela, celte fois, pour toute valeur de II, de sorte que les multiplicit 
n = const. doivent être des caractéristiques. 



( J ) Rien d'essentiel ne serait modifié si nous remplacions le terme unique Z sin [xll 
par la somme Zj sin. jill + Z 2 cos jxll. 



346 CHAPITRE VII 

Les termes en F' donnent la condition (89) avec Jt> = 0, par conséquent, 
en introduisant la variable bicaractéristique s définie par les équalions (14') 
(n°283). 

(101) ^? + MZ=:0. 

Inversement, supposons les fonctions n et Z déterminées, la première 
par l'équation (12'), la seconde par l'équation (101). Alors le résultat de 
substitution, dans l'équation donnée, du produit Z sin [xtl se réduira à 
Q sin fjJl, en posant 

Q = *(Z). 
Nous aurons donc à déterminer z t par l'équation 

(102) £(*,) = -— .Q sin fxIT. 

Or, pour les diverses équations aux dérivées partielles du second ordre 
(à caractéristiques réelles) que l'on a pu intégrer (comparer n° 339), on 
constate, pour l'équation à second membre 

(s) == $ 

l:j 

(où $ est une fonction donnée de x v co 2 , ..., œ H ), l'existence de solutions 

représentées par des sommes d'intégrales n u P les oun~ i u P les de la forme 

(103) / /. ... / &{&„ ..,^)G(* 1 ,a;„...,%«' 1 , ...,>'«) dz 

où G est calculé a priori, indépendamment de là-fonction # et où dx est un 
élément de multiplicité n fois ou n — 1 fois étendue, décrite par Le point 
(a/ l9 œ\, ..., x' n ). 

Pour obtenir une solution de l'équation (102), nous devrons remplacer $ 
par — Q sin (xll. 

Supposons que les fonctions Q et G satisfassent à des conditions analogues 
à celles de Dirichlet, je veux dire que leurs variations totales (*), sur une 
ligne quelconque finie, ne soient pas très grandes par rapporta ces fonctions 
elles-mêmes. Alors la théorie des séries trigonômétriques ( 2 ) nous apprend 



(*) Jordan, Cours d'Analyse, 2 e édition, tome I, n° 69, pages 54 et suiv. 
( 2 ) Jordan, Ibid. tome II, en. iv ; Picard, Traité d'Analyse, 2 e édition, tome I 
2* partie, ch. ix. 



LA THÉORIE GÉNÉRALE DES CARACIER'STIQUES 



347 



qu'une intégrale dé la forme (103), portant sur la fonction QG sin f*n, est très 
petite par rapport aux valeurs de Q et de V ordre de - • 

Supposons enfin que Q = & (Z) soit du même ordre de grandeur que Z 
lui-même. On voit alors que, des deux termes de l'expression (100), le 
second est très petit par rapport au premier. La solution se réduit donc 
sensiblement^ dans ces conditions, au produit Z sin jj.I1. 

Cette quantité éprouve, d'après sa forme même, des oscillations pério- 
diques d'autant plus rapides que \i est plus grand, et les points de phases 
correspondantes sont situés sur des surfaces II = const., c'est-à-dire sur 
des caractéristiques. 



351 • — Revenons maintenant à la détermination de Z. Une fois TI choisi, 
Z est assujetti à l'équation différentielle (101). 

Or celle-ci ne fait connaître que les rapports mutuels des valeurs de Z 
aux différents points d'une même bicaractérislique. Elle n'établit aucune 
relation entre les valeurs prises par cette fonction sur des bicaractéristiques 
différentes. 

Donnons-nous arbitrairement, par exemple, une région de l'espace à n 
dimensions, et considérons l'ensemble des bicaractérisliques qui traversent 
celte région : ce qu'on pourrait appeler un pinceau de bicaractéristiques. 
Rien ne nous empêchera de supposer Z différent de zéro sur les bicarac- 
téristiques du pinceau et nul partout ailleurs. 

Les bicaractéristiques sont d'ailleurs bien, d'après ce qui précède, les 
seules lignes qui possèdent cette propriété. 

Or, dans celle-ci, nous reconnaissons bien le caraclère essentiel par lequel 
les rayons interviennent physiquement. Elle correspond d'ailleurs d'autant 
mieux à une propriété de la solution (100) que \x est plus grand et, par 
conséquent, z t plus petit : et c'est bien, en effet, pour les oscillations 
extrêmement rapides, comme les vibrations lumineuses, que la propaga- 
tion par rayons est la plus nette. 

Il faut observer, toutefois, que, dans les régions où Z variera rapidement, 
les conclusions seront modifiées, z i cessant d'être négligeable [diffraction). 



NOTE I 



SUR LE PROBLÈME DE CAUCHY ET LES GAâACTÉRISTIQUES 



Lorsque nous avons établi (au chap. IV) que si deux surfaces intégrales 
d'une même équation de Monge-A m père étaient tangentes tout le long 
d'une ligne, celle-ci ne pouvait être qu'une caractéristique, notre démons- 
tration ast restée incomplète sur un point : nous avons dû, en effet, laisser 
de côté le cas où le contact est d'ordre infini. Il y a donc lieu de se deman- 
der si, même en tenant compte des solutions non analytiques, le problème 
de Cauchy est parfaitement déterminé toutes les fois que la série des va- 
leurs données n'est pas caractéristique. Lorsqu'il s'agit d'une équation 
linéaire à coefficients analytiques et holomorphes, la solution a été obtenue 
d'une manière ultérieurement générale par M. Holmgren (*), et cela, non 
seulement pour une équation du second ordre, mais pour un système 
linéaire d'un nombre quelconque d'équations. 

Un l A système peut, comme on sait, se ramener toujours à une forme 
dans laquelle toutes les équations sont an premier ordre. De plus, si les 
multiplicités es = const. ne sont pas des caractéristiques, ces équations 
sont résolubles par rapport aux dérivées relatives à a?, de sorte qu'elles ont 
la forme 

n n 



A=l 



ï=i,2,...,n) 



les quantités A**, B lfc étant des fonctions analytiques et holomorphes de x 



(i) Ofversigt af Kongl. VetenskapsAkad. Fôrhandl, 9 janvier 1901, p. 91-103. 



SUR LB PROBLÈME DE CAUCHY ET LES CARACTERISTIQUES 



349 



et de y. Si la ligne donnée L (sur laquelle z v z 2 , ... z n doivent s'annuler) 
n'est pas tangente à une caractéristique au point aux environs duquel 
nous nous proposons d'étudier le système des fonctions z, on peut admettre 
que l'axe des y est la tangente en ce point, les équations conservant la 
forme précédente. 

On peut, de plus toujours exclure, par une transformation évidente, le 
cas où il y aurait inflexion en et admettre par conséquent, que notre 
ligne tourne sa convexilé d'un côté déterminé de Taxe des y. Le choix de 
ce côté est même à notre disposition. Supposons, pour fixer les idées, que 
nous avons choisi celui des x positifs, ou côté droit. 

Le système adjoint de (1) est 



*M~S 



OU 



(2) 



(3) 



w=^-2> 



— 2 ^ (*«"*) — 2 B ""* = ° 

2 P*i«* = o. 



5% 



h- 






Il donne lieu, avec le système donné, à l'identité 



(4) 



/ / jSl^M"*" *tÇi{u)])dardy 
= I n^ZiUidy — ^kikUiZ k dœ\ 



où l'intégrale double est étendue à une aire quelconque du plan des xy et 
l'intégrale simple au contour de cette aire. 

Les fonctions p seront, comme les A et les B, analytiques et holomorphes, 
par conséquent développantes en séries de Taylor ordonnées suivant les 
puissances de a? — a? , y — y 0} en désignant par a? , y Q les coordonnées 
d'un point quelconque voisin de 0. De plus, les rayons de convergence 
associés (*) de ces développements ne descendront pas au-dessous l'une certaine 
limite fixe lorsque le point, (# , y ) variera dans lé voisinage de 0. Comme 



(*) Voir Borel. — Leçons sur les séries à termes positifs^ p. 



IbO NOÎK 



Ips fonctions correspondantes restent finies, l'un quelconque des développe- 
ments en question admettra une série majorante de la forme 

(5) 



M, r, r' étant indépendants de x , y Q . 

Dans ces conditions si, sur la droites = x , nous nous donnons des va- 
leurs des u, soit u t = f (y), ces valeurs étant analytiques et holomorphes et 
leurs développements suivant les puissances de y — y Q admettant la série 
majorante commune 

P 



(6) 






(P, R constants) les raisonnements classiques relatifs aux équations aux 
dérivées partielles nous apprennent (*)■ l'existence d'une solution holo- 
morphe du système (2) prenant sur la droite x = x les valeurs données. 
De plus, les développements des fonctions u ainsi obtenues convergent 
pour 

(œ — x Q ) < p, (y — y,) < p' 

p, p' dépendant de M, r, r', R, mais non de P : on peut, en effet, donner à 
cette dernière quantité une valeur arbitraire en multipliant les valeurs fi{y) 
par un même facteur, lequel se retrouvera dans les valeurs des inconnues 
et ne modifiera pas les rayons de convergence de leurs développements : p, p' 
sont, par exemple, supérieurs aux valeurs qu'ils prendraient si l'on rempla- 
çait tous les A ik , p a par là fonction (5) et tous les f par la fonction 

(cas où ces valeurs pourraient être aisément écrites, les u s'obtenant alors 
par intégration directe). 

Choisissons arbitrairement R, ce qui nous permettra de calculer p, p' 
puisque M, r, r' , sont connus. Donnons enfin à x une valeur inférieure en 
valeur absolue à p et telle que la droite x = x Q intercepte sur notre ligne 



(!) Jordan. — Cours d'Analyse, t. III, chap. III. — Goursat, Leçons sur l'intégra- 
tion des opérations dérivées partielles du premier ordre, p. 2-8. 



SUR LE PROBLÈME DE CAUCHY ET LES CARACTERISTIQUES 351 



un arc PP' (fig. 24) entièrement situé dans le domaine où les considéra- 
tions précédentes sont valables. 

Supposons maintenant que le système (1) admette une solution telle que 
tous les z soient nuls sur l'arc, cette solution étant définie dans le voisinage 
de cet arc et en particulier dans toute la région 
comprise entre cet arc et sa corde. Nous appli- 
querons la formule (4) au contour de l'aire ainsi 
définie en prenant pour les z les fonctions dont 
nous venons de supposer l'existence. 

Quant aux u, ils seront définis de la façon 
suivante : soit F; (y) la série des valeurs prises 
par Zi le long du segment de droite. Nous 
pourrons trouver (pour chaque valeur de i) un 
polynôme fi {y) qui ait, avec F,-, une différence 
o t (y) partout inférieure en valeur absolue à un 
nombre e aussi petit que nous le voulons. 

Nous prendrons pour les u L la solution du sys- 
tème adjoint telle que u { se réduise sur la droite 
h?fi(y). Les polynômes ] f t pouvant évidemment 
toujours être regardés comme admettant des majorantes de la forme (6) les 
Ui existeront et seront holomorphes dans toute notre aire d'intégration. 

Dans le second membre de (4), l'intégrale relative à l'arc PP' sera nulle, 
puisque tous les z s'annulent le long de cet arc. Sur la corde de PP', dx 
étant nul, l'élément d'intégration se réduit à 

^ u^dy^dy Y YJ^dy [^ F\ + 2 F ' £ ] 

'intégrale / \ ^ **&)*] ^ H ' le 

des Fi ; l, la longueur PP' : il est clair que l'intégrale considérée différera 
de I d'une quantité inférieure à nzïll. Elle ne pourra donc être nulle si 
l'on a 




Soient 1 l 



maximum du -module 



*< 



I 
nEl' 



Comme £ est arbitrairement petit, on pourra toujours supposer cette iné- 
galité vérifiée, et la formule conduira par conséquent à une contradiction 



352 NOTE I 

dès que l'on n'aura pas 1 = 0, c'est-à-dire dès que les F ne seront pas tous 
identiquement nuls. Il faudra donc bien que Ton ait partout du moins à 
droite de L 

car l'abscisse a? est arbitraire sous la condition x < p. 

Pour établir la même conclusion pour les points situés à gauche de L, il 
suffira de modifier, par un changement de variables, le sens de la convexité 
de cette ligne. 

Le raisonnement précédent se généralise de lui-même au cas d'un nombre 
quelconque do variables indépendantes. S'il y en a trois, par exemple, les 
données de Cauchy seront relatives à une surface à laquelle il suffira de 
donner (par un changement de variables) des courbures de même signe et 
différentes de 0. 

On peut, d'autre part, ramener le cas d'une équation quelconque à celui 
d'une équation linéaire au moyen du lemme suivant : 

Soit F(œ i ,x it ... , oc m ) une fonction qui admet dans un certain domaine 
des dérivées partielles continues jusqu'à un certain ordre p. Si y ir y 2 , ... 
y m désignent une nouvelle série de variables en même nombre que les 
premières, la différence 

^(jfi.y,, ...,y*) — F(ar„ a?„ ...,a? m ) 

peut se mettre sous la formé 

(s/i — #i)?i ■+• <y» — x i) ?i ■+- — *+■ (ym — x m ) <p m 

où ©i, <p 2 , ..., ©m désignent des fonctions de x v œ. iy ..., x m , y if y 2 , ..., y m 
continues ainsi par leurs dérivées jusqu'à l'ordre p — 1 . 

Pour démontrer cette proposition, on commencera par supposer m — i : 
on verra sans difficulté que, pour F continu ainsi que ses p premières 
dérivées, la fonction 

2/t — #, 

est continue ainsi que ses dérivées partielles, par rapport à â?, et à y,, jusqu'à 
l'ordre p — 4 . 



SUR LE PROBLÈME DE CAUCHY ET LES CARACTERISTIQUES 



3o3 



Pour passer delà au cas général, il suffira d'appliquer la conclusion ainsi 
obtenue à chacun des termes de la somme. 

[F(2/ P oc^x % . ..., jr m ) — F(x t ,x 2 . x 3 ,,..,x m )] 

+- [F(y i} y it x s , ...,x m ) — F)y t , x it a? 3 , .. , x m )) -+- ... 

H-[F(2A,2/ 2 , ..-, tjm) -F(y„ y. v ..., y m -i, a m )]. 

Si d'ailleurs F e4 analytique, il sera de même de © lf c> 2 , ..., r f m . 

Pour a?, = y if x i ■= y a , ..., x m = y w , ces fonctions ont évidemment les 
valeurs 



(?) 



ôF 

bX; 



> = f, 2, ... 5 



Cela posé, soient 

(8) 9{m) = F(x t y, z, p, q t r, s, t) = 

une équation aux dérivées partielles du second ordre définissant z comme 
fonction de x ei de y ; z et s' = z -h u deux intégrales de cette équation, 
lesquelles coïncident ainsi que leurs dérivées tout le long d'une certaine 
ligne L. On aura 

& (Z -+- tl) = & (z) = 0. 

Mais d'après le Iemme précédent, la relation 



(- 



y, * 



— F(x, y t z, p, q, r,s, t) =-- 



bx ày ' ï>y* J 



pourra se mettre sous la forme 



(9) 






tfu 



Ô 2 W 



ÔW 



ôx 



bxby 



*!f 



i)X 



e - — h fu = 0, 



a, &, ..., / étant des fonctions continues et dérivantes de x y y de #, u et de 
leurs dérivées : c'est-à-dire (si z et u sont eux-mêmes supposés dérivables 
jusqu'à un certain ordre) des fonctions continues et dérivables de x et dey. 
Tout revient donc à savoir si cette équation linéaire en n peut admettre 
une intégrale nulle ainsi que ses dérivées premières et secondes tout le long 
d'une ligne déterminée L sans être identiquement nulle — ou, du moins, 
sans être nulle dans toute une région avoisinant L. 



354 NOTE I 

Remarquons qu'en tout point où u est nul ainsi que ses dérivées pre- 
mières el secondes, on a, d'après les relations (7), 

(10) a = -. 2ft = ~. c= ôT 

de soite qu'en un tel point, les caractéristiques de l'équation (9) sont tan- 
gentes à celles de la proposée. 

La question serait dès lors résolue, par la démonstration de M. Holmgren, 
si l'équation (9) était à coefficients analytiques. Mais nous ne devons pas 
admettre qu'il en soit ainsi, même si F est elle-même analytique. Nous 
devons, en effet, comme nous l'avons dit en commençant, supposer que 
les intégrales z et z' ne possèdent pas cette propriété, laquelle ne saurait 
dès lors appartenir aux coefficients a, b, c, ... . 

Il serait donc nécessaire d'étendre le raisonnement de M. Holmgren aux 
équations linéaires non analytiques. Celte extension n'est fait'} jusqu'ici que 
dans un cas : celui où les caractéristiques de l'équation (9) — et, par con- 
séquent, celles de l'équation donnée — sont réelles et distinctes. Dans ce 
cas, en effet, les raisonnement du n° 174 s'appliquent, la fonction de 
Riemann pouvant toujours être formée par la méthode des approximations 
successives (*). Noire conclusion est donc alors démontrée. 



(') Pic\.iti>, in Dauboux, Leçons sur la théorie ds surfaces, tome IV. 



NOTE II 



SUR LES GLISSEMENTS DANS LES FLUIDES 



Nous avons vu, au chap. V, que, outre les ondes (lesquelles n'exislent 
que dans les fluides compressibles) les fluides quelconques, compressibles 
ou non, peuvent présenter des discontinuités slationnaires. On sait d'ail- 
leurs que celles-ci peuvent être absolues, c'est-à-dire que deux portions du 
fluide peuvent glisser l'une sur l'autre à la façon de deux corps différents. 

Depuis Helmhollz, qui, le premier, a attiré l'attention sur cette catégorie 
de mouvements ( 1 ), ceux-ci jouent un rôle important dans plusieurs 
théories hydrodynamiques ; leur existence est invoquée pour expliquer 
diverses circonstances paradoxales, tels que l'écoulement des liquides en. 
présence de parois anguleuses, ou encore le résultat connu sous le nom de 
paradoxe de d'Alembert (absence de résistance opposée par un liquide à 
un solide symétriqu3 par rapport à un plan perpendiculaire à la direction 
du mouvement). 

De telles explications souffrent toutefois une objection commune à 
laquelle nous avons déjà fait allusion dans le texte (ch. V). Les glissements 
dont nous venons de parler sont, en effet, possibles, en ce sens que rien (en 
l'absence de viscosité) ne s'oppose à leur persistance, une fois qu'ils se sont 
produits entre deux régions quelconques du fluide ; mais nous allons voir 
que leur naissance est impossible, du moins dans les conditions où se 
place l'Hydrodynamique rationnelle. 

Si même, sur une surface de glissement, la vitesse de glissement est 



(!) Monatsber. der Berl. Ac. der Wissentch t 23 avril 1868. 



3i>6 NOTE II 

nulle en un point déterminé à l'instant t ùt elle restera nulle entre les 
mêmes molécules à tout instant ultérieur. 

Il est toutefois essentiel de tenir compte de la restriction que nous avons 
apportée à notre énoncé il y a un instant. On rencontre, en effet, dans 
Vétude des fluides naturels, des cas qui échappent au raisonnement que 
nous allons présenter, comme à tous ceux qui reposent sur les équations 
classiques de l'hydrodynamique telles que nous les avons écrites dans le 
texte (ch. III et V) et où, par conséquent, rien n'exclut plus la production 
de discontinuités absolues au cours du mouvement. 

Tels sont ceux dans lesquels, la pression s'annulant, des cavités se creu- 
sent momentanément dans la. masse fluide considérée. Ces cavités se 
referment en général par des remous dans lesquels les molécules apparte- 
nant à des régions différentes se mélangent entre elles, de sorte qu'il devient 
impossible d'admettre en aucun point l'hypothèse de continuité du n° 45. 

Ce que nous allons prouver est donc simplement qu'une telle singularité 
(ou toute autre analogue, pourvu que les hypothèses qui servent de base à 
l'hydrodynamique rationnelle cessent d'être vérifiées (')) sont nécessaires 
pour qu'un glissement se produise dans une période quelconque du mou- 
vement, s'il n'en existait pas avant celle période. 

La démonstration repose sur ce fait, constaté au n° 244, que (moyen- 
nant les hypothèses fondamentales en question) à chaque instant d'un 
glissement relatif, le saut d'accélération est normal à la surface S, le long 
de laquelle la discontinuité a lieu. 

Proposons-nous de former les équations différentielles qui expriment celte 
condition. 

Reprenant les mêmes notations qu'au n° 249, nous désignerons 
par Ç, ?! des coordonnées curvilignes prises sur S, considérée dans son état 
initial S . Les coordonnées cartésiennes x, y t z d'une molécule de S appar- 
tenant à la région 1 seront des fonctions de £, *j et du temps t : 

( œ = a?ft, r„ t), 

(i) \y = y«, '). 0. 

( z = *(£, *], 0- 



(*) Les équations générales de l'Hydrodynamique sont également modifiées dans le 
cas du frottement; mais celui-ci ne paraît pas pouvoir être invoqué pour expliquer 
la naissance des glissements, car il a pour effet, au contraire, de détruire ceux qui 
pourraient exister initialement. 



SUR LES GLISSEMENTS DANS LES FLUIDES 



357 



II en sera de même des coordonnées x' y' z' d'une molécule de S appar- 
tenant à la région 2 ; mais les expressions seront différentes dans les deux 
cas. Puisqu'il y a glissement le long de S, la molécule de la région i qui 
avait, dans l'état initial, les coordonnées curvilignes \, t] coïncidera, à l'ins- 
tant t, celle de la région 2 qui avait, dans l'état initial, les coordonnées £', r/ 
(en général différentes des premières). Si £' et V sont donnés, \ et t\ seront 
des fonctions de t, qu'il suffira de substituer dans les équations (1) pour 
avoir le mouvement de la molécule (a/, y', z'). 

Ce sont ces fonctions que nous avons à étudier. 

L'accélération de la molécule {œ, y, z) s'obtiendra en différentianl deux 
fois les formules (1) par rapport à t, sans faire varier £ et t\ ; elle aura pour 
composantes 



ô 2 # 



5* 2 ' 



5 > 



L'accélération de la molécule (#', y', z') s'obtiendra en substituant, au 
contraire, 3 £, *), leurs valeurs en fonction de t : elle aura pour compo- 
santes 



dt 2 



_ ô 2 # ô.r d 2 k ba? d\ 

~~ bî 2 + -fî Jj2 + ô ~ de 



b 2 # (dty 

, &oo dt 

"*" "" *\dï dt 



(dt\ 2 « tfœ_d\ dy tfx fdyV 
\dtj "* ôIôtj dt dt + W \àt) 



9 ï?X_ dr, 

" hydt dt 



d 2 y' _ ô*t/ by c^ 5y d\ bhf (fty «tfydtdri b*y (dr^y 

dt" — m* + dg d* 2 "^.mj rf/ 2 + *? V3ï/ "^ SESi ai a* "*" âv \Tt) 



-4- 2 0-^4-2^1^, 



IF 



M 2 



ôg dJ 5 






9 ** Z Ë? _i_ 9 — Ë? 



Il suffira de faire passer dans les premiers membres les termes 

rjy» rp» -, 2 pour obtenir, aux seconds membres, les composantes du saut 

d'accélération. Nous écrirons que le segment ainsi obtenu est normal à S 
en écrivant qu'il est perpendiculaire aux deux directions 



fë.a.ïjWîï.s.îïy 



358 



NOTE II 



Ceci donne les deux relations 

l.dî*:Zi \ôf/ + dt* • Zd Us &n/ "t Uv- •■ ^ U? ** 2 / 



dt 



d7 • Zd \ôf ôfôïij + \di) ' Zâ [$ WJ 



(2) 



, 9 dl ^ /ô£ Ô 2 4? \ 9 C?7) y /b£ -b^B \ _ 

~ i ~- J rf< • ^.\&s ô5»/ dt - Ll Us &w 
^/ 2 • Z* Wi bç/ + ^ 2 • Zi \ôt]/ + Uv * ^ Ui as*/ 

+ - rfî ôft • Z^ U"n &SW w/ * Zd \ôt) br, 2 / 

_i_9^? y /b% b 2 3?\ , fJTj "y /ôf.ôV\ _ 

"^ " dt' Zd \fiT t ôÇbÉ/ dt' Zà \5T) Ô7J ôï/ 

où les signes S signifient qu'il faut remplacer, dans les dérivées partielles, 
.r par ?y r puis par # et ajouter les trois expressions ainsi obtenues. 
Nous voyons s'introduire ici les coefficients 

( 3) .k--2(S)\ f=2(Ï3, G=2g) 2 

de l'élément linéaire 

Ed? + 2F d*dr t -hGdr* 

de la surface S à l'instant considéré : ce sont eux qui figurent comme coeffi- 
cients des dérivées secondes de \ et r h dans les équations précédentes. 
D'autre part, leurs dérivées partielles permettent d'exprimer les coeffi- 

• , i /^\ 2 o d\ dr\ /dri\* 

uenlsdey ,2^-,(^,savo,r 



y b.r b 2 07 



1 bE 

2ôf 



1 bG 



y b# b 2 .2? bF 

Zd Sri" b^ • b; 



1 bE 

2 bT) 



y b^r ^^ _^_ 1 &E y bx tfx _ bF 

Zd bf ^^1 2 brj ' Zd b£ b/) 2 ôtq 2 "âf 

y bo? jv-a: 1 bG y bx b 2 .r __ 1 bG 

Z brj bfbrj 2 ôf ' Zd 5r) dî)" 2 2 b?)" 



Elles permettent également d'exprimer deux des coefficients de -77» -tJ ; 



celui de -r ; dans la première équalion : 

b.2? ù*X 



bE 



9 V ~ x 

- Zà b; b^U U 



SUR LES GLISSEMENTS DANS LES FLUIDES 



3o9 



dt\ 



et celui de -.- dans la seconde 
dt 



i>G 



9 "V — ou; 

Mais il n'en est pas de me me des deux coefficients restants 



(4) 



2u $ 



Ù2? ô 2 X 



OïjM 



^ ÏU7 ô 2 4? 



Leur somme seule peut se calculer à l'aide des coefficients [3) : elle est 



égale à 



ôF 



Il et; it d'ailleurs évident a priori que, dans les équations (2), devait 
s'introduire un élément distinct de la forme de la surface S. En eiïet, le 
mouvement d'une molécule (œ', y', z') peut être considéré comme résultant 
du mouvement de la surface S prise dans la région 1 (c'est-à-dire celui des 
molécules (.r, ?/, z) ) et du mouvement de (V, ?/', z') par rapport à[(r, y, z) : 
le premier de ces mouvements pouvant être regardé comme un mouvement 
d'entraînement et le second comme un mouvement re'alif. Or on sait que, 
dans la lliéorie des mouvements relatifs, les accélérations ne se composent 
pas linéairement comme les vitesses : si, par exemple, le mouvement d'en- 
traînement était celui d'un système invariable, on aurait à tenir compte de 
l'accélération complémentaire de Corîolis, laquelle dépend de la rotation 
instantanée de ce système. On doit donc s'attendre à l'intervention d'une 
rotation de cette espèce dans la question actuelle, et môme le Ihéorème de 
Coriolis auquel nous venons de faire allusion nous indique la partie de 
celte rotation qui jouera vraisemblablement un rôle. Si, en effet, la rola- 
tion en question était tangente à S, comme il en est de même de la vitesse 
relative, le théorème de Coriolis (en le supposant applicable) donnerait une 
accélération complémentaire normale. Gomme l'évanouissement des com- 
posantes langentielles du saut d'accélération nous intéresse seul, nous 
ne devons avoir à utiliser que la composante normale de la rotation. 

Il est aisé de voir que les choses se passent effectivement ainsi : il suffit 
de décomposer le mouvement de S en Une déformation pure et une rota- 
tion, comme nous, l'avons fait aux n 08 5t et 62. Il est vrai qu'au lieu 
d'une déformation de l'espace, nous n'avons ici que la déformation d'une 
surface ; mais, pour ramener ce dernier cas au premier, il suffit d'imaginer 
que la surface S entraîne avec elles ses normales, chacune de celles-ci se 
déplaçant comme une droite invariable. On pourra alors écrire, en dési- 
gnant par le symbole d les différentielles qui correspondent à des déplace- 



360 



NOTE 11 



ments dans l'espace à l'instant considéré; parw, v,w, les composantes de la 
vitesse du point (x, y, z) et par <p une forme quadratique en dx, dy % dz, 
écrire les équations du n° 6£ sous la forme 



du = \ SÇË) + * d * - rd "' 



dv = s r— y-v -+- rdx — pdz, 
1 b[dy) 

dw== 2ï(Tz) + P d y — <2 dx > 

I bx by bz\ 

{ u = u< "=i- w= ûf 



et, par conséquent, en prenant dx, dy, ^proportionnels successivement à 



bx by bz , , b# dy eu 
r ' -f » — et a — » -^ » - 



d* 



H * 



ÔY) ÔT) ÔTj 



on aura 



bu b 2 X 1 b<t> bZ 



ô£ ôîj b* 



b 
1 bco 



b£ 



(1) 

bco 

W) 

bcp 



b» ô^ 1 bco bx bZ 

b| ~~ b|bf ~~ 2 "7ô^ + r b\ ~~ P bf ' 

U 
bU) ô 2 2- 1 bcp by &». 

"b| ~~ bjbi ~~ 2 ~^^" + P âc ~~ ^ 7c ' 



et le.i équations analogues où £ est remplacé par tj. 

Multiplions maintenant les trois premières de ces équations respective- 

. b.T by bz , .' , b.r by b£ , . , , 

ment par —, —, — ; les trois dernières par -> , -f , -=■ et retranchons la 
1 ô-rj br t br, * J bÇ ' b£ ' b£ 

somme des trois derniers produits de la somme des trois premiers. Les 

termes qui dépendent des dérivées de e s'élimineront et il restera 



bV b 2 X^ ^ bX b 2 X 9 



(Vr, bÇbt 



b; ùr.bl 



p q r 

bX by bZ 

hl â? ôl 

bx by bZ 
br\ ÔT) or) 



2 R v'EG - F 2 , 



en désignant par R la composante normale de la rotation (p, q, r). 



SUR LES GLISSEMENTS DANS L£S FLUIDES 

Donc enfin, les équalions (2) s'écrivent 



361 



E 



(5) 



dt' 



dt* 



dhi \ [bE IdX 
dt* + 2 L^ \dt 



9 ôE d\ (h\ 

" ôt) dt dt 



oF oG 



ÔY] 



U 



)©)'] 



ôEd$ 



d\ 
dp 



dt /ôF_ 
dt + V M 

ï[(»ï- 



2R 






= o, 






(a*) 



8 9 ôG tf£ tfrj 



bf d£ dt 



ôG /c^j 2 










oG C^Tj ft 

U dt ~~ ' 



Lorsque la surface S est fixe ainsi que les molécules de la région 1 situées 
sur celte surface, les deux équations que nous venons d'obtenir se réduisent 
à celles qui définissent le mouvement d'un point sur S, en l'absence de 
force accélératrice ; ce qui était évident a priori, puisque ces dernières s'ob- 
tiennent en exprimant que l'accélération est normale. 

Dans tous les cas, si le mouvement du milieu 1 est donné, celui des 
molécules x' , y ', z' est déterminé par les équations (5) lesquelles sont de la 
môme forme que les équalions de la dynamique à deux degrés de liberté, 
en ce sons que les dérivées secondes de £ et de rj sont exprimées par des 
polynômes du second degré par rapport aux dérivées premières ( i ). 

D'autre part, les équalions (5) étant toujours résolubles par rapport à 
ces dérivées secondes (puisque EG — F 2 est toujours positif) et admettant 
la solution £ = const., t) = const., il résulte des théorèmes généraux 
relatifs aux équations différentielles que jj et 7) sont forcément constants 
si, à un instant déterminé quelconque t leurs dérivées sont nulles, c'est- 
à-dire si, à cet instant, il n'y a point de saut de vitesse, 

Ceci pourra d'ailleurs avoir lieu en tous les points de la suriace S — etalors 
celle-ci ne sera pas une discontinuité absolue — ; ou seulement en certains 
points de celle surface, et alors les molécules de la région 1 situées en ces 
points coïncideront, dans toute la suite du mouvement, avec les molécules 
correspondantes de la région 2. 



(*) Si l'on substituait à l'une des portions du fluide une paroi solide animée du 
même mouvement, le mouvement des molécules de la partie fluide ne serait pas 
changé. Il n'en résulte pas, bien entendu, que les équations (5) soient applicables au 
mouvement superficiel d'un fluide limité par une paroi quelconque. Il n'en est ainsi 
que dans le cas où le mouvement de cette paroi est celui qu'elle prendrait d'elle- 
même si on la supposait fluide, de même nature que le milieu qui la touche et 
soumise aux pressions de ce milieu. 



NOTE III 



SUR LES TOURBILLONS PRODUITS PAR LES ONDES DE CHOC 



Nous avons établi aux n ÛS 254-255 que la présence de discontinuités du 
second ordre ne meltait pas en défaut les théorèmes classiques de l'hydro- 
dynamique relatifs à la conservation du potentiel des vitesses ou des tour- 
billons. Nous allons nous proposer de rechercher l'effet produit à cet égard 
lorsque la discontinuité qui se propage est du premier ordre. Nous emploie- 
rons à cet effet l'intégrale 



/ 



udx -+- vdy + wd- 



ou circulation, prise le long d'un contour fermé C. 

Ce contour étant de forme entièrement arbitraire, nous pouvons supposer 
pour simplifier que pendant les ^ 

inslants où il traverse la surface 
d'onde, il n'est jamais rencontré 
par elle qu'en deux points. 

Soient alors A, B les deux points 
de rencontre à un instant déter- 
miné t. Prenons pour état initial 
l'état de la région l à cet instant ; 
soient encore A' B' les positions 
initiales des points de rencontre à 
l'instant t -+- dt : ces points seront 
déterminés par la nouvelle surface d'onde S' , située à une distance ^dt 
de la première S . 




Fig. 25 



SUR LES TOURBILLONS PRODUITS PAR LES ONDES DE CHOC 



363 



Pour évaluer de combien a varié la circulation pendant l'intervalle de 
temps dt, nous considérerons séparément : 

1° Les deux arcs BA, A'B' {fig. 25) dont le premier appartient, pendant 
tout l'intervalle de temps considéré, à la région 1, le second à la région 2 ; 

2° Les deux petits arcs AA', B'B qui passent d'un état à l'autre pendant 
le temps dt ; 

Plaçons-nous dans le cas le plus simple, celui où l'on ne tient pas compte 
de l'objection d'Hugoniot et où, par conséquent, la pression et la densité 
sont liées par la loi de Poisson ou, plus généralement, par une relation 
ayant la forme (13) du n° 131. 

La variation relative à l'arc BA est donnée par les considérations clas- 
siques qui servent à établir le théorème des tourbillons ('). Elle est égale au 
produit de dt par la différence des va'eurs que prend, aux points A et B, 
la quantité 



(1) 







2 



h 



où V est toujours le potentiel des forces pondérales et où le dernier terme, 
que nous désignerons par — P, est comme on sait, dans nos hypothèses 
actuelles, une fonction de p. 

De même la variation de l'intégrale prise suivant Tare A'B' est le produit 
de dt par la différence des valeurs que prend la quantité Q aux points B' 
et A'. 

La somme de ces deux termes donne (en supposant le contour parcouru 
dans le sens A'B'BA) 



(2) dt(Q J 



Qï-0 A >) = dtlQ x -Q A .-(Q B -Q B .)] 



où, dans chacune des différences Q A — Q A -, Q B — Q B <, on peut faire abs- 
traction du terme V, qui est continu au, passage de l'onde. 

Occupons-nous maintenant de la partie relative à l'arc AA'. Soient a? n y l} 
z l} u lt v n Wi les coordonnés et les composantes de la vitesse d'un point de 
cet arc dans l'état 1 ; x 2 , ?/ 2 . z 2i u 2 , v 2 , w 2 , les mêmes quantités considérées 
dans l'étal 2 : on aura, 

( x 
(3) x 



u, — xe 



(!) Kihchhoff, Mécanique, 15 e leçon. 



364 



NOTE 111 



tdz A ) 



et, d'après les formules (9) du n° 55, 

r dx 2 = dx i H- X (<xdx l -f- $dy v 

(4) } dy, = cty t + t x(a^ l •+- $dy± 

( <£sr 2 = dz x H- v (a^j + fidyi- 

en désignant toujours par X, {x, v, 6 les composantes de la discontinuité et 
la vitesse de propagation rapportées à l'état initial (c'est-à-dire à l'état de la 
région 1) et par a, j3, -y les cosinus direcleurs de la normale à l'onde. 

Il vient donu, en multipliant respectivement les quantités (3) par les 
quantités (4) 

u % d.v i -h y 2 dy 2 + wdz 2 == K £ ^ t + î?j dy t ■-[-w i dz i — ô (kdx l -+■ \idy t H- vdz t ) 

-+- (lu 1 -h f Jiv 1 + vt^J (adx i H- pc^ -f- Y^j) 
— (X> -Mjl 2 -+- v 2 )6 (acte?, H- pd^ + Y^ 4 ). 

eft étant considéré comme un infiniment petit, les intégrales prises suivant 
Tare AA', par exemple, se réduiront aux différentielles correspondantes. 
La différentielle i xdx i + ^dy l ■+• ^dz t , projection normale de l'arc AA', ne 
sera autre que Qdt, distance des deux surfaces d'ondes dans l'état initiai. 
L'expression \dx y H- \idy i -+- ^dz i se ramènera à la précédente si nous 
remplaçons X, ji, v par leurs valeurs U, 1$, Zy (où l est la grandeur de la 
.discontinuité) : elle sera égale à fàdt, pendant que Xw t + ^.v i -h vi^ t 
représentera lv in (où v in désigne, comme au n° 103, la composante 
normale de la vitesse dans l'état 1). La variation de l'intégrale relative à 
A A' sera donc 

U\. dx x + v t dy l •+■ w i dz x — (u. i dx 2 -+- v 2 dy 2 -+- w 2 dz 2 ) 
= Z8 j (l + l) - v in j dt, 

si nous supposons, pour fixer Jes idées, que la propagation a lieu de la 
région 1 vers la région 2 et que, par conséquent, les molécules atteintes 
patr l'onde passent de l'état 2 à l'étal 1. 

L'intégrale relative à BB' aura une expression tout analogue, mais prise 
en signe contraire. 

Mais dans l'expression (2), nous pouvons aussi évaluer la différence des 



valeurs de 



aux points A et A' (ou aux points B et B') à l'aide 



des formules (3). Il viendra ainsi, comme au n° 257, 



2 1 » m * 



SUR LES TOURBILLONS PRODUITS PAR LES ONDES DE CHOC 



365 



La variation iotale de la circulation, c'est-à-dire la somme des expres- 
sions (2) et (5), sera dès lors égale au produit de dt par la quantité 



(6) 



P,- P. + ■"&+•*) 



relative au point À, diminuée de la quantité analogue relative au point B. 
Utilisons maintenant les formules 

du o° 356. La quantité (6) devient 

Il est clair, dans ces conditions, qu'une fois le contour C complètement 
passé dans la région 1, la circulation suivant le contour aura augmenté de 
l'intégrale curviligne 



(8) 



fu, 



dans laquelle t représente l'instant où un point quelconque du contour 
aura traversé- l'onde, la quantité II correspondante étant calculée au mo- 
ment de ce passage. 

Supposons le contour G très petit et très voisin d'un point déterminé 
de la surface S. Rapportons le à trois axes rectangulaires Uf, Or t , OÇ dont 
les deux premiers soient tangents à S en 0, le troisième normal et dirigé 
vers la région 2. t sera alors une fonction de Ê, r h Ç, et il en Fera de même 
de n. L'intégrale (8) pourra s'écrire 



(») 



./«fi« 



<h 



5*> 



On sait que, pour obtenir les composantes du tourbillon, il suffît d'appli- 
quer à la circulation le long d'un contour fermé le théorème de Stokes, de 
manière à la mettre sous la forme 



(10) 



II 



[p cos (n, £) -f- q cos (n, *)) -t- r cos (n, Ç)] dz 



366 NOTE ni 

(où 2 es [ une surface quelconque menée par le contour et limitée à ce con- 
tour, el. où n est la normale en un point quelconque de S) : les quantités 
p, q, v sont alors les composantes cherchées. On aura donc les composantes 
p, q, r du tourbillon additionnel produit par le passage de l'onde en fai- 
sant ce même calcul sur l'intégrale (9) : il vient ainsi 

- - p c.o 

q ~ D(ç,y 

D(n, Q 

Si, enfin, nous tenons compte de ce que le contour est fnfiniment voisin 
de l'orisrinp, nous devrons faire — = — = (puis me les axes des \ et 

des r. sont tangents à S) el -z. = r : d'où enfin les formules cherchées 





1 mi 




1 m 

~ e ôc 



(11) 

( r =0. 

£ et '/j peuvent être considérés comme des coordonnées curvilignes sur la 
surface S, dont un point quelconque, voisin de 0, peut être substitué à sa 
projection sur le plan tangent en 0. Les valeurs de p et de q dépendent 
alors uniquement de la distribution des valeurs de II sur S : Il résulte des 
formules (11) (\u\me onde de choc crée toujours des tourbillons par son 
passage si la quantité II nest pas constante sur Vonde à chaque instant. 

Il est d'ailleurs clair que, sur une onde prise au hasard, n ne sera pas 
constant, à moins que la relation entre la pression et la densité ne soit fclle 
que cetle quantité soit identiquement nulle. Mais c'est ce qui n'aurait lieu, 
ainsi qu'il est facile de s'en assurer, que dans le cas, dont nous avons parlé 

1 
au n° 144, où - serait une fonction linéaire de p. 

P 

Nous avons admis, dans ce qui précède, l'exactitude de la loi de Poisson. 
Si l'on se plaçait au point de vue d'JIugoniol, la question perdrait de son 
intérêt, parce que les tourbillons, après avoir été modifiés au moment du 



SUR LES TOURBILLONS PRODUITS PAR LES ONDES DR CHO( 



367 



passage do Tonde, continueraient à s'altérer dans le mouvement conlihu 
qui suivrait. La quantité k qui figure dans la relation 

p = kp m 

devenant^ en effet, variable ap.ès la discontinuité, la quantité — cesserait 

d'être une différentielle exacte et la théorie générale des tourbillons d'êlr > 
applicable. 

Il est d'ailleurs aisé de calculer, môme dans ce cas, la variation instan- 
tanée du tourbillon. Il faut toutefois observer qu'à cetle variation instantanée 
viendra s'en joindre une aulre conlinue. Si donc nous considérons, comme 
tout à l'heure, notre contour C qui met, à traverser l'onde, un certain 
temps x (d'ailleurs très pe'it en -môme temps que les dimensions de C), la 
variation qui se sera produite, pendant le temps z, dans la circulation le 
long de G, sera l'effet combiné des deux causes dont nous venons de parler, 
et non celui de la seule variation instantanée. 

Mais il est aisé de discerner le terme provenant de celle dernière de celui 
qui est dû à la va:ialion conlinue. Ce dernier est, en effet, de l'ordre de Sx, 
où S est une aire limitée au contour C : il sera donc infiniment petit par 
rapport à la variation instantanée, qui est de l'ordre de 2. 

Dans l'expression EI A — II B , qui nous fournissait tout à l'heure, au fac- 
teur dl près, la- variation élémentaire de circulation, une seule catégorie 
de termes devra ôtre modifiée : ce sont les termes en 1*. Leur ensemble 
(P 2 — P a )a - (P 2 — 1\)b devra évidemment être remplacé par la différence 

des valeurs que l'on obtient pour l'intégrale I — lorsqu'on la prend de B 

en A sur la partie du contour G située dans l'étal 1 ou sur la partie située 
dans l'état 2. 

Soit menée la surface S limitée au conlour C, et que nous supposerons, 
pour fixer les idées, constamment composée des mômes molécules. Soit a la 
ligne B A suivant laquelle 2 coupe la surface d'onde S au temps t. Nous 
remplacerons la différence des deux intégrales dont nous venons de parler 
par l'expression 



(12) 



f(f- d tï 



En opéranl ainsi, nous altérerons la différence en question d'une quan- 



368 note tu 

tilé de l'ordre de 2 : celle quantité, dans l'intégrale prise par rapport à t 
dans l'intervalle de temps t, donnera un résultat de Tordre de Ex, lequel 
devra être négligé d'après ce qui a été dit plus haul. 

Soit s un paramètre correspondant à un point variable sur <j et croissant 
de B en A, par exemple l'arc de <s complé à partir du point B. Nous pour- 
rons prendre comme coordonnées curvilignes sur S, l'instant t où une 
molécule quelconque de celle surface est a'teinte par l'onde et la valeur des 
déterminant la position de celle molécule sur la ligne <r correspondante. 
D'après l'hypothèse faite sur la position du plan des 1% on aura sensibler 
ment 

(*3> ' g.,-* * = •, 

et cela en tout point de S et à tout instant t x postérieur, mais d'une quan, 
lité suffisamment petite, à l'intervalle de temps x (et où, par conséquent- 
l'aire 2, complètement située dans la région 1, sera infiniment voisine de 
l'onde). 

D'autre part, l'intégrale de la quantité (12), prise par rapport à t est 
évidemment 

w f £(&-&)*" 

p l et jo 2 étant déterminés pour chaque molécule (ils doivent être, comme 
précédemment, au moment de son passage à travers l'onde) et étant, par 
conséquent, fonctions des coordonnées jj, vj, Ç de cette molécule à l'instant^, 

on aura (puisque — = 0) 

oS 

Si nous reportons ces valeurs dans l'intégrale (14), il suffira d'employer 
les relations 

— dsdt = g" cos \ n i Vt j ?* dt — -g- cos (n, ç) 

qui résultent des équations (13), pour mettre celle-ci sous la forme (10), 



SUR LBS TOURBILLONS PRODUITS PAR LES ONDES DE CHOC 369 



le coefficient de cos (», £) étant J (- ^ Sa j «I celui de cos (n, n), 

F s { p a ^ ?» ^ j*ï L *\* s/J \ 
q " M p. * Pi * &IL 2 U VJ 



p = 

où on devra supposer p it p a , p 4 et p a liées par la relation adiabatique dyna- 
mique (13) du n° $57. Cette relation permet d'ailleurs de mettre les 
formules précédentes sous la forme 

R / T & l og # a T & log k t \ 
où T t , T 2 sont les deux températures absolues, pendant que l'on a 

**~ Pi «> **- p> ,n 

et que R désigne la constante qui figure au second membre dans l'équa- 
tion (5) du n° 125. 



NOTE IV 



SUR LA RÉFLEXION DANS LE CAS D'UN PISTON FIXE 



Nous avons va au chapitre IV (n° 180) qu'en cherchant à tenir compte 
à la fois du mouvement préexistant du gaz (ce mouvement étant quelconque) 
et du mouvement du piston, on était conduit à un problème très différent 
de celui qui correspond au cas où le mouvement initial intervient seul et 
d'une dilficullé bien plus grande, grâce à cette circonstance que l'on a à 
déterminer une solution de l'équation d'EuIer (équation (46) n° 175) par 
des données relatives à une ligne inconnue du plan des çt). 

Il est cependant, un cas particulier qui fait exception et où la question se 
résout sans difficulté, c'est celui où le piston est immobile (ou plus géné- 
ralement animé d'un mouvement uniforme). 

Alors en effet à l'extrémité du tube (par exemple pour a = 0) la quantité 

u = — çj — sera nulle (ou constante). 

D'autre part, pour u constant elx seul initialement, on a toujours x — ut. 

Dans ces conditions, la quantité z définie par la formule (30) du 
n° 170 sera nulle. 

Nous avons donc à déterminer une solution z de l'équation d'Euler par 
les conditions suivantes : 

1° z sera nul pour \ -+- 1\ = (ou pour \ -+- 1\ égal à une constante 
donnée 2 v) ; 

2° Les valeurs de % seront connues sur une certaine caractéristique 
7) = const., à savoir l'onde suivant laquelle le mouvement cherché se 
raccorde au mouvement initial donné soit 



SUR LA REFLEXION DANS LE CAS D'UN PISTON 



371 



Nous avons dit plus haut (chap. VII) qu'un tel problème est possible et 
déterminé, pourvu que les données précédentes concordent au point du 
plan des£rj qui est commun aux deux lignes précédentes, c'est-à-dire lorsque 
l'on donne à r, la valeur *) et à \ la valeur £ = 2 v — r l0 . 

Pour en trouver la solution, traçons la seconde caractéristique \ = £ 
qui passe par ce même point et qui n'est autre que la symétrique de la 
première par rapport à la ligne droite A représentée par l'équation (■ -+- i\ 
= 2 v. Considérons la solution z de l'équation d'Euler qui prend, pour 
7) = 7] , les valeurs données et pour \ = £ , des valeurs égales et de signes 
contraires aux premières. J'entends par laque, au point (£ , *)), z aura une 
valeur égale et de signe contraire à celle qu'il prend au point [2v — t), 7) ) 
symétrique du précédent par rapport à A. 

D'après ce que nous avons vu au n° 17S, en nous donnant ainsi les 
valeurs de z pour £ = £ d'une part, pour t) = rj de l'autre, nous déter- 
minons une intégrale de l'équation d'Euler. 

Or il est clair que cette intégrale prend des valeurs égales et de signes 
contraires en deux points quelconques symétriques l'un de l'autre par 
rapport à A, c'est-à-dire dont les coordonnées Ç, *) ; £' V sont liées par les 
relations 

2v — ï), 
2v — t. 



(1) 



Y- 



La transformation ainsi définie ne change pas, en effet, l'équation aux 
dérivées partielles et change les signes des données initiales. Puisqu'elle 
change de signe lorsqu'on passe d'un côté à l'autre de A, l'intégrale z est 
nulle sur A : elle représente la solution cherchée : solution que l'on déter- 
minera par la formule (40) du n° 17S. 

Il est aisé de mettre en évidence, dans le calcul auquel nous sommes 
ainsi amenés, le phénomène de la réflexion. Soient, en effet, u', u/ les 
valeurs prises par uet co moyennant les formules (27) du n° 170, lorsqu'on 
donne à? la valeur- £' et à ij la valeur V. La transformation (1) que nous 
avons écrite il y a un instant correspond à 

u' = 2 v — u, os' = w. 

La nouvelle valeur de z étant z' = 



bz , ^ bz . , 
a = -— , de t == — et de ce = wa -h ut 



— z, les nouvelles valeurs de 
z seront 



(8) 
(3) 



a' — — a, t' = t 
od = 2 vt — x. 



372 



NOTE ÏV 



Si donc, l'état initial du fluide donné étant supposé correspondre à a > 0, 
nous considérons une masse fluide toute semblable remplissant la région 
a <^. 0, et que nous imprimions à ce second milieu un mouvement tel que, 
moyennant les relations (2), on ait (3), l'ensemble du fluide réel et du 
fluide fictif formera une seule masse dont le mouvement satisfera à l'équa- 
tion aux dérivées partielles. Ce mouvement, qui se calculera à partir de 
l'état inilial du fluide donné comme il a été expliqué au n° 179, satisfera 
de lui même à la condition x = vt pour a = 0, de sorte que nous pourrons 
dans ces conditions supprimer le piston. 

Or chaque molécule du fluide fictif est, à un instant quelconque, symé- 
trique de la molécule correspondante du fluide réel par rapport à la cloison. 



Bien entendu, la solution ainsi obtenue peut être sujette à la difficulté 
signalée à la fin du n° 179 et donner lieu aux singularités considérées 
aux n os 194 et suivants. 





Date Due 




OCTls-fi- 


i 






DEC 14'" 


,.. -. -' i-r. 






toftw <&&& 






fflB^tTQi 


A 






1UÇ 


3 

»c.£P o 1 69 






























'« 
















































































85 









$r 



"\ 



a 



t 



Htz-f-t 

:■-■■ 

ENG1NEER 
Ot PHYSICS 
LIBRARY 



Leçons sur la propagation des onde engr 
532.59H125I 1949C.2 



3 lEbE DEEDM 105b 






HmNm 



. . 



m 






il|g|| M BMM 



WSÊ 



H 



■^■■HS 



1 



H 




WÈÊÊÈMM Mm 
m«i H rai 

H 

11 

mmmSfM RH Irai sm 

mni hbh m « 



frw 






I 

m B 

BIlIffifBH 



aisSI 



IHfflBiB ffl lil 

HHH 

BUE MmwraMim